Узлы квадратурной формулы

В некоторых случаях появляется необходимость сократить число узлов квадратурной формулы. Например, если определение значений выходной кривой y ti) требует трудоемкого и длительного эксперимента или если определение значений теоретической кривой A(ai, ап) (О требует большого объема сложных вычислений, то использование квадратурных формул с большим числом узлов нецелесообразно. В этом случае следует применять формулы наивысшей алгебраической степени точности, в которых коэффициенты Ai и узлы ti определяются по специальным таблицам [14]. Применение формул наивысшей степени точности позволяет значительно сократить число узлов. Заметим, что вопрос о выборе квадратурной формулы должен быть решен до проведения опыта с тем, чтобы измерять значения y(i) в узлах квадратурной формулы. После того как выбрана квадратурная формула, проводят опыт и решают задачу определения минимума функции Ф(аь. .., a,i). Описание методов минимизации функций выходит за рамки данной книги достаточно подробно эти методы изложены в работе [15]. [c.266]

Удельная поверхность насадки 13, 14 Узлы квадратурной формулы 266 Универсальная газовая постоянная 35 Уравнение(я) [c.303]

Xj —узлы квадратурной формулы, — числовые [c.137]

Применение квадратурных формул Гаусса—Чебышева к уравнению (3.106) приводит к системе М —1 комплексных алгебраических уравнений, которые вместе с условием (3.95) (при =1) образуют полную алгебраическую систему порядка М, где Mi — количество узлов квадратурной формулы. Применение тех же квадратурных формул к уравнениям (3.92) и (3.93) приводит к алгебраической системе порядка Mo+Mi. [c.90]

Табл. 13 иллюстрирует поведение функции Ki a/F (Х=1/а) в зависимости от числа узлов квадратурной формулы. Как следует из приведенных численных результатов, стабилизация решения этой задачи происходит уже при N =30. [c.119]

Табл. 22 иллюстрирует зависимость сходимости численных решений У для квадратного образца на продольное сжатие сосредоточенными силами от количества точек разбиения Л/" внешней границы образца. Число узлов квадратурной формулы для интегралов по разомкнутому контуру разреза Л/" принималось в расчетах равным 15, что вполне обеспечивало требуемую точность при удовлетворении граничного условия на трещине. Из таблицы следует, что стабилизация численного решения наступает уже при Л/ = 45 практически для всех X указанного диапазона. [c.146]

Будем искать значение функции щ(хк) = Угк в узлах квадратурной формулы Хк- [c.167]

Числа o)j называются весами, а точки узлами квадратурной формулы 2 0i)- В дальнейшем для простоты будем рассматривать только такие примеры, где узлы принадлежат множеству К, а веса строго положительны (узлы вне множества К и отрицательные веса в принципе не включаются, но следует ожидать, что они войдут в квадратурные схемы, которые ведут себя достаточно плохо при реальных вычислениях). [c.180]

Весовые множители и узлы квадратурной формулы Г аусса [c.538]

Для построения дивергентных схем можно использовать интегральные соотношения (законы сохранения). Интегральные соотношения записываются по контуру, составляемому из отрезков, которые соединяют узлы сетки. Аппроксимируя интегралы но отрезкам с помощью тех или иных квадратурных формул, получаем сеточные уравнения. Подбирая соответствующим образом схемы и параметры, управляющие диссипацией, удается сократить ширину переходной зоны до 3—5 расчетных интервалов при достаточно высокой точности расчета (погрешность порядка 1%). [c.159]

Эти расчеты проводят по так называемым квадратурным формулам, в которые входят значения подынтегральной функции f (х) в конечном числе узлов, расположенных на отрезке [а, Ь]. [c.58]

Задача построения квадратурной формулы состоит в выборе расположения узлов Xi и значений весовых коэффициентов С . Довольно часто функция f (х) бывает задана в табличном виде и поэтому узлы Xi оказываются фиксированными. [c.59]

Увеличивая число узлов т в интервалах разбиения й применяя для интерполяции подынтегральной функции полиномы более высоких степеней, можно получить еще ряд других квадратурных формул. Однако на практике они применяются редко. [c.61]

Теперь рассмотрим случай, когда узлы Xi не фиксированы, и таким образом в квадратурной формуле (2.22) можно выбирать не только весовые коэффициенты i, но и расположение узлов Xi, в которых вычисляется подынтегральная функция. Использование этих дополнительных степеней свободы позволяет повысить точность квадратурных формул. [c.61]

Формулы Гаусса. Если на отрезке интегрирования в качестве искомых параметров квадратурной формулы рассматривать (7V + 1) коэффициенте,- и (jV + 1) узел Xi, то получим 2N + 2) неизвестных. Эти параметры можно выбрать так, чтобы квадратурная формула была точна для любого многочлена степени не выше (2N + 1). Решение такой задачи известно расположение узлов J вычисляется с по-мощ,ью корней полиномов Лежандра. Узлы х, и весовые коэффициенты i для различных N приведены в [2]. Построенные таким образом квадратурные формулы называют формулами Гаусса или формулами наивысшей алгебраической точности. Для гладких функций эти формулы дают очень высокую точность. [c.61]

В табл. 5.1 приведены значения узлов и весов а,- (1 квадратурной формулы Гаусса с числом узлов N — 6, [c.138]

Таблица 5.1, Узлы и веса квадратурных формул Гаусса

Таблица 5.1, Узлы и <a href="/info/371112">веса квадратурных</a> формул Гаусса

Когда точка наблюдения о в подынтегральном выражении в (15.1) не совпадает с узлом k, произведение ядра на базисную функцию и якобиан остается ограниченным и, следовательно, может быть проинтегрировано численно с помощью обычных гауссовских квадратурных формул с единичной весовой функцией, а именно формул [c.416]

Цель приложения заключается в том, чтобы кратко напомнить квадратурную формулу Гаусса, правило выбора узлов и соответствующих им весовых множителей. Эта формула оказывается полезной в МГЭ при вычислении различных интегралов по элементам и ячейкам. Главное преимущество метода численного интегрирования Гаусса — Лежандра по сравнению с обычными методами (правилом трапеций Симпсона и т.д.) заключается в том, что определенная точность результатов может быть достигнута методом Гаусса при использовании вдвое меньшего, чем в других методах, числа ординат. Это является следствием введения в формулу в виде параметра не только соответствующего каждой ординате весового множителя, но и местоположения узлов, соответствующих этим взятым из области интегрирования ординатам (рис. В. 1). [c.478]

Применяя к сингулярному интегралу равенства (4.63) квадратурную формулу Гаусса — Чебышева и пользуясь интерполяционным полиномом Лагранжа для искомой функции U r ) по узлам (4.49), можно определить значения потенциалов Ф-(о)(т))) (а следовательно, значения напряжений Ох) в любой точке ц, отличной от узлов коллокации Однако если воспользоваться тем фактом, что внутренняя область, вырезанная контуром Ь, находится в ненагруженном состоянии, то в вычислении сингулярного интеграла в выражении (4.63) нет необходимости [27, 53]. Поскольку в данном случае [c.122]

Выражение (4.65) дает возможность находить напряжения o+t в произвольных точках контура Li, в частности в точках, для которых значение т] совпадает с внутренними узлами коллокации ift квадратурной формулы Гаусса — Чебышева (1.123). При ее непосредственном применении к равенствам (4.63) напряжения о+т в точках границы L, которым отвечают значения узлов не могут быть получены. Для вычисления сингулярного интеграла [c.122]

G — квадрат (0=К)- Пусть для всякого целого / 1, Ьг [0, 1] и <0г, l i /, — узлы И веса квадратурной формулы [c.218]

Вычисление приближенных значений Ф(т) в дискретных точках можно осуществить на основе метода квадратур с использованием, например, формулы типа трапеции. Алгоритм для нахождения приближенных значений a (rj), ж (т ), x" rj) строится на основе замены интегралов в уравнениях (9.18), (9.19) суммами по квадратурным формулам с двумя узлами. Для формулы типа трапеции локальная погрешность вычисления может иметь четвертый порядок относительно шага hj. Можно добиться и более высокой степени точности путем соответствующего выбора узлов в интерполяционной квадратурной формуле. [c.501]

Поверхность тела представляется при помощи четырехугольных и треугольных элементов с квадратичным изменением формы и линейным, квадратичным или кубическим изменением перемещения и вектора напряжений относительно внутренней системы координат. Тело разбивается на подобласти производится дискретизация интегрального уравнения для каждой подобласти, и получается система уравнений ленточного типа. Для вычисления интегралов используется квадратурная формула Гаусса, число узлов в которой выбирается на основании верхней оценки для ошибки, определенной по значениям производных от подынтегральных выражений. Масштаб коэффициентов в уравнениях выбирается таким образом, чтобы получить устойчивую при счете систему, разрешимую методом исключения без итерации остатков. Поблочное решение уравнений позволяет рассматривать большие задачи. В программе используется большое число процедур, осуществляющих контроль и автоматическое формирование данных. Результаты решения задачи о фланце трубопровода и характеристики выполнения программы сравниваются с результатами, полученными методом конечных элементов, и экспериментальными результатами. [c.111]

Округленные коэффициенты квадратурной формулы, /п-число узлов и число членов формулы [c.420]

Числа ш,с называются весами, а точки bifi — узлами квадратурной формулы (4.1). Далее будем рассматривать только такие случаи, когда узлы принадлежат множеству О. [c.216]

Таблица узлов квадратурной формулы Лобатто на интервале [0,1] [c.143]

Для решения системы интегральных уравнений принят метод коллокации [6] при помощи квадратурной формулы Гаусса по Чебы-шевским узлам интерполяции. Процесс вложенных итераций строится путем изменения столбца правых частей, процесс продолжается до требуемой точности. Удовлетворение условию т (х) fp (х) производится путем увеличения коэффициента контактной податливости в местах нарушения условия кулонова трения. [c.349]

Здесь 0 ( ) непрерывна по Гельдеру на [—1, 1], причем функция 0 (т ) заменяется интерполяционным полиномом, построенным по чебы-шевским узлам. С помощью квадратурных формул Гаусса будем иметь [c.232]

Необходимо отметить также, что сходимость численных решений к точному при приближении к угловой точке растягивающих сил F ухудшается. Табл. 8 иллюстрирует сходимость численных значений Fi,2 при e = llli==0,5 в зависимости от количества узлов Л/" квадратурной формулы. Анализ приведенных в таблице данных позволяет заключить, что с точностью до трех знаков после запятой во всем рассмотренном диапазоне изменения угла а устойчивыми можно считать результаты, полученные при Л/ =30. [c.101]

Разработана обширная теория квадратурных формул, приспособленных для различных подынтегральных функций и промежут ков интегрирования (см., например, [38]), Поскольку формула (48) содержит 2п параметров (п узлов щ тл п весов а ), можно выполнить 2п условий. Условия могут быть различными. Например, возможен выбор равномерной сетки узлов или закрепление граничных узлов. Если потребовать, чтобы формула давала точные результаты для многочленов порядка до 2п — 1, т. е. для степеней аргумента 0,1, 2,. ..2п — 1, то получится так называемая формула наивысшей точности. В случае интегралов вида (48) такая формула называется формулой Гаусса—Лежандра. Выведем ее для п = 2. [c.55]

Метод ускоренных итераций. Медленно сходящиеся ите-рддяи уравнения (77) можно ускорить, если вместо точного ядра рзять приближенное, для которого решение можно легко получить,. апример, указанными выше методами, или взять ядро, для которого приближенное решение является точным (оно подбирается) [105]. Затем вычисляется невязка с точным ядром и рассматриваемся как возмущение к уравнению с приближенным ядром. Процесс повторяется до сходимости. Еще один способ выбора приближенного ядра — подбор квадратурной формулы с небольшим числом узлов [106]. Обзор таких методов и их оценка дана в статье [64]. [c.201]

Для оценки погрешности приближенных методов Г. В. Иванов (1966) рассмотрел простейший случай элемента пластины, к которому приложены продольная сила и момент в том же направлении. Расчет производился на основе вариационного уравнения Д. Л. Сандерса и др., в котором варьируются скорости напряжений и перемещений. Для рассматриваемой задачи достаточно было варьировать скорости напряжений. В качестве эталонного принималось решение, полученное в результате замены интегралов по толщине квадратурной формулой Гаусса с 15 узлами с ним сравнивался результат, полученный по методу В. И. Розенблюма при линейном законе распределения напряжений по толщине и при аппроксимации этого распределения четырьмя членами разложения по полиномам Лежандра. Последняя аппроксимация дает всегда хороший результат, для других можно указать области значения параметров, для которых они удовлетворительны. [c.144]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...