Задача Кеплера — Ньютона

Задача Кеплера — Ньютона. Рассмотрим движение материальной точки массы т в центральном силовом поле, создаваемом неподвижным телом О (рис. 24. 1), по закону [c.429]

Задача Кеплера — Ньютона 429 [c.461]

Если принять = /i = О, то получим классическую задачу Кеплера-Ньютона о движении твердого симметричного шара в центральном ньютоновском ноле. Уравнения (7) в этом случае имеют вид [c.389]

Почему мы до сих пор интересуемся классической задачей двух тел Фундаментальные открытия Кеплера и Ньютона, связанные с этой темой, обладают поразительной красотой. При всем этом они настолько знакомы нам, что мы порой забываем, что же в них такого удивительного. [c.1]

Другой предельный случай получается, когда фиксируется положение нескольких тел здесь обычно говорят о неподвижных центрах притяжения . В частности, можно рассматривать простейший случай — задачу о движении одной материальной точки в поле единственного притягивающего центра. В дальнейшем мы будем называть этот случай задачей Кеплера вряд ли нужно напоминать, что она была проинтегрирована еще Ньютоном и что качественный и количественный анализ ее решений лежит в основе всей небесной механики. Тем не менее, я надеюсь показать в 2, что и здесь можно если не получить новые результаты, то по крайней мере увидеть старые с новой, неожиданной точки зрения. [c.19]

Понимая таким образом значение решения задачи Кеплера, попробуем повторить работу Ньютона и на примере этой великой задачи поучиться тому, как должна делаться наука. Некоторые из последующих разделов могут показаться трудными и перегруженными излишними выкладками. Эти места можно при первом чтении спокойно пропустить, обратив внимание и запомнив лишь постановку задачи, применяемые к ее решению подходы и полученные результаты. Но спустя некоторое время, если возникнут внутренние побуждения, можно вернуться к прочитанному и еще раз перечитать этот раздел. От этого выйдет большая польза [c.105]

В Д. рассматриваются два типа задач, решения к-рых для матер, точки (или поступательно движущегося тела) находятся с помощью ур-ния (1). Задачи первого типа состоят в том, чтобы, зная движение тела, определить действующие на него силы. Классич. примером решения такой задачи явл. открытие Ньютоном закона всемирного тяготения зная установленные И. Кеплером на основании обработки результатов наблюдений законы движения планет (см. Кеплера законы), Ньютон показал, что это движение происходит под действием силы, обратно пропорц. квадрату расстояния между планетой п Солнцем. В технике такие задачи возникают пря определении сил, с к-рыми движущиеся тела действуют на связи, т. е. другие тела, ограничивающие их движение (см. Связи механические), напр, при определении сил давления колёс на рельсы, а также при нахождении внутр. усилий в разл. деталях машин и механизмов, когда законы движения этих машин (механизмов) известны. [c.159]

Мы видим, таким образом, что при том приближении, которому соответствует постановка задачи, закон Ньютона для движения Земли (и вообще всякой другой планеты) вокруг Солнца заключает в себе два первых закона Кеплера. Что же касается третьего, то из соотношения (17), п. 9 и из равенства (38) следует [c.194]

Классическим примером решения обратной задачи из истории физики является задача о нахождении действующих на планеты сил по известным траекториям планет и известным законам их движения, сформулированным Кеплером. Эта задача привела Ньютона к открытию закона всемирного тяготения. [c.93]

Так, например, составляя интегральные инварианты для задачи Ньютона — Кеплера, имеем [c.62]

Фактически законы Кеплера определяют частное решение гравитационной задачи п тел для случая, когда тела считаются материальными точками, а массы всех тел, кроме одного, настолько малы, что они не притягивают друг друга и испытывают силу притяжения только со стороны единственного тела большой массы. Оказалось, что и система планеты — Солнце и все системы спутники — планета с высокой степенью точности удовлетворяют этим условиям. Первым, кто понял это и занялся систематическим исследованием таких систем, был Исаак Ньютон (1642—1727). [c.13]

Коэн и Хаббард (51 применили преобразование элементов эллиптической орбиты, позволяющее устранить особенности при О, I = О и I = 180 . Кроме того, как уже упоминалось, использование в их уравнениях в качестве независимой переменной истинной долготы позволяет избежать решения уравнения Кеплера. Однако, как уже говорилось выше, решение уравнения Кеплера при применении метода Ньютона—Рафсона не является сложной или требующей большого времени задачей. Полученная [c.233]

Понятие о траекториях искусственных спутников Земли. На космический корабль или искусственный спутник помимо поли тяготения Земли действуют поля тяготения других небесных тел (Солнца, Луны и др.). Однако при не слишком большом удалении от Земли решающую роль играет поле тяготения Земли, которое в первом приближении можно считать сферически симметричны центральным полом, чей центр совпадает с центром Зем.ти. Траекторию космическогв корабля можно разбить на два участка активный, во время прохождения которого двигатели работают, и пассивный, описываемый космическим кораблем после выключения двигателя. Определение пассивного участка траектории п поле тяготения Земли сводится к решению задачи Кеплера — Ньютона (см. п. 2. 2). Если пассивный участок траектории тела, запу-ш,енного с Земли в космическое пространство, представляет собой эллиптическую орбиту, то тело является искусственным спутником Земли. [c.431]

Как выдающийся математик конца XVII в., Лейбниц не мог оставить без внимания традиционные задачи механики, занимавшие умы большинства геометров этого периода. Конкретным задачам статики, кинематики и динамики движения планет и падающих тел посвящено значительное количество работ, продолжающих исследования Галилея, Кеплера, Гюйгенса, Ньютона, Я. и И. Бернулли. [c.119]

Утверждение, что физическая наука началась после того, как И Ньютон на основе предложенного им закона гравитационного взаимодействия получил в качестве решения сформулированных им же уравнений движения все три эмпирических закона Кеплера, вряд ли является чрезмерным преувеличением, хотя и представляет собой большое упрощение. Такое достижение должно было убедить не только автора, но и всех его возможных оппонентов в правильности изложенных представлений о природе и законах, управляющих движением, произвести громадное впечатление на научный мир и то, что сегодня принято называть общественным мнением, возбудить энтузиазм исследователей и породить у них желание следовать блестящему примеру первопроходца. Достижение И. Ньютона в решении задачи о движении тел под действием гравитационного притяжения - эту задачу сегодня называют задачей Кеплера - представляет собой событие намного большее, чем решение частной задачи. По существу, оно оказалось одной из величаиших вершин в познании окружающего Мира, поднявшись на которую человечество увидело новые горизонты, о существовании которых до того времени не подозревало. Сравнить это достижение с чем-нибудь другим трудно. Может быть, что-то похожее испытали люди полтора-два столетия раньше в эпоху великих географических открытий. Но то были открытия на поверхности Земли. А здесь, подлинно открылась бездна . И открылась она не только в бескрайность Вселенной, но и внутрь самого человека, показав ему бездонные глубины разума и его собственного интеллекта. Такое открытие, без всяких сомнений, изменило самого человека, необратимо сделало его другим. [c.105]

Вывод закона Ньютона из законов Кеплера. В виде приложения выше полученных результатов решим следующую задачу точка движется согласно первому и второму законам Кеплера (Kepler), т. е. описывает коническое сечение с постоянной секторной скоростью относительно фокуса этого сечения определить модуль и направление ускорения. [c.71]

Закон площадей — прообраз и частный случай общего закона моментов количеств движения — был установлен впервые Кеплером для движения планет. Кеплер показал, что его второй закон справедлив как для теории Коперника, так и для теорий Птолемея и Тихо Браге. Возможно, что это обстоятельство побудило Ньютона к дальнейшему обобщению. В Началах он доказал и то, что закон площадей для планетных орбит является следствием закона тяготения (планет к Солнцу) в принятой Ньютоном форме, и то, что этот закон справедлив при движении тела под действием любой силы постоянного направления, проходящей через неподвижный центр. Но переход к более общей закономерности не был напрашивающимся, так как момент силы относительно этого центра тождественно равен нулю и в случае, который рассматривал Ньютон. Этот переход был облегчен развитием статики — оперирование моментами (сил) относительно ося или точки как алгебраическими величинами стало там обычным благодаря трудам Вариньона. Все же новое обобщение закона площадей было получено только в работах 40-х годов XVIII в. Все эти работы связаны с задачами о движении тел на движущихся поверхностях. Подобные задачи ставились и в земной, и в небесной механике. Иоганн и Даниил Бернулли начали изучение таких вопросов для случая, когда движущаяся поверхность — наклонная плоскость. Клеро немало содействовал успеху в этой тогда новой области механики своими результатами по теории относительного движения. Вслед за ним Эйлер в большой работе О движениях тел по подвижным поверхностям от- [c.125]

Если ограничиться исследованием движения точки при простейших предположениях (Земля неподвижная, гравитационное Поле центрально), достаточных для выяснения многих характеристических свойств, то анализ становится простым, геометрически наглядным и красивым. Лучшие достижения математиков, начиная с Аполлония (жил около 200 лет до нашей эры), и механиков— от Коперника, Кеплера, Ньютона, плодотворно обога щали друг друга при изысканиях решений этой проблемы. Могущество теоретического мышления выявляется здесь с годами все глубже и полнее. Трудно указать в XX столетии механическую проблему, столь же важную и столь величественную. Мы изложим указанные частные задачи динамики точки достаточно подробно. [c.235]

Будучи точной наукой, космодинамика использует математические методы исследования и требует логически стройной системы изложения. Недаром основы небесной механики были разработаны после великих открытий Коперника, Галилея и Кеплера именно теми учеными, которые внесли величайший вклад в развитие математики и механики. Это были Ньютон, Эйлер, Клеро, Даламбер, Лагранж, Лаплас. И в настоящее время математика помогает решению задач небесной баллистики и в свою очередь получает толчок в своем развитии благодаря тем задачам, которые космодинамика перед ней ставит. [c.17]

Н. Коперника (16 в.) и открытие нем. астрономом И. Кеплером законов движения планет (нач. 17 в.). Основоположником динамики явл. итал. учёный Г. Галилей, к-рый дал первое верное решение задачи о движении тела под действием силы (закон равноускоренного падения) его исследования привели к открытию закона инерции и принципа относительности классич. М. им же положено начало теории колебаний (открытие изохронности малых колебаний маятника) и науке о сопротивлении материалов (исследование прочности балок). Важные для дальнейшего развития М. исследования движения точки по окружности, колебаний физ. маятника и законов упругого удара тел принадлежат голл. учёному X. Гюйгенсу. Создание основ классич. М. завершается трудами И. Ньютона, сформулировавшего осн. законы М. (1687) и открывшего закон всемирного тяготения. В 17 в. были установлены и два исходных положения М. сплошной среды закон вязкого трения в жидкостях и газах (Ньютон) и закон, выражающий зависимость между напряжениями и деформациями в упругом теле (англ. учёный Р. Гук). [c.415]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...