Кеплерова задача

Решение. Задачу об ускорении небесного тела в кеплеровом движении будем решать в полярных координатах. Полярную ось на- [c.352]

Решение. Задачу об ускорении небесного тела в кеплеровом движении будем решать в полярных координатах. Полярную ось направим из фокуса, где находится Солнце, вдоль большой оси эллипса. Уравнение эллипса в полярных координатах имеет вид р [c.486]

С помощью этого интеграла из первого уравнения (9) исключаются i> и i>. К рассмотрению задачи о кеплеровом движении мы вернемся позже. [c.357]

Мы собираемся здесь добавить к рассмотренной в предыдущем сообщении кеплеровой задаче несколько других примеров При этом взяты лищь-простейшие случаи, поскольку мы пока ограничиваемся классической механикой и не вводим магнитного поля ). [c.695]

При этом зависимость от радиуса г будет определяться уравнением, которое следует рассматривать с помощью метода, совершенно подобного примененному в первом сообщении для исследования кеплеровой задачи. Одномерный осциллятор, между прочим,- [c.697]

Наша задача формулируется следующим образом. Уравнение (1) аппроксимируется уравнением движения для кеплеровой задачи (одна из масс приведена к остальным, [c.94]

Член Pq (w) в правой части представляет собой возмущающую функцию, которая равна нулю при оу = О, т. е. в точке нахождения малой планеты массы v при этом, однако, левая часть вырождается. Подставив в уравнение(6) Pq (w) = О, получим после поворота z = уравнение (2). Таким образом, уравнение (6) оказывается близким к уравнению интегрируемой кеплеровой задачи для малых w, даже когда величина fx = 1 — v не мала. В данном случае наиболее важным моментом вновь является применение условий периодичности (3) после замены х наоу, так как тем самым гарантируется, что якобиан относительно невозмущенного эллиптического решения л (/) не будет равен нулю. Приводить, однако, условия (3) к виду (5) бесполезно, так как в настоящих обстоятельствах нельзя рассматривать х как малый переменный параметр — теперь эта величина фиксирована и близка к единице. Несмотря на это, мы можем разрешить (3) с учетом (4) относительно Т и rjg, как и в случае уравнения (5), с помощью теоремы о неявных функциях, если воспользуемся следующим приемом. [c.98]

Д. Кеплерова задача. Речь идет о движении в центральном [c.39]

Геометрия задачи Кеплера. Мозер (J. Moser) заметил, что с помощью подходящей замены времени фазовый поток кеплеровой задачи можно преобразовать в геодезический поток на поверхности постоянной кривизны. При изложении этого результата мы будем следовать Ю. С. Осипову (УМН, 1972, 27 [c.69]

Замечание (А. Б. Гивенталь). Пусть плоскость (дс, у) — конфигурационная плоскость кеплеровой задачи с лагранжианом = (д - -t/ )/2-f 1/у. +У . Рассм отрим в пространстве х,у, [c.70]

Теорема. Фазовый поток плоской кеплеровой задачи (6) на многообра- [c.23]

Ньютоновский характер сил взаимодействия порождает две типичные асимптотики для ухода в бесконечность гиперболическую 0(1) и параболическую 0(/ /з). В одномерной кеплеровой задаче это очевидно из интеграла энергии [c.39]

Эффект пограничного слоя и разрывные решения идеальной кеплеровой задачи ([22], [23], [29]). Пусть М риманово многообразие, Е — его замкнутое подмногообразие, IV — нормальное расслоение над Т,, II — трубчатая окрестность I] в М, диффеоморф-ная г-окрестности нулевого сечения (так что (ж, у), ж < г, у Е Т., X ТуТ, можно считать координатами в и). Все векторные поля, о которых далее пойдет речь, принадлежат классу па своей области определения и зависят от параметра О непрерывно в точке а = О относительно топологии равномерной сходимости на компактах. [c.141]

Начнем с характерных длин. Две такие длины — классический радиус электрона и его комптонову длину волны — мы уже ввели. Найдем теперь радиус первой разрешенной в модели Бора орбиты, соответствующей числу п= 1. Обращаясь опять к выписанным в 1.2.4 формулам кеплеровой задачи, найдем, что этот радиус — его принято называть просто боровским радиусом и обозначать ав — равен [c.324]

Первый закон. Каждая из планет движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Этот закон получен нами в процессе рещения кеплеровой задачи в виде формулы (27.14). Необходимо только отметить, что с учетом движения Солнца фокус эллипса планеты совпадает не с центром Солнца, а с центром масс системы [c.233]

Это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу иа Земле, чтобы (без учета сопротивления воздуха) тело покинуло пределы поля тяготения Земли. Таким образом, это параболическая скорость и находить ее следует из интеграла энергии кеплеровой задачи. При условии, что полная энергия тела равна нулю, имеем [c.236]

Исторически В. т. первоначально применялась в небесной механике для приближённого решения трёх тел задачи. Здесь роль невозмущённой задачи играет кеплерова задача для двух тел. Возмущение, вызываемое движением третьего тела, считается малым и описывается малыми членами ур-ний движения. [c.82]

Влияние сжатия Земли на движение спутника. Найти эволюцию элементов кеплеровой орбиты, обусловленную сплюснутостью Земли у полюсов (см. задачи 1.5.3, 1,5.30). [c.310]

В п. 1 предыдущей главы мы отметили, что среди динамических задач, в которых приходится рассматривать системы свободных точек, первое место по важности згнимают задачи небесной механики. В этой главе, чтобы дать первые и наиболее элементарные понятия этой ветви механики, возьмем снова кеплеровы движения, уже изучавшиеся в 8 гл. II т. I, т. е. движения планет вокруг Солнца. Эти движения характеризуются тремя законами Кеплера, формулировку которых здесь целесообразно повторить [c.172]

Введем дальнейшее упрощение в задачу, предполагая, что движение отдаленной точки Р известно с этой целью ограничимся наиболее замечательным случаем, в котором движение точки Р можно строго или, по KpaflHefr мере, приближенно рассматривать так, как если бы эта точка притягивалась только одной Землей. Тогда, если имеются в виду отдаленные тела, мы приходим к задаче двух тел, одно из которых есть точка Р, а другое — Земля, масса которой предполагается сосредоточенной в центре тяжести О в пп. 4 и 21 гл, 111 мы видели, что при таких условиях всегда возможны круговые движения (частный случай так называемого кеплерова движения), угловая скорость которых п связана с радиусом орбиты соотношением [c.321]

Но в этой задаче лучше ввести согласно указаниям в конце п. 68 кеплеровы переменные (138), относительно которых можно предположить, что L, G, 0, g, 0 изменяются, оставаясь близкими к тем постоянным значениям, которые они имели бы в невозмущенном движении (кеплеровом), а изменение /, которое в этом последнем движении было бы пропорционально t—будет немного отличаться от равномерного изменения. [c.357]

Система (70) обладает тем замечательным свойством, что в ней сохранены резонансные гармоники, а это зна чит, что-функции iti, Vi,. .., itf, V, преобразования Крылова — Боголюбова не будут содержать малых знаменателей. Таким образом, строится асимптотическая теория малых, а не больших возмущений. Тем самым задача с большими возмущениями (сильно возмущенная задача) благодаря качественному использованию метода сглаживания как бы становится задачей с малыми возмущениями (слабо возмущенной задачей). Действие малых знаменателей локализовано в усредненных кеплеровых элементах 10 [c.147]

Среди проблем небесной механики, имеющих важное прикладное значение для космических полетов, ограниченная задача трех тел играет центральную роль. Эта задача состоит в описании возможных траекторий движения материальной точки пренебрежимо малой массы (пилотируемого или беспилотного космического аппарата, метеорита, астероида) под действием гравитационного притяжения двух крупных небесных тел, которые в свою очередь предполагаются движущимися относительно друг друга по окружностям в соответствии с кеплеровыми законами. Ограничиваясь двумерным случаем, уравнения движения материальной точки можно записать в следующем виде [c.93]

Для исследования оптимальных движений механических систем со свободными (или управляющими, регулируемыми) функциями имеются мощные математические методы, составляющие в наши дни основу вариационного исчисления или, более широко, функционального анализа. Создание реальной конструкции (ракеты, самолета, автопилота) тесно связано с изучением экстремальных свойств функций многих переменных и функционалов. Мудрый Леонард Эйлер писал в одной из своих работ ...так как все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, если на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое-то свойство максимума или минимума . Анализ содержания научных статей по динамике полета, опубликованных за последние 20—25 лет, убеждает нас в том, что методы вариационного исчисления не только позволяют выделять из бесконечного разнообразия возможных движений, определяемых дифференциальными уравнениями механики, более узкие классы движений, для которых некоторые (обычно интегральные) характеристики будут оптимальными в ряде случаев они дают возможность детального аналитического исследования, так как для некоторых экстремальных режимов уравнения движения интегрируются в конечном виде. Опорные аналитические решения для оптимальных движений можно находить во многих трудных задачах, когда системы исходных уравнений являются нелинейными. Как эмпирический факт можно отметить, что для классов оптимальных движений нелинейные дифференциальные уравнения становятся более податливыми и в большом числе задач Зо-пускают интеграцию в квадратурах. Мы уверены в том, что семейства аналитических решений нелинейных уравнений механики в конечном виде внутренне тесно связаны с условиями оптимальности и в задачах динамики ракет и самолетов играют роль невозмущенных движений, аналогичных кеплеровым движениям в задачах небесной механики . [c.35]

В главе IV рассматривается кеплерово движение относительно заданной в пространстве системы отсчета. Рассмотрены задачи о нахождении положения спутника по заданным элементам его орбиты и о нахождении элементов орбиты по нескольким известным положениям спутника. Привлечение простейших сведений о матрицах и о векторах позволяет изложить эти вопросы весьма компактно. В 6 главы IV рассказано о возможности прогнозирования трассы близкого спутника на поверхности Земли. Здесь мы впервые отступаем от кеплеровых движений, когда учитываем вращение плоскости орбиты, вызванное сжатием Земли. [c.9]

Если бы возмущающее ускорение Ф было равно нулю, то уравнение (1) представляло бы собой дифференциальное уравнение задачи двух тел и определило бы кеплерову орбиту (эллипс, гиперболу или параболу). Положение, форма, размеры орбиты и положение самого спутника на ней полностью характеризовались бы шестью константами — элементами этой орбиты й, у, е, р, со, х ). [c.265]

Будем считать, что движение спутника относительно центра масс не влияет на орбиту, так что орбита является кеплеровой эллиптической орбитой. Это допущение справедливо ввиду малости размеров спутника по сравнению с размерами орбиты. Такая постановка задачи, которую назовем ограниченной, обычно применяется в классических задачах о прецессии Земли и либрации Луны [94]. [c.58]

В опубликованных за последние 20 лет статьях по динамике полета аэропланов и ракет методы вариационного исчисления нашли широкую область приложений- При помощи вариационного исчисления мы выявляем такие классы движений, при реализации которых некоторые интегральные характеристики будут наилучшими (например, время полета до цели — минимально дальность полета при заданном запасе топлива — максимальна). Более того, в ряде нелинейных динамических задач методы вариационного исчисления позволяют получить простые аналитические зависимости ( опорные решения), так как для оптимальных режимов полета уравнения движения интегрируются в конечном виде. Как эмпирический факт можно отметить, что для классов оптимальных движений нелинейные дифференциальные уравнения становятся более податливыми и в большом числе задач допускают интеграцию в квадратурах. Мы уверены в том, что семейства аналитических решений нелинейных уравнений механики в конечном виде внутренне тесно связаны с условиями оптимальности и играют в задачах динамики ракет и самолетов роль невозмущенных движений, аналогичных кеплеровым движениям в задачах небесной механики [25]. [c.15]

В динамике космического полета можно отчетливо проследить плодотворные взаимодействия техники и ряда фундаментальных и прикладных наук. Особенно следует подчеркнуть широкое использование методов и результатов небесной механики для решения задач динамики в гравитационных полях Солнца и планет солнечной системы. Так теория кеплеровых движений, теория возмущений орбит, исследование движений в оскулирующих элементах (метод Лагранжа) перешли из небесной механики в динамику космического полета с относительно небольшими изменениями и дополнениями. Но в ряде задач (например, теория движения искусственных спутников Земли) динамики космического полета пришлось создавать и разрабатывать совершенно новые методы исследования. Эти новшества вызываются дополнительными силами, которые в задачах небесной механики не играют существенной роли. Так, при движении спутников Земли на высотах до 500—700 км аэродинамические силы, обусловленные наличием атмосферы, оказывают влияние на законы движения и приводят к постепенному изменению (эволюции) орбит спутников. Изучение этих эволюций требует знания строения атмосферы на больших высотах и знания, законов аэродинамического сопротивления при полете с первой космической скоростью в весьма разреженной среде. Развитие космонавтики обусловило быстрый прогресс и аэродинамики и метеорологии. [c.19]

Солнца. Так как, кроме Солнца, планету притягивают и вс прочие тела нашей сисгемы, то получается движение, отличающееся от эллиптического и гораздо более сложное. Но во всяком случае действие Солнца есть преобладающая сила, приложенная к планете. Она значительно больше возмущающих сил, 1. е. притяжений других планет. Поэтому отступления от правильного эллиптического движения хотя замечаются при точных наблюдениях, но они очень невелики. Это позволяет применить для получения второго приближения следующий прием. Будем считать, что все-таки планета движется по эллипсу, но ч то этот эллипс медленно и постепенно изменяется. Л1ы считаем, что изменяются все элементы эллипса его большая полуось (а), эксцентриситет (е), угол наклона орбиты к неизменной плоскости (а), время обращения (Г) и т. д. все это — не постоянные величины, а функции времени. Другими словами, мы вводим понятие о мгновенном эллипсе, беспрестанно изменяющемся. Найдя первое приближение, — т. е. кеплерово эллиптическое движение,— и определив для этого эллипса те постоянные величины, которые его характеризуют (а, е, ср и т. д.), мы затем изменяем Э1И постоянные, предполагаем их функциями времени. Вот — сущность метода изменения постоянных, применяемого при изучении планетных возмущс1П1й. Конечно, тот же метод может быть применен и для других задач динамики это — общий динамйческий метод. [c.243]

Кеплерово движение. В задаче о кеплеровом эллиптическом движении (п. 10.15) интеграл (10.14.6) уравнения в частных производных Якоби, обращающийся в нуль в начальной точке (Г0, ср ) траектории, имеет вид [c.745]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...