Матрица смещений

Введем в рассмотрение матрицу тангенциальных усилий Т, матрицу моментов G, матрицу перерезывающих усилий N, матрицу тангенциальных деформаций Е, матрицу изгибных деформаций К, матрицу смещений U, определив их равенствами [c.273]

Принимая во внимание краевые условия ( 1 — О, Уз = 0), запишем матрицы смещений и внешних сил [c.490]

Использование треугольных конечных элементов в рассматриваемой задаче изгиба пластин наталкивается на ряд затруднений, связанных с тем обстоятельством, что естественно, казалось бы, аппроксимации для w приводят или к вырожденности матрицы системы уравнений (3.82), или в случае смещения элемента как жесткого целого дают отличные от нуля деформации внутри элемента. Преодоление этих трудностей облегчается использованием барицентрических координат точек треугольника. [c.149]

В качестве примера найдем матрицу преобразования L при произвольном смещении и повороте тройки базисных векторов (рис. П.6). Так как при поступательном с.мещении координатных осей базисные векторы совпадают с исходными, то можно рассмотреть только преобразование, связанное с поворотом базисных векторов. Произвольный поворот координатных осей можно представить как три независимых поворота. Рассмотрим поворот исходных координатных осей относительно оси, совпадающей с направлением вектора ею, на положительный угол Й1 (рис. П.6,а), в результате получим [c.295]

Легко показать, что каждый из столбцов матрицы Г2(р, я) удовлетворяет уравнению Ламе по переменному р. Поэтому и произведение Гз р,д)(((д) (( д) — произвольный вектор) будет удовлетворять этим уравнениям во всем пространстве, исключая точку д. Построенный вектор можно трактовать как поле смещений, порождаемое во всем пространстве сосредоточенным моментом (р( ), приложенным в точке д в плоскости с нормалью V. Образуем теперь интеграл. [c.549]

Матрица Грина позволяет получить также представление для смещений, удовлетворяющих неоднородным уравнениям Ламе (Д и = Нд)У- [c.570]

Построение матрицы Грина для второй основной задачи сопряжено с некоторым усложнением (аналогично функции Грина для задачи Неймана (см. 7 гл. 1)). Дело в том, что нельзя подобрать в случае, когда область О конечна, матрицу и р,д) таким образом, чтобы оператор напряжений от смещений, определяемых матрицей 0 р,д), обращался на поверхности 5 в нуль. [c.570]

Умножив уравнения (2) на матрицу с элементами крд(к), сразу приходим к представлению для трансформанты смещений [c.662]

Сдвиговый анализ. Рассмотрим волокно, помещенное в трубку из упругого материала матрицы, как показано на рис. 20.5.1. Радиус волокна пусть будет г, радиус трубки R. Наружная поверхность трубки жестко закреплена. Предположим, что материал трубки работает только на сдвиг, смещение сечения, находящегося на расстоянии х от места обрыва, пусть [c.696]

Матрица [й ц] содержит компоненты усилий в i-м узле при единичных смещениях /-го узла при условии, что остальные узлы смеще-ПИЙ не имеют. [c.558]

Если теперь повернуть координатные оси так, чтобы ось х совпала с ОС, а ось у — с перпендикуляром к ОС, то на каждой из площадок, перпендикулярных новым осям хну, будут существовать как упругие смещения, соответствующие относительным деформациям удлинения е,, е , так и упругие смещения, вызванные деформацией сдвига Совокупность компонентов деформации можно записать при плоской деформации в форме матрицы [c.154]

Для внедренного атома того же металла радиус полости в матрице оказывался очень малым и смещение 1/о не удовлетворяло условию малости смещений, требуемому применяемой теорией упругости (для гантельной же конфигурации внедренного атома сама модель сферического [c.60]

Тогда из (3.24) находим выражения для обусловленных появлением включения смещений II точек матрицы, изменения объема бF всего кристалла, ограниченного до деформации сферической поверхностью с радиусом i , и изменения бУт объема матрицы (до деформации ограниченной сферами с радиусами Г] и Л) [c.61]

В соответствии с тем, что смещение Л1 не вызывает изменения объема в матрице, обусловленное полем С/, = [c.61]

По такого типа формулам можно провести численные оценки энергии образования точечных дефектов с применением как аппроксимации энергий взаимодействия атомов конкретными потенциалами, так и метода разложения смещений в ряды Фурье, а также с использованием найденных величин атомных смещений (см. 3). Эти оценки показали [60, 63], что энергия релаксации рел в случае вакансии составляет небольшую часть от энергии образования (порядка нескольких процентов). Лишь в случае внедренного атома матрицы она мон ет достигать величины 60% от Е , При этом главная часть рел обусловлена смещениями лишь ближайших к дефекту атомных слоев. Большие значения рел для вакансии были найдены в [56]. [c.100]

Расчеты энергетических характеристик комплексов, возможных атомных конфигураций дефектов в них, смещений атомов матрицы, объемных изменений представляют собою весьма сложные (особенно в случае крупных комплексов) математические задачи. Успешное решение их стало возможным при использовании рассмотренного в 3 метода моделирования дефектов на ЭВМ, который применялся в ряде случаев и для решения многих упомянутых выше более простых задач, связанных с исследованием одиночных дефектов. [c.123]

Были рассчитаны также комплексы внедренных атомов [55, 54, 103, 73, 76]. В случае одного внедренного атома металла матрицы расчет привел к выводу, что наиболее устойчивым является пе одиночный межузельный атом, занимающий центр междоузлия, а так называемая гантельная или расщепленная конфигурация атомов (рис. 27). Внедренный атом смещает соседний атом, находившийся ранее в узле (отмеченном на рис. 27 крестиком), и образует с ним пару (гантель) симметрично расположенных смещенных с узлов атомов. При этом в ГЦК решетке ось гантели ориентирована в направлении (100) (рис. 27,а), а в ОЦК решетке—в направлении <110) (рис. 27, б). Гантель можно рассматривать как симметричный комплекс дефектов — внедренного и смещенного атомов, искажаю- [c.125]

Рис. 28. Релаксация ОЦК решетки а-Ре вокруг гантельной конфигурации внедренного атома того же металла в плоскости (110) по [70]. Пунктирными линиями показаны несмещенные положения атомов в идеальной решетке (О—атомы в смещенных положениях, заштрихованные кружочки — атомы того же сорта, образующие гантель, X — вакантный узел, в котором до внедрения находился атом матрицы).

При расчете упругих характеристик волокнистых композиционных материалов выделяется типичный объем. Он состоит из заданного числа волокон, распределенных в матрице (с указанием расстояний и угловых смещений) так, чтобы упаковка армирующих волокон по всему объему материала была идентичной их размещению в типичном объеме. Если определено напряженно-деформированное состояние во всех компонентах, входящих в типичный объем, то эффективными или приведенными упругими характеристиками композиционного материала являются коэффициенты, связывающие усредненные по типичному объему компоненты напряжений и деформаций. В матричной форме эта связь представляется в виде [c.53]

Таким образом, составляющая смещения б, является скалярным произведением вектора Р и строки матрицы f . [c.116]

В этом уравнении содержится сложная матрица, элементы которой являются матрицами с размерностью 2 X 2. В большинстве случаев эти элементы можно считать скалярными величинами. Следует также отметить, что несмотря на то, что соотношения, связывающие усилия с перемещениями для отдельного элемента, не являются регулярными (так как смещения системы как твердого тела приводят к неединственности <1 при заданном Р), решение в общем случае должно однозначно определяться действующими нагрузками [при этом требуется обращение уравнений (7)1. Если заданная система рассчитывается на несколько случаев нагружения, удобнее записывать уравнение (7) через коэффициенты податливости, т. е. й = РР. Таким образом, выполняется только одна операция обращения, при этом для записи правой части требуется найти произведение нового вектора нагрузки и матрицы Е. Связь между компонентами матрицы податливости и коэффициентами влияния была установлена ранее (см. раздел П, Б, 2). V, [c.121]

Параметр у/в в уравнениях (4)— (6) определяет энергию разрушения адгезионного соединения на поверхности раздела для образца с одним волокном, 1В1 — соответствующую энергию композита. Параметр Ьв характеризует длину волокна, продольно смещенного относительно матрицы, Sfт — прочность волокна при разрыве. [c.61]

Резюме. Как недавно заметили Коулман и Нортон, феноменологическое понятие многократного рассеяния для процессов с произвольным числом частиц позволяет дать очень простую интерпретацию особенностей Ландау S-матрицы в физической области. Здесь эта физическая интерпретация углубляется с помощью одной геометрической идеи особенности Ландау являются видимыми контурами. Используя методы дифференциальной топологии, созданные Томом и развитые в приложениях I—IV, мы показываем, что эти видимые контуры имеют в физической области значительно более простое ст-роение, чем могло бы показаться. Это обстоятельство позволяет точно сформулировать обычные гипотезы об аналитичности S-матрицы (смещение с физической области, правила Куткоски и т. д.) и установить простую связь между этими гипотезами и понятием многократного рассеяния таким образом правила Куткоски ведут прямым путем к свойству факторизации S-матрицы для событий, разделенных большими промежутками времени. [c.5]

Для рассмотрения задачи II смещения выбираются в форме потенциала простого слоя V(p,qi). Как отмечалось, элементы матрицы Г(р,д) имеют на бесконечности логарифмическую особенность, и поэтому сам потенциал в бесконечности оказывается неограниченной величиной. Однако потенциал становится ограниченным, если потребовать выполнеине условия [c.591]

Расчеты проводились при параметрах ро=1,82 и сро = 48°. Использовалось всего по 12 координатных функций (г = 0, 1,2,3 и / = 0, 1,2). Рещение системы уравнений осуществлялось практически точно, но при построении самой матрицы вносилась погрешность. Обозначим через ба и Ьш относительную погрешность в коэффициентах Ритца и в смещении w при решении, исходя из первой координатной системы. Добавление же черты означает, что брались эти же величины, но применительно ко второй системе, т. е. ба и бг . [c.630]

По аналогии с точечными, линейными и поверхностными дефектами можно наметить группу объемных дефектов. Объемные дефекты согласно классификации не являются малыми во всех трех измерениях. К ним можно отнести скопления точечных дефектов типа пор, а также системы дислокаций, распределенных в объеме кристалла. Другими словами, благодаря наличию в кристалле точечных, линейных и плоских дефектов кристаллическая решетка может отклоняться от идеальной структуры в больших объемах кристалла. Кроме того, к объемным дефектам, например в монокристалле, можно отнести кристаллики с иной структурой или ориентацией решетки. В структуре кристалла будут значительные различия между центром дефекта и матрицей, а в матрице возникнут смещения атомов, убывающие с удалением от ядра дефекта. Таким образом, наличие фаз, дисперсных выделений, различных включений, в том числе неметаллических, неравномерность распределения напряжений и деформаций в макрообъемах также относятся к объемным дефектам. [c.42]

Для изготовления лазерных элементов обычно используют бледно-розовый рубин, концентрация хрома в котором порядка 0,05 % (мае.). Введение ионов хрома слегка искажает кристаллическую решетку матрицы, поскольку они имеют радиус 0,065 нм, несколько больший радиуса иона алюминия (0,057 нм). Эти искажения, во-первых, вызывают появление внутренних напряжений в монокристаллах рубина и ограничивают предельнуьэ концентрацию ионов хрома в них и, во-вторых, приводят к смещению иона хрома вдоль пространственной диагонали в октаэдре из ионов кислорода. С ростом концентрации ионов хрома параметры элементарной ячейки кристаллической решетки увеличиваются. Поскольку монокристаллы рубина анизотропны, их свойства зависят от ориентации образца. [c.74]

Другим источником напряжений третьего рода, охватывающих области меньшего, чем у дислокаций, порядка, являются внедренные атомы. В зависимости от характера взаимодействия внедренных атомов с атомами матрицы возможны как растяжения, так и сжатия решетки (рис. 2.1). Поля напряжений распространяются по всем направлениям примерно на одинаковые расстояния, в то время как вокруг дислокаций силовое поле имеет относительно значительную напряженность, по крайней мере в одном направлении. Установлено, что в закаленной стали возникают заметные искажения решетки и значительные напряжения третьего рода. Смещение атомов железа из узлов реп1етки составило 0,007 нм при содержании углерода 0,35% и 0,009 нм при 0,41% углерода. [c.43]

По физическому смыслу матрица формы [Ф,] выражает перемещения точек элемента в случае, когда компоненты смещения узла i раины единице ( <=1, Vt==l), а смещения других узлов отсутствуют. В соотношении (19) вектор-строка и вектор-столбец имеют блочную структуру в более комнактнон форме зависимость (19) можно записать следующим образом [c.554]

Строчка матрицы для плоско задачи содерл ит дна линейных уравиония относительно комнонеитов смещений. [c.560]

Пусть кристалл образован одинаковыми атомалш сорта А, смещенными в результате статических искажений решетки на векторы Us (с компонентами 11 где / = 1, 2, 3) от нериодическн правильно расположенных узлов (номер узла 5 пробегает значения от 1 до А). Для простоты ограничимся случаем примитивных решеток, т. е. имеющих один атом на элементарную ячейку, п не будем принимать во внимание тепловые колебания атомов. Потенциальная энергия кристалла матрицы (без де- [c.44]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...