Области устойчивости в пространстве параметров

Системы, не имеющие областей устойчивости в пространстве параметров, называют структурно неустойчивыми. Рассмотренная расчетная схема является структурно неустойчивой. [c.403]

Первое неравенство определяет область устойчивости, которую получаем при изучении возможностей возбуждения резонансных колебаний в направлении координат б и (для случая действия внешней периодической силы в направлении координаты (р). Второе неравенство относится к случаю действия внешней силы в направлении координаты б, третье — в направлении Соответствующие области устойчивости в пространстве параметров показаны на рис. 2, б, в. Первое и второе [c.271]

Результаты анализа устойчивости периодических движений одномассных ВУС приведены в табл. 1, где указаны коэффициенты и характеристического уравнения (всюду ац = 1). Условия (27) позволяют определить значения ф, соответствующие устойчивым режимам, а фазовые уравнения — найти области устойчивости в пространстве параметров. [c.316]

ОБЛАСТИ.УСТОЙЧИВОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ ПАРАМЕТРОВ [c.469]

Б. В. Булгаков рекомендует с помощью уравнения для коэффициента к производить построение областей устойчивости в пространстве параметров системы, в том числе— области абсолютной устойчивости, соответствующей границе отрицательности или комплексности коэффициента к. [c.61]

С теорией критических случаев устойчивости тесно связан вопрос о поведении динамических систем вблизи границ области устойчивости в пространстве параметров. Границей области устойчивости называется совокупность всех тех точек пространства параметров, в которых по крайней мере один из корней характеристического уравнения является критическим. Так, для линейной системы уравнений возмущенного движения с постоянными коэффициентами устойчивость может теряться либо когда по меньшей мере один из корней характеристического уравнения становится равным нулю, либо когда два корня становятся чисто мнимыми в этих случаях уничтожаются либо последний, либо предпоследний из определителей Гурвица. В первом случае уравнения возмущенного движения будут иметь новую последовательность равновесий, проходящую через отвечающую точку, а во втором — последовательность периодических движений (Н. Г. Четаев, 1946). [c.60]

Для резонанса Xj—А = со, в частности Х4 — = со, области устойчивости в пространстве инерционных параметров имеют вид [c.272]

В данном случае сходство с консервативной системой распространяется даже дальше можно показать, что исследуемое периодическое движение обладает орбитной устойчивостью. Область орбитной устойчивости в пространстве параметров имеет вид [c.38]

В связи с внедрением быстродействующих вычислительных машин в последний период наметилась тенденция к исчерпывающему исследованию виброударных систем, включающему рассмотрение сложных ) режимов, которым, как уже отмечалось, обычно отвечают весьма узкие области существования и устойчивости в пространстве параметров, а также узкие области притяжения в фазовом пространстве. Такие исследования, несомненно, представляют важный шаг в развитии теории. Однако необходимо помнить о грубости обычно применяемых моделей виброударных систем, использующих понятие о коэффициенте восстановления как о физической постоянной. Вследствие зависимости коэффициента восстановления от ряда неучитываемых (в том числе и случайных) факторов, указанные сложные режимы могут оказаться практически нереализуемыми. В свете сказанного, наряду с полным детерминистическим исследованием вибро-ударнЫх систем особый интерес представляет статистическое рассмотрение, учитывающее, что коэффициент восстановления изменяется случайным образом от удара к удару. [c.101]

Как видно из предыдущего, определение динамической жесткости (податливости) и виброустойчивости ведется идентичными методами и обе эти характеристики могут быть выражены едины.м показателем — упругим перемещением или амплитудой колебаний при соответствующей нагрузке. Качество динамики MP в целом оценивается ее основным параметром — устойчивостью или виброустойчивостью. Устойчивость количественно измеряется диапазоном изменения того или иного параметра без потери ею устойчивости или, в общем случае, областью устойчивости в пространстве. [c.254]

Обычный метод разыскания возможных границ области устойчивости установившегося движения некоей механической системы (произвольное движение которой, мало отклоняющееся от исследуемого, описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами) заключается в построении так называемого D-разбиения в пространстве параметров [24]. [c.104]

Наиболее широкую область устойчивости периодического ударно-вибрационного режима в пространстве параметров машины обеспечивает режим, при котором частота ударов равна частоте вращения дебалансов. Для этого режима расчет основных параметров машины производят следующим образом [5, 6]. Задав необходимую для уплотнения смеси относительную ударную скорость и = uj — uj (где>7, — пред- [c.399]

Области устойчивости и критические параметры. Пусть операторы А, В и С в уравнении (1) зависят от числовых параметров а, р, у.....Выделим в пространстве этих [c.241]

О 0) < оо), ищут отображение мнимой оси при помощи функции F (к, а, р, -у,. ..) на пространство параметров а, Р, -у,. .. Исследование устойчивости несколько упрощается, если из предварительного анализа известны некоторые точки в пространстве параметров, заведомо принадлежащие области устойчивости. [c.243]

Применение критериев устойчивости Рауса—Гурвица приводит при /г = О к следующему соотношению, определяющему в пространстве параметров области существования устойчивых движений [c.177]

Пусть уравнения возмущенного движения зависят от / параметров Рь...,Р В пространстве параметров выделим область, в каждой точке которой имеет место устойчивость невозмущенного движения. Эту область будем называть областью устойчивости ее границе отвечают критические соотношения между параметрами рц..., Р . В частном случае, когда г=1, причем значения р заданы на положительной полуоси, говорят о критическом значении параметра Р . Обычно значение Р=0 находится в области устойчивости. Таким образом, отрезок [0,Р ) отвечает области устойчивости, а область неустойчивости занимает оставшуюся часть полуоси (р, св). Если параметр Р может принимать любые действительные значения, причем при Р=0 имеет место устойчивость, то возможна неустойчивость как при положительном, так и отрицательном значениях р. В этом случае область устойчивости р, < Р < р задают дв -мя критическими значениями параметра р и р . [c.468]

Задача состоит в том, чтобы в пространстве параметров воздействия Og (t) выделить область, в которой тривиальное решение уравнения (5.112) будет устойчивым. При этом устойчивость отдельной реализации р (t) определяется поведением вариации pi (t) во времени при произвольных начальных условиях. Для ансамбля в целом заключение об устойчивости можно составить по эволюции статистических характеристик функции р t). [c.170]

На рис. 6.19 изображены зоны неустойчивости, полученные согласно (6.64) при V = 0,7. Видно, что в пространстве параметров системы появляется область (область ниже пунктирной кривой на рисунке), где ее колебания устойчивы при любых периодах неоднородности. [c.269]

Проекции фазовых траекторий на плоскости ж, х вновь и вновь пересекают прямые X = а ж X = Ъ. При этом возможны шесть различных способов перехода, соответствующих преобразованиям Т Га, Ни и 8%. Изучение этих точечных отображений показало, что в пространстве параметров системы существует счетное число областей, соответствующих существенно различным сложным периодическим движениям. Предельным точкам этого счетного множества областей отвечают системы, у которых рабочим режимом работы является устойчивое, по Пуассону, непериодическое движение. [c.145]

Уравнение I) = О определяет в пространстве параметров, гг, 7, поверхность, которая разделяет области устойчивости и неустойчивости модели (рис. 4.7,д). Из структуры неравенства (4.52) следует, что уравнение ) = О удобно рассматривать как уравнение плоской кривой в переменных 21, 21, считая остальные переменные параметрами э ой кривой. [c.154]

Итак, в только что изложенном материале начато рассмотрение модельного варианта задачи о свободном плоскопараллельном торможении тела в среде. В нем проводится вспомогательный качественный анализ систем дифференциальных уравнений, описывающих данное движение для некоторой области ненулевой меры в пространстве параметров. На основе этого получено новое двухпараметрическое семейство фазовых портретов, состоящее из бесчисленного множества различных типов портретов. В системе при этом отсутствуют автоколебания, и почти при любых начальных условиях все траектории стремятся к асимптотически устойчивым положениям равновесия. [c.229]

Хотя основной интерес для прикладных вопросов (в которых играет роль устойчивость равновесных режимов) имеют такие системы, действительные части корней характеристических уравнений которых отрицательны, т. е. системы со значениями параметров внутри области Рауса — Гурвица, тем не менее для ряда прикладных вопросов представляет интерес выяснение поведения системы в случае, когда изображающая ее в пространстве параметров точка лежит на границе области Рауса — Гурвица или (что физически эквивалентно) достаточно близко к этой границе. Дело в том, что в прикладных вопросах приходится считаться не только с требованиями устойчивости, но и с другими требованиями, относящимися к работе устройства, и мон<ет оказаться, что одновременное удовлетворение этих условий наилучшим образом достигается выбором параметров, соответствующих точкам, лежащим в сравнительной близости к границам области Рауса — Гурвица. Таким образом, возникает вопрос о поведении динамической системы вблизи границы области Рауса — Гурвица. Действительно, выбирая значения параметров, близкие к границе этой области, мы никогда не можем быть уверены, что случайные отклонения этих параметров в реальной системе не выведут точку, представляющую систему в пространстве параметров, за границу области Рауса — Гурвица. [c.226]

Рассмотрим теперь вопрос о характере состояния равновесия системы (1). Если не учитывать различия между узлами и фокусами, то границами в пространстве параметров, определяющими области различного характера состояний равновесия и различной устойчивости узлов и фокусов, являются [c.306]

Область в пространстве параметров Расположение корней на плоскости р = р + гр" Тип состояния равнове- сия Фазовый портрет состояния равновесия Размерность устойчивого и неустойчивого многообразий [c.134]

Выделение областей устойчивости в пространстве параметров системы. Характеристическое уравнение зависит от параметров Pi, Рг,. .., Р,- системы. Каждой точке г-мерного пространства параметров соотаетствуег некоторое расположение корней характеристического уравнения в комплексной плоскости. При перемещении точки а пространстве параметров непрерывным образом изменяется расположение корней характеристического уравнения. Различным областям пространства параметров будет соответствовать различное число корней характеристического уравнения в правой полуплоскости. Таким образом, пространство параметров можно разделить па области D [k), где k — число корней характеристического уравнения в правой полуплоскости ф-разбиение). Поскольку при переходе в правую полуплоскость корень характеристического уравнения пересекает мнимую ось, то уравнение границ разбиения имеет вид Р (loj) = 0. Оно эквивалентно паре вещественных уравнений [c.100]

УстЬйчивость динамической системы станка оценивается по величине так называемой области устойчивости в пространстве параметров системы. Расчетному анализу подвергаются дифференциальные уравнения динамической системы станка (167). Если решения уравнения будут возрастающими во времени, то система неустойчива. Однако практически, в большинстве случаев, уравнения (167) не решают, а для оценки устойчивости пользуются амплитудно-фазовым критерием Найквиста—JVlиxaйлoвa. Он позволяет судить об [c.358]

Сообщаемые ниже теоремы об особенностях границ областей устойчивости в пространствах параметров семейств линейных автономных уравнений доказаны Л. В. Левантовским в [68]. [c.133]

Доказательство этих теорем см., например, в монографии [31]. Д анализа знаков действительных частей корней характеристического ур нения существуют хорошо разработанные методы и критерии (см., н пример, [14]), не требующие непосредственного решения характерис ческого уравнения. Они разделяются на две группы — на алгебраические частотные. Характерным и весьма распространенным представителем пе вой группы служит критерий Гурвица, а наиболее общим представител второй группы является метод / -разбиений, специально предназначе ный для выделения областей устойчивости в пространстве параметров и следуемой системы. Оба эти метода кратко излагаются ниже. [c.40]

Результаты H.H. Баутина и Э.Хопфа позволяют решить вопрос о типе ipa ницы области устойчивости в пространстве параметров (опасная или без опасная) и о рождении периодических решений при переходе через эт границу. Однако упомянутые результаты не дают возможности провеет конкретный расчет рождающихся периодических режимов. Иной подхо предложен в работе Ю.С. Колесова [13], в равной мере пригодный и дл обычных сосредоточенных систем, и для систем с последействием (в част ности, с запаздываниями во времени). Развитая в [13] теория даеталгорит определения типа границы области устойчивости, причем в тех случаях когда граница безопасная и, следовательно, режим возбуждения автоко лебаний мягкий, эта теория позволяет также провести приближенны аналитический расчет автоколебаний - определить их амплитуду, частоту постоянную составляющую. В основе данной теории лежат результать А.Пуанкаре и А.М.Ляпунова [14], а также Э.Хопфа [15]. [c.223]

Каждому определенному, установившемуся режиму движения частицы соответст ет определенная область существования и устойчивости в пространстве параметров системы и определенное аналитическое выражение для скорости вибротранспорт1фов8ния X, причем для движения с подбрасыванием в определенных областях пространстаа параметров могут существовать и быть устойчивыми в малом несколько установившихся режимов. [c.217]

Приведенные выше бифуркационные диаграммы являются простейпш-ми, т.к. в данном анализе не учитывалось влияние на механизм самоорганизации интенсивности внешних связей, налагаемых на систему средой. Учет этих факторов приводит к "каскаду" неустойчивостей системы, отвечающих переходам устойчивость - неустойчивость устойчивость. Это означает, что в пространстве параметров существует область, достаточно близкая к термодинамическому равновесию, в которой нелинейности перестают играть свою роль, независимо от того, какую систему мы изучаем. [c.41]

Если такая поляризационно-неустойчивая среда помещена в ОР. то флуктуации поляризации могут нарастать во времени. В стационарном режиме прошедшее через ОР излучение оказывается в одном из двух симметричных состояний, отличающихся знаком угла поворота эллипса поляризации относительно исходного направления и направлением вращения вектора напряжённости поля. Линейной поляризации падающего на ОР излучения (/axt е = 0, ф = 0) соответствуют два возможных набора устойчивых значений параметров П1. ni и Фп1 (г = I, 2), причём ещ = —e , и фщ = = —фп4. Это соответствует поляризац. О. б. Полный анализ О. б. с учётом изменения поляризация излучения весьма громоздок, поскольку он сводится к анализу зависимости интенсивности / и двух параметров поляризации (вд, ф ) прошедшего излучения от соответствующих характеристик падающего. Однако указать область параметров оптич. системы, при к-рых возможна О, б. или мультистабильность, а также качественно понять, как проявляется О. б., можно из анализа вида бифуркац. поверхности — поверхности в пространстве параметров падающего излучения, на к-рой меняется число стационарных состояний поля в нелинейном ОР. Она определяется из ур-ния [c.429]

Если из уравнений (7.2.19) исключить со, то получим уравнение некоторой поверхности в пространстве параметров. Часть этой поверхности ограничивает область устойчивости. Предложены способы [12, 43], позволяющие выделить среди этой поверхности те части, которые отвечают границе области устойчивосш. Если заранее известно, что начальная точка в пространстве параметров (например, начало координат) принадлежит области устойчивости, то граница этой области определяется либо уравнением Д 1=0, либо /> =0. Здесь Ал 1 - предпоследний определитель Гурвица (7.2.11), р - свободный член полинома (7.2.9). Условие дает границу [c.469]

Условие (7.4.6) позволяет иноща избежать неопределенности при решении вопроса о том, отнести сомнительную точку в пространстве параметров к области устойчивости или к области неустойчивости. [c.491]

В работах А.Г. Сокольского [20, 33] (см. также [31]), А.М. Ковалева и А.Н. Чудненко [31], А.Н. Иванова и А.Г. Сокольского [18, 19] во всех подробностях рассмотрена задача об устойчивости системы (1) при наличии резонансов первого и второго порядков. Трудности исследования устойчивости при резонансах низших порядков связаны с особеннностями процедуры линейной и нелинейной нормализации, с большим количеством принципиально различных под случаев, в каждом из которых задача об устойчивости решается своим техническим приемом. Отличительной особенностью этих задач является также то, что в некоторых под случаях движение, неустойчивое в линейном приближении, становится устойчивым при учете нелинейностей в правых частях системы (1). С прикладной точки зрения резонансы низших порядков приобретают особенно большое значение в связи с известной проблемой безопасности границ областей устойчивости, так как во многих прикладных задачах в пространстве параметров эти резонансы отвечают границам областей устойчивости линеаризованной системы. [c.122]

Граница е области устойчивости двумерных роликов в пространстве параметров (/г, 0, Ra) по Буссе (1984 а, б) показана на рис. 2.31. Вблизи части 1 этой границы ролики становятся неустойчивыми по отношению к возмущениям типа наклонных роликов, устанавливающихся под углами 40° к исходным роликам ( зигзагообразная неустойчивость, создающая синусоидальные деформации первичных роликов). У части 2 поверхности е проявляется неустойчивость типа поперечных роликов, у части 8 — типа варикозных расширений, у части 4 эти два типа переходят в узелковую неустойчивость, порождающую более сложные структуры. При малых а на нижней части поверхности е одновременно нарастают два двумерных возмущения с волновыми числами немного меньше [c.150]

Имеются различ1Гые типы систем автоматич. поиска. Системы, в к-рых путем автоматич. поиска оп1)еделяется акстре-мум величитгы Q, паз. системами автоматич. оптимизации (ак-стремальныс системы см. Оптимизатор автоматический). Второй тин систем автоматич. поиска — системы поиска области, и к-рых производится автоматич. поиск не точки (напр., точки в пространстве параметров), соответствующей экстремуму ф-ции Q, а нек-рой области, все точки к-рой обладают 1 .-л. требуемым свойством. Напр, часть Да может так изменять параметры части А,, чтобы автоматически приводить основную систему Л, — В к устойчивости. Одна из первых сложных систем автоматич. поиска — гомеостат — служила для этой цели. [c.463]

Исследование вопроса о том, при каких значениях параметров, ВХОДЯЩИХ в правые части динамических систем, рассматриваемое состояние равновесия усто11чиво, позволяет выделить область устойчивости этого состояния равновесия в пространстве параметров. Мы будем дальше называть эту область областью Рауса — Гурвица. [c.226]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...