Точки минимума и седловые точки

ТОЧКИ МИНИМУМА И СЕДЛОВЫЕ ТОЧКИ 533 [c.533]

Точки минимума и седловые точки. Рассмотрим голономную систему с п степенями свободы. Движение системы характеризуется тем, что траектория д = д (t) [c.533]

Сначала постройте функцию Морса /, у которой есть один минимум, один максимум и седловых точек с индексом Морса к, к = 1, — с тем дополнительным условием, что значения функции / равны во всех точках данного индекса и убывают с ростом к. Затем измените / в окрестности ее критических значений, склеивая все точки данного индекса в одну. Полезно сначала сделать это подробно для случая п = 2. [c.746]

Однако исследование топологии контуров или поверхностей, соответствующих определенным уровням энергии, составляет гораздо более сложную задачу. Стационарные точки функции (R) состоят теперь не только из максимумов и минимумов, но включают также и седловые точки их относительное число и расположение в пространстве определяются топологическими свойствами системы. Полученные ранее результаты, относящиеся к картине расположения и траекториям зеркальных точек при отражении от случайных поверхностей [13], подсказывают перспективные направления исследований. Вместе с тем они не отвечают исчерпывающе на вопросы, касающиеся глубины и размеров характерных раковин на поверхности или значений статистических параметров, необходимых для перколяционного анализа контура с данной энергией ( 13.4). Эта область математики, похоже, вполне созрела для того, чтобы подвергнуть ее дальнейшему изучению — в надежде получить результаты, на самом деле интересные для физики. [c.149]

Отсюда и из (4.57) заключаем, что соотношение (4.60) имеет место. Наличие седловой точки , р позволяет переставить местами максимум и минимум в (4.55). Значит, оптимальная функция Р определяется из условия максимизации по х скалярной функции Уг (Рж, х) аргумента х сЕ [0, 1]. Отметим, что по существу именно такой способ рассуждений и был реализован в п. 5, где вначале построен профиль 5о, минимизирующий прогиб в точке 1/2, а затем установлено, что пара (1/2, Sq) является седловой точкой посредством обоснования неравенства (4.31), являющегося аналогом общего условия (4.57). [c.213]

Однако это условие само по себе не гарантирует наличие максимума. Мы можем находиться на седловой точке, что приводит к наличию минимума по отношению к одним направлениям и максимума по отношению к другим. Поэтому равенство нулю скорости изменения функции во всех возможных направлениях является необходимым, но отнюдь не достаточным условием наличия экстремума. Требуется провести дополнительное исследование, чтобы установить, что в действительности реализуется максимум, минимум или седловая точка без какого-либо экстремального значения. [c.59]

Из неравенства (10.3.8) следует, что Я и [х должны быть либо одновременно положительными, либо одновременно отрицательными. Это означает, что обе степени свободы, рассматриваемые в отдельности, при р = О устойчивы или обе неустойчивы в нулевой точке. Потенциальная энергия должна иметь либо минимум, либо максимум, но не седловую точку. Условие (10.3.9), очевидно, выполняется, если и Я и ц, положительны. В этом случае функция V в нулевой точке имеет минимум, и, как уже отмечалось, равновесие при этом устойчиво при всех значениях р. Условие (10.3.9) может выполняться и тогда, когда Я и [i отрицательны, а именно когда [c.181]

Нетрудно показать, что твердое тело имеет три главные оси инерции. Двум из них соответствуют максимальный и минимальный моменты инерции. Относительно третьей главной оси момент инерции имеет седловую точку и достигает в ней максимума, когда вращение начинается от оси с минимальным моментом инерции, и минимума, когда вращение начинается от оси с максимальным моментом инерции. [c.219]

Проверка (107.47) и (107.49) для каждой конкретной интересующей нас ветви по всей зоне Бриллюэна позволяет установить значения к, в которых может быть критическая точка. Для каждой такой точки можно установить, является ли она точкой минимума, максимума или седловой точкой. Это можно установить, определяя обращающиеся в этой точке в нуль компоненты градиента. Тип и индекс критической точки определяются характером сингулярности плотности состояний для фононного распределения вблизи критической точки. Эта классификация обсуждается в работах [8, 63, 85]. [c.321]

При анализе оптических спектров мы ограничимся изучением следующих типов критических точек обычные максимумы и минимумы, обозначаемые Рз и Ро сингулярные максимумы и минимумы с одной разрывной первой производной, обозначаемые Рз(1) и Ро(1) обычные седловые точки Pi и Рг и несингулярные седловые точки F и F2 без разрывных первых производных ). Для полноты мы укажем все критические точки, которые до сих пор были обнаружены в кристаллах типа алмаза и каменной соли, однако анализ оптических спектров мы проведем только с учетом указанных выше точек. [c.160]

Они называются седловыми точками, потому что в них вещественная и мнимая части / (г) стационарны на комплексной плоскости, не будучи ни абсолютными максимумами, ни абсолютными минимумами ). [c.689]

Частным случаем этого выражения было (42.28). В соответствии со знаком эффективных масс в (42.31) критические точки можно разбить на четыре группы, которые обозначаются буквой где 5 = 0, 1, 2, 3 —число отрицательных эффективных масс в равенстве (42.31). При критическая точка соответствует минимуму Ес.Ф), при Л1з —максимуму. Точки и являются седловыми точками для Ес. к). [c.305]

Отсюда в свою очередь вытекает, что и и V стационарны в точке го по всем направлениям. Но так как они не могут иметь максимумов или минимумов, то точка 2о должна быть седловой точкой. Конечно, направление пути интегрирования в точке 2о нужно выбрать так, чтобы для него максимум функции и был наиболее узким. Более того, для данного большого значения со главный вклад в интеграл / будут давать значения подынтегральной функции из самой малой окрестности точки 2о, если путь интегрирования выбран так, чтобы вдоль этого направления функция и имела самый острый максимум-Это и ес ь направление скорейшего спуска. [c.97]

Предположим, что при действительных г функция / действительна. Тогда из принципа симметрии Шварца следует, что / (г ) = / (г) и, следовательно, х, у) = и х, —у). Поэтому на действительной оси производная и по у обращается в нуль. Если и имеет экстремум при движении вдоль действительной оси в точке Хо, то эта точка должна быть седловой. Если Хо является точкой максимума при движении вдоль действительной оси, то ось х будет также и линией скорейшего спуска. Если, наоборот, Хо является точкой минимума, то и имеет максимум при движении вдоль линии, параллельной мнимой оси, которая и будет линией скорейшего спуска. Однако если контур С направлен вдоль действительной оси, то, конечно, нельзя воспользоваться тем, что Хо является точкой минимума, и повернуть контур С от этой точки под прямым углом к действительной оси, так как тогда на участке контура, совпадающем с действительной осью, и будет принимать большие значения при фазе и, стационарной всюду на действительной оси. Разложим функцию / вблизи точки г = го = лго [c.98]

При построении этой карты особое внимание уделялось положениям максимумов, минимумов, седловых точек и нулей. [c.220]

Примечание Г з d F/йв , и — среднеквадратичное отклонение ориентации в мозаичном образце представленные значения — оценки, основанные на опубликованных табличных значениях или графиках, описывающих зависимость частоты F от ориентации в лучшем случае их точность порядка Ю о значения, представленные со знаком -, верны лишь по порядку величины. Первое из двух значений для несимметричных направлений в Си относится к вариации частоты в соответствующей плоскости, второе — в плоскости, перпендикулярной к ней минимум в плоскости (ПО) является абсолютным, в плоскости (100) — седловой точкой. Все другие двойные значения относятся к направлению <И0> первое из них описывает вариацию частоты в плоскости (100), второе — в плоскости (ПО). Значения вычислены по формуле (8.67) или (8.69), за исключением случая В1, где использована формула (8.76), так как для двух соответствующих эллипсоидов ПФ величина Т имеет конечное значение при поле вдоль бинарной оси. Значения и и Я выбраны соответствующими типичным условиям экспериментов, хотя и может быть и много меньшим для особо совершенных кристаллов. Для Си, К и Na эти значения таковы м = 3 х X 10 Я 5х 10 Гс для А1 м 7х И 1,4х 10 Гс и для В Зх 10 , Я 2х 10 Гс. [c.491]

Расположим точку Р в центре области этого потенциального барьера. Пусть начало системы координат г, в, о ), необходимой для дальнейшего анализа, помещено в точку Р. На рис. 14.15 показано положение точки Р в плоскости г - 0 в точке о = О для случая, когда точка Р находится в объеме подложки. Распределение потенциала в окрестности точки Р таково, что его значение в этой точке соответствует минимуму вдоль оси г и максимуму - по направлениям 0 и. Если точка Р находится в объеме подложки, то такое распределение потенциала называют седловым. Этот потенциал в окрестности точки Р представим в виде [c.381]

Обратим внимание на два факта. Во-первых, минимизация максимума проигрыша — это то же самое, что и максимизация минимума выигрыша, следовательно, критерий минимакса проигрыша может также быть назван максимином выигрыша. Во-вторых, в приведенном выше примере на рис. 21.2, в минимакс проигрыша, которому соответствует, как оказалось, ячейка в правом верхнем углу матрицы, является общим для обоих игроков. В геометрической интерпретации это общее наилучшее из всех наихудших значение представляется седловой точкой , которая была бы более очевидной, если бы ходы были непрерывными переменными, а выигрыши — непрерывной поверхностью. Иногда общая точка называется равновесной парой. В играх с нулевой суммой не всегда имеется седловая точка или равновесная пара, если доминирующая стратегия не существует. В следующем параграфе приводится пример матрицы такой игры и представляются критерии принятия решений в этом случае. [c.368]

Очевидно, в силу положительности производной dN/di, если в особой точке функция N ui, U2) имеет максимум или минимум, то для системы дифференциальных уравнений (8.5) эта особая точка является узлом. Если функция N ui,u2) имеет седловую стационарную точку, то эта точка будет также седлом и для системы дифференциальных уравнений (8.5). [c.326]

Аналогичные результаты тем же методом полученьш для смешанных щелочных тримеров XgY, X YZ, где X,Y, Z= Li, Na, К, Rb, s 1442]. Голл и др. [419] выполнили аЬ initio вычисления электронной структуры Lig методами S F и S F I. Комбинируя свои результаты с данными более ранних расчетов, они показали, что поверхность потенциальной энергии кластера Lis слабо варьируется при изменении угла между двумя направленными связями. Эта поверхность может обладать также многими минимумами и седловыми точками. Поэтому возмоич ен широкий набор стабильных изомеров от линейной до треугольной конфигурации атомов. По мнению авторов работы 419], проведенные ими исследования сигнализируют о том, что необходимы дальнейшие изыскания, использующие более гибкий базис. [c.155]

Апроксимируя зависимость энергий взаимодействия атомов от расстояния какими-либо известными функциями, можно определить энергию кристалла не только тогда, когда дефект находится в узле или междоузлии, но и для любого его положения в решетке. Таким путем может быть найдена эта энергия как функция его координат. Равновесные положения, соответствующие минимумам энергии, будут отделены областями с большей энергией, т. е. потенциальными барьерами, вершины которых соответствуют седловым точкам. В результате мо кет быть определена разность энергий, соответствующих вершине барьера и минимуму, т. е. энергия миграции дефекта. [c.100]

Существуют два способа определения П. п. Первый основан на применений методов квантовой химии. Не-эмпирич. методы квантовой химии, учитывающие электронную корреляцию, способны качественно правильно определять форму П. п. (ноложение абс. и относит, минимумов, седловых точек и максимумов) л давать оценки барьеров на пути внутримолекулярных перегруппировок. Методы квантовой химии совершенствуются, и её возможности возрастают, но в наст, время (1990-е гг.) более точным методом определения параметров П. и. является решение обратной спектральной задачи. Он основан на применении экснерим. данных, найденных по колебат.-вращат. спектрам в квантовомеханич. расчётах. При этом выражение для потенц. энергии (потенциала V) разлагают в многомерный ряд Тейлора по степеням координат ядер вблизи равновесной конфигурации молекулы и ограничиваются неск. первыми членами ряда в зависимости от задачи и наличия необходимого кол-ва эксперим. данных. В безразмерных нормальных координатах к-рые связаны с обычными нормальными координатами Q — (h (iiJJh ) / gj , этот ряд имеет вид [c.91]

Экстремальные свойства полных функционалов лагранжевой серии (табл. 3.3). На основании 3 гл. 2 задачам минимизации выпуклых функционалов Эл1 —Элз, Эл5, Элб (табл. 3.1) соответствуют задачи отыскания седловых точек (т. е. одновременно мини-макса и максимина) полных функционалов — Эпз, Зп5, 9п6 (табл. 3.3) (см. табл. 3.6). Невыпуклому функционалу Эд4 соответствует задача отыскания ми-нимакса, но не максимина полного функционала Э 4 (см. 3.26 гл. 2). Функционал Эп4а получен из Э 4 путем исключения множителей Лагранжа. Для определения его экстремальных свойств необходимо дополнительное исследование (см. гл. 2, 3.3), которое показывает, что этот функционал не имеет ни седло-вой точки, ни минимакса, ни максимина. Действительно, при каждом фиксированном наборе части переменных он линейно зависит от остальных переменных и, следовательно, принимает все значения от —оо до +00, т. е. не имеет ни конечного максимума, ни конечного минимума. [c.86]

В соответствии с теоремой Ирншоу у электрического потенциала нет абсолютного минимума в свободном пространстве. Имеются лишь седловые точки, в которых в одних направлениях имеет место минимум потенциала, а в других — максимум. Поэтому если в одном направлении имеет место устойчивость, то в перпендикулярном к нему — неустойчивость. Исходя из этой теоремы, при устойчивом продольном движении поперечное радиальное движение будет неустойчивым. Очевидно, что эта неустойчивость имеет место и в лабораторной системе координат. Для преодоления радиальной неустойчивости в линейных ускорителях электронов применяют постоянное продольное магнитное поле. [c.57]

Сингулярные критические точки были идентифицированы как в измеренных, так и в рассчитанных дисперсионных кривых для различных кристаллов со структурой алмаза. Ранее мы видели, что сингулярные критические точки, характеризуемые разрывной первой производной только в одном направлении, вносят разрыв в первую производную функции распределения частот dg ( i)jd(u, если критическая точка является максимуигом или минимумом (см. [91, в частности фиг. 2] и [92, табл. VI]). Другие сингулярные случаи, например разрывы в более чем одной первой производной для максимума Рз или минимума Ро или случаи седловых точек Рь Рг или F, F2 с одной или более разрывными производными, вносят разрывы в производные более высокого порядка функции ( ). Более детально обозначения поясняются ниже. [c.160]

Из этого выражения можно видеть, что подинтегральная функция имеет спнгулярность (особенность) там, где обращается в нуль групповая скорость = I , т, е, там, где зависимость частоты со от волнового вектора К имеет локальный плоский участок. Точки в К-пространстве, для которых это имеет место, называются критическими точками. Критическая точка может отвечать максимуму или минимуму функции, а также быть седловой точкой. Мы последовательно рассмотрим поведение функции плотности состояний в каждом из этих случаев. Приводимые ниже соображения относятся к любому дисперсионному закону (т. е, зависимости со от К) и не ограничены случаем фононов. Они, следовательно, применимы к электронным энергетическим зонам (гл. 9) и к спектрам спиновых волн (гл, 16). В случае седловых точек ход изменения функции плотности состояний в зависимости от частоты ме- яется особенно резко, как можно видеть из графиков на рис. С.1, в и г. [c.723]

Рис. с.1. Разрывы функции плотности состояний 25 (со) вблизи критических точек (максимум, минимум и два типа седловых точек). Здесь кривые проведены лишь для вкладов в (ш) от локальных областей поверхности частот вблизи критических точек. (Эти вклады следует, вообще говоря, добавлять к зависимости ((о) общего вида, определяемой всей поверхностью ччстот со(й).) [c.724]

Отметим, что довольно просто можно оценить количество двузвенных траекторий трехмерного биллиарда. Действительно, сопоставим каждой точке ф выпуклой поверхности Г, задающей биллиард, длину отрезка [ф, 91], ф1еГ, ортогонального к Г в точке ф. Получаем гладкую функцию I на сфере 5 . Типичным критическим точкам функции / соответствуют периодические траектории биллиарда. Функция t достигает максимума в некоторой точке феГ 52. Но тогда соответствующая точка ф1 также является максимумом для I. Аналогично I имеет два минимума на S . Так как эйлерова характеристика сферы равна 2, то I не может иметь в качестве критических точек только два изолированных максимума и два изолированных минимума, следовательно, у функции t имеется еще одна критическая точка. Таким образом, мы получили, что выпуклый трехмерный биллиард в общем случае имеет по крайней мере три двузвенные периодические траектории максимальную , минимальную и седловую . Отметим, что теорема 2 гарантирует существование лишь двух таких траекторий. [c.66]

В месте расположения первого дифракционного кольца (2 = 5,1) мы наблюдаем постепенный переход от случая 2 к случаю 1. При р=10 свет, проходящий сквозь частицу, все еще несколько сильнее, чем дифрагированный свет, и их наложение вызывает глубокий минимум, однако при р = 16 картина будет обратной. Здесь прошедший свет будет слабее дифрагированного на вершине первого дифракционного максимума, но он будет преобладать над дифрагированным светом на небольшом расстоянии от этой вершины. Поэтому на гипсометрической карте здесь будет седловая точка, ограниченная двумя нулями. Аналогичное положение повторяется для всех следующих значений р, когда амплитуды дифрагированного и проходящего сьета имеют противоположные знаки. Высоты седловых точек приближаются к конечному значению 0,066, обусловленному только дифракцией, а нули отодвигаются к положениям темных колец в чисто дифракционной картине (2=3,83 и 7,02). Подобная же последовательность нулей проходит вблизи центрального максимума. Первый нуль расположен при [c.222]

Это возможно потому, что условный экстремум (1.12) связан с седловой поверхностью максимум производства энтропт1 для одной группы условий совместим с ее минимумом для другой (рис. 1.5). Энтропия как функция S(K) имеет минимум. Но в плоскости, которая про- ходит через седловую точку К = onst, выполняются условия рис. 1.3, в частности, условие Пригожина максимума энтропии и лпншмума производства энтропии. [c.30]

Особенностями целевой функции являются седловые точки, так называемые "овраги" и многоэкс-тремность. В седловых точках функция Q (и) по одному или нескольким направлениям имеет минимум, в то время как по остальным - максимум. При наличии оврагов вдоль определенных направлений величина функции Q (и) изменяется очень слабо. Целевая функция может иметь не один, а несколько онти-мумов. Оптимум называется глобальным, если для него справедливо условие [c.24]

Второе отличие от классической формулировки Ритца возникает, когда функционал потенциальной энергии /(о) не выпуклый (форма а (и, и) не является положительно определенной) и задача состоит в отыскании не минимума, а стационарной точки. Это, естественно, встречается в смешанном методе, когда и перемещение, и его производные считаются независимыми неизвестными. Потенциальная энергия содержит произведения, которые могут быть и положительными, и отрицательными, это похоже на переход от х у к функции ху, имеющей вместо минимума седловую точку в начале координат. [c.145]

Если ПФ состоит из одного участка, то частота F экстремальна по отношению к изменению угла при симметричных напр2рлениях (таких, как <1(Ю>, <111> и<ПО> в кубическом кристалле) частота F может быть экстремальна и при несимметричных направлениях. Например, это имеет место для Си при поле, лежащем в плоскости (ПО) и направленном под углом 16° к оси < 100>, когда наблюдается абсолютный минимум, или под углом 12° к оси < 100> в плоскости (100), где имеется седловая точка. Однако если ПФ состоит из нескольких участков, связанных между собой преобразованиями симметрии, как, например, из трех эллипсоидов в Bi, то в симметричных направлениях могут пересекаться отдельные ветви спектра частот F, но при этом частота не обязана быть экстремальной. [c.489]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...