Дифференциал функции процесса состояния

Полный дифференциал любой функции состояния согласно выводам 2 должен содержать хотя бы один частный дифференциал внутренней переменной, например температуры. Выражение (5.7) не удовлетворяет этому требованию, следовательно, оно не является полным. дифференциалом (нарушено условие (4.8)), что означает зависимость работы в термодинамике от способа изменения переменных в процессе ее совершения, т. е. работа — функция процесса, а не состояния. Это же следует и непосредственно из определения (5.2). Действительно, термическое уравнение состояния, например (2.1), указывает на зависимость X,- не только от у/, но и от Т. Поэтому при разных температурах под интегралом в (5.2) стоят по существу разные функции Х(у), т. е. работа W — функционал. (Этим. объясняется знак вариации б, используемый часто для обозначения бесконечно малых и Q.) [c.44]

Вследствие того, что работа газа является функцией процесса, а не функцией состояния, dL не полный дифференциал. [c.47]

Напомним, что в отличие от внутренней энергии и энтальпии количество теплоты Q и работа L (или L ) не являются функциями состояния, а представляют собой функции процесса, происходящего в системе их величины зависят от пути, по которому совершается переход из начального состояния в данное. Поэтому, например, лишено смысла говорить о количестве теплоты, которой обладает тело в данном состоянии, поскольку количество теплоты в зависимости от того, как был осуществлен переход тела в данное состояние, может иметь любое значение. Математически это выражается тем, что бесконечно малые количества теплоты и работы dQ и dL не являются полными дифференциалами. Наоборот, разность dQ и dL представляет собой полный дифференциал, равный дифференциалу внутренней энергии dU. [c.32]

Работа является функцией процесса, а не состояния, поэтому dl не есть ев полный дифференциал. [c.20]

Внутренняя энергия и — однозначная функция термодинамического состояния тела изменение внутренней энергии не зависит от характера или пути процесса rfM —полный дифференциал. [c.41]

Графически в координатах p — v работа изображается плошадью, ограниченной кривой процесса, осью абсцисс и крайними ординатами. Изображение процесса в координатах p v называют рабочей диаграммой. Работа зависит от пути протекания процесса и есть функция процесса, а не состояния rf/ —неполный дифференциал. [c.41]

Графическая интерпретация работы в ро-диаграмме наглядно показывает, что ее величина зависит от того, каким путем газ переходит из начального состояния в конечное. Поэтому можно сказать, что работа является функцией процесса и при одинаковых начальных и конечных состояниях газа может быть различной в зависимости от того, по какому пути совершается этот процесс. Отсюда же вытекает, что работа I не является функцией состояния, а ее дифференциал dl не является полным дифферен- [c.20]

Как отмечалось ранее, все термодинамические величины можно подразделить на две группы — функции состояния и функции процесса. Величина функции состояния однозначно определяется параметрами данного состояния. Следовательно, для определения изменения функции состояния в каком-либо процессе необходимо знать лишь значения этой функции в начале и в конце этого процесса. Примерами функций состояния могут служить удельный объем, энтропия, энтальпия и т. д. Что же касается величин, являющихся функциями процесса, то они являются характеристиками процесса их значение в данном состоянии зависит не только от параметров этого состояния, но и от того, по какому пути (т. е. в каком процессе) система достигла данного состояния. Примерами функций процесса являются работа, совершаемая системой при переходе из одного состояния в другое, и теплота. Как уже отмечалось в 1-1, характерным свойством функций состояния является то, что их дифференциал является полным. [c.14]

В этом выражении знак равенства относится к обратимым, а неравенства - к необратимым процессам. Из (1.6) следует, что для обратимого процесса величина bkQ/T — полный дифференциал функции состояния системы, [c.12]

Для примера возьмем внутреннюю энергию и. Ее изменение за цикл равно нулю, т. е. = 0. Подынтегральное выражение йи представляет собой полный дифференциал и — функция состояния. Рассмотрим теперь работу I. Величина ее в цикле не равна нулю, т. е. й1 ф 0. Подынтегральное выражение й1 не является полным дифференциалом I — функция процесса. [c.50]

Здесь записано Величина L зависит от вида кривой (графика процесса), т. е. от того пути, по которому изменение состояния совершалось. Ниже мы увидим, что изменение внутренней энергии Аи не зависит от пути, по которому совершается изменение состояний, но, конечно, величина от пути зависит и поэтому она не есть какая-либо функция координат. Поэтому и элементарное количество теплоты, приводимой на любом бесконечно мало.м пути, будучи бесконечно малой величиной, не есть полный дифференциал какой-либо функции координат . Говоря о внутренней энергии, автор прежде всего подробно останавливается на ее физической сущности и особенностях. Установив, что и = ( Т, и), т. е. что внутренняя энергия есть функция состояния тела, автор пишет Ввиду этого величина йи — элементарное изменение внутренней энергии — есть полный дифференциал функции и . Заканчивается этот параграф рассмотрением общих особенностей циклов и уравнения для них первого закона, которое дается в следующем виде [c.82]

Величина, значение которой зависит от предыстории системы, т. е. от пути, по которому система пришла в данное состояние, носит название функции процесса. Для функции процесса бесконечно малое приращение не может быть представлено в виде полного дифференциала некоторой функции. Примером функции процесса является работа W непотенциальных сил. [c.257]

III с общими точками а и 6 соответствуют разные площади работы. Другими словами, работа — не функция состояния тела, а функция процесса. Поскольку работа I — не функция состояния тела, то сИ — не полный дифференциал, каким является йи поэтому для ко вечного процесса мы пишем /, а не (/г—1 ), что не имело бы никакого смысла. [c.49]

Раз величина работы / зависит от характера процесса, то ц количество тепла <7, сообщаемое телу, как алгебраическая сумма изменения внутренней энергии г работы тоже зависит от характера процесса, т. е. не только от начального и конечного состояний тела, но и от условий перехода тела из одного состояния в другое. Другими словами, теплота д подобно работе /—не функция состояния тела, а функция процесса и с1д— ие полный дифференциал поэтому для конечного процесса мы пишем д, а не ( 2— 1), что опять-таки не имело бы смысла. Говоря вообще, следовало бы отметить [c.49]

Отношение ёО/Т называют элементарной приведенной теплотой. Теплота Q не является функцией состояния рабочего тела, так как она зависит от характера процесса. Поэтому dQ не представляет дифференциала функции состояния, но отношение dQ/T представляет дифференциал функции состояния тела, называемой энтропией. [c.39]

Таким образом, следует прийти к заключению, что внутренняя энергия газа является функцией его состояния. Изменение внутренней энергии рабочего тела при переходе его из произвольно выбираемого начального в произвольно выбираемое конечное состояние полностью определяется только этими состояниями и не зависит от процесса, в результате которого осуществляется такой переход. В связи с этим в термодинамическом отношении внутренняя энергия, равно как давление, температура и удельный объем, является параметром состояния рабочего тела, а в математическом — такой функцией, дифференциал которой является полным дифференциалом. [c.22]

Напомним, что в отличие от внутренней энергии и энтальпии количество теплоты Q и работа Ь (или Ь ) не являются функциями состояния, а представляют собой функции процесса, происходящего в системе их значения зависят от пути, по которому совершается переход из начального состояния в данное. Математически это выражается тем, что бесконечно малые количества теплоты и работы dQ и йЬ не являются полными дифференциалами. Наоборот, разность йС1 — йЬ представляет собой полный дифференциал, равный дифференциалу внутренней энергии (Ш, [c.17]

Величина dpP не есть дифференциал функции состояния, и этим она отличается от термодинамических потенциалов, например свободной энергии Гиббса G. Следовательно, тот факт, что dfP может только уменьшаться, не позволяет делать никаких выводов о том, как будет развиваться процесс. [c.388]

При еще более низких температурах существуют магнитные газы в парамагнитных твердых телах. Речь идет о веществах, частицы которых имеют произвольно ориентированные в отсутствие поля магнитные моменты, так что в среднем образец такого вещества не поляризован. При включении поля происходит ориентация элементарных магнитиков и вещество приобретает суммарный магнитный момент. Адиабатическое размагничивание таких тел эквивалентно адиабатическому расширению газа, так как работа размагничивания производится за счет внутренней энергии тела и оно должно охлаждаться. Для количественной характеристики процесса, основываясь на (9.30), введем функцию состояния, обобщенную энтальпию, Н = Н—УЖЖ, дифференциал которой при постоянном давлении и химическом составе системы [c.163]

Энтропия 5 —функция состояния термодинамической системы, определяемая тем, что ее дифференциал dS при элементарно. равновесном обратимом процессе равен отношению бесконечно малого количества теплоты dQ, сообщенного системе, к термодинамической температуре 7 системы [c.99]

По первому началу, изменение внутренней энергии dU при элементарном процессе перехода системы из одного состояния в бесконечно близкое есть полный дифференциал и, следовательно, конечное ее изменение U2 — Ui будет одним и тем же независимо от пути перехода системы из состояния 1 в 2 (рис. 2) — по пути, условно обозначенному а или Ь, но Q и W будут при этом разные. Это означает, что W и Q в отличие от U не являются функциями состояния системы, а характеризуют процесс, испытываемый системой, т. е. являются функциями от линии, или функционалами. То, что выражение для элементарной работы bW не является полным дифференциалом, устанавливается в общем случае на основе второго исходного положения термодинамики (см. задачу 1.2), а то, что дифференциальное выражение для 5g не есть полный дифференциал, непосредственно следует из уравнения первого начала (2.2). [c.37]

Внутренняя энергия представляет собой полный запас энергии тела, характеризующий его внутреннее состояние. Она, естественно, является функцией только данного состояния термодинамической системы, т. е. в каждом своем состоянии она имеет только одно значение, ее изменение не зависит от пути процесса, а численная величина измеряется только начальными и конечными точками процесса. Поэтому для ее обозначения используется символ полного дифференциала, би или би в отличие от обозначения работы, где используется символ общей бесконечно малой величины 8. [c.18]

Итак, второе начало классической термодинамики есть утверждение о существовании и возрастании некоторой функции состояния тел и сложных систем — энтропии. Дифференциал энтропии есть полный дифференциал дЗ, определяемый в обратимых процессах как отношение подведенного извне элементарного количества теплоты б(3 обр к абсолютной температуре тела Т [c.56]

Это выражение означает для энтропии две возможности увеличиваться пли оставаться постоянной. С другой стороны, известно, что состояние термодинамического равновесия должно соответствовать внешним условиям, которые определяются окружающей средой. Если внешние условия изменить (например, объем для адиабатной системы), то равновесное состояние нарушится, система начнет приспосабливаться к новым внешним условиям (к новому объему). В системе пойдет необратимый процесс перехода к новому состоянию равновесия, в ходе этого процесса энтропия, согласно выражению (3.57), будет возрастать. С течением времени процесс закончится, наступит новое состояние равновесия и энтропия (так же, как и другие термодинамические параметры) примет постоянное значение, которое будет максимальным для данных внешних условий. Известно, что достаточным условием максимума функции нескольких переменных является равенство нулю ее полного дифференциала и отрицательность второго дифференциала. Сле- [c.111]

Из математики известно, что если криволинейный интеграл равен нулю, то дифференциал подынтегральной функции есть полный дифференциал. Следовательно, ds есть полный интеграл некоторой функции S. С термодинамической точки зрения функция s, изменение которой не зависит от процесса, а только от начального и конечного состояний, есть параметр термодинамического состояния вещества и, как уже было показано выше, была названа Клаузиусом энтропией. [c.65]

Внутренняя энергия в отличие от теплоты и работы является свойством системы, параметром ее состояния и может рассматриваться в качестве функции других параметров состояния, принятых за независимые переменные. Бесконечно малое изменение этой функции йи обладает свойствами полного дифференциала, поэтому интегрирование du от начального до конечного состояния системы в некотором процессе сводится к вычислению разности значений внутренней энергии в этих двух состояниях [c.34]

Количество теплоты dQ, сообщенное газу, не является полным дифференциалом, так как зависит не только от начального и конечного состояния газа, но и от самого процесса изменения состояния. Если уравнение (9.8) умножить на интегрирующий множитель 1/Т, то получим полный дифференциал некоторой функции, называемой энтропией [c.149]

Поскольку энергия есть функция состояния и не зависит от того процесса, в результате которого система приведена в данное состояние, то dU — полный дифференциал, т. е. [c.20]

Таким образом, бесконечно малые величины d°Q и d°L не есть полные дифференциалы Q я L, т. е. тепло и работа не являются функциями состояния системы, а зависят от пути и характера процесса Практически это свойство используется в тепловых двигателях, которые были бы невозможны, если бы f j°L = 0. Следовательно, в уравнениях (17) и (18) есть только один полный дифференциал du. [c.22]

Функция состояния S, полный дифференциал которой для обратимых процессов равен отношению элементарного количества тепла dq к интегрирующему делителю 6 (Г) =7 , называется энтропией. [c.12]

Далее, согласно второму закону термодинамики для обратимых термодинамических процессов отношение dQ / Т , где То - абсолютная температура, есть полный дифференциал некоторой функции состояния системы, называемой энтропией 8 [c.35]

Принцип существования энтропии есть утверждение второго начала классической термодинамики о существовании некоторой функции состояния тел и сложных систем — энтропии дифференциал энтропии есть полный дифференциал dS), определяемый в обратимых процессах как величина отношения подведенного извне элементарного количества тепла (6Q 6p) к абсолютной температуре тела (Г) [c.54]

Из этого уравнения видно, что изменение параметра s не зависит от процесса, а определяется исключительно начальными и конечными значениями Т и v. Величина s, являющаяся функцией параметров состояния, сама может быть рассмотрена как функция состояния. Впервые эту функцию нашел Р. Клаузиус при анализе второго закона термодинамики и назвал ее энтропией. Он показал (см. с. 65), что дифференциал энтропии ds = bq/T является полным дифференциалом для реального рабочего тела, находящегося в любом агрегатном состоянии. Как следует из уравнения (1.76), единица удельной энтропии — ДжДкг К). [c.21]

Теплота (так же как и работа является функцией процесса — количество тепла, подведенного к системе (или отведенного от нее) в процессе, осуществляемом между двумя произвольными состояниями, зависит от того, по какому пути осуществляется этот процесс. Как и у всякой функции процесса, дифференциал количества тепла dQ не является полным дифференциалом . С другой стороны, из сказанного следует, что этот же дифференциал dQ, будучи умножен на величину 1/Г, превращается в полный дифференциал dS= =d<3/7 . Таким образом, величина 1/Г является интегрирующим множителем для дифференциала количества тепла (напомним, что в математике интегрирующим множителем называется такая функция jx, при умножении на которую величина dX, не являющаяся полным дифференциалом, обратится в полный дифференциал dy=fjL(iX в математике показывается, что в случае двух переменных для любого выражения, не являющегося полным диф" фвренциалом, всегда может быть найден интегрирующий множитель). [c.79]

Так же как и работа, количество тепла есть функция процесса, и оно приобретает однозначный смысл только в том случае, если указаны условия нагревания или охлаждения газа. Таким образом, и работа, и количество тепла суть функции процесса, а не состояния газа, и величины Р dV мТ dSKQ являются в общем случае полными дифференциалами. Только разность Т dS — Р dV представляет собой полный дифференциал адиабатического потенциала — внутренней энергии, — являющегося функцией состояния газа. Следовательно, не имеют смысла понятия запас работы и запас тепла в газе, и можно говорить лишь о запасе энергии. [c.29]

Известно, что дифференциалом независимой переменной величины, например температуры, называют просто ее приращение. Дифференциал функции, которая зависит только от одного аргумента, оредставляет собой основную часть приращения функции (ш не рав,няется ему в точности). Полным дифференциалом называют дифференциал функции, зависящей от нескольких аргументов, который получен в результате того, что все эти аргументы получили приращения. Методами высщей математиии можно вычислить полный дифференциал, но с точки зрения термодинамики в данном случае важно лишь одно является ли дифференциал функции нескольких переменных полным или нет. Важно это потому, что только для полного дифференциала справедливо выражение (2п1). Например, из курса физики известно, что для вычисления работы сил тяготения достаточно взять значение потенциальной энергии перемещаемого тела в конечной точке и вычесть из него значение потенциальной энергии тела в начальной точке. В то же время очевидно, что (вычисление работы сил трения не. может быть произведено таким просты1М способам в этом случае необходимо умножить силу трения на путь, пройденный телом. В первом случае малое приращение работы будет являться полным дифференциалом, а во втором — нет. В последующем изложении всегда будет указано, для какой функции приращение представляет собой полный дифференциал, а для какой — не представляет. Первые являются функциями состояния (параметрами состояния), вторые— функциями процесса. [c.28]

Приведем его в аксиоматической формулировке Рудольфа Юлиуса Клаузиуса (R. J. lausius, 1865) дм любой равновесной (точнее, квазиравновесной, т.е. участвующей в квазистатическом процессе) термодинамической системы существует однозначная функция термодинамического состояния S = S 0,x,N), называемая энтропией, такая, что ее полный дифференциал [c.43]

Как уже указывалось, теплота q не является функцией состояния и dq не будет полным диффер енциалом dq представляет собой только некоторую бесконечно малую величину. Для того чтобы проинтегрировать правую часть уравнения первого закона термодинамики dq = du + pdv, необходимо знать характер процесса, который совершается с газом, т. е. должна быть известна зависимость р от v. В математике доказывается, что дифференциальный двучлен всегда можно превратить в полный дифференциал путем, деления (или умножения) на интегрирующий делитель. Таким интегрирующим делителем для элементарного количества теплоты dq является абсолютная температура Т° К. [c.81]

То, что внутренняя энергия есть полный дифференциал, т. е. функция состояния, вытекает из закона сохранения, который утверждает, что южная система в каждом своем состоянии имеет только одно значение внутренней энергии. Если бы это было не так, т. е. система имела бы разные значеиля, то можно было бы отнять эту разность, а состояние системы не изменилось бы, и она могла бы служить источником энергии, не испытывая при этом никаких изменений. Однако это противоречит закону сохранения энергии. Следовательно, остается принять единственное утверждение, что внутренняя энергия есть функция состояния, а для ее элементарного изменения в процессе использовать символ 60 — символ полного дифференциала в отличие от изменения работы в элементарном процессе, где мы используем о(5щий символ бесконечно малых величин 6, отмечая при этом, даже при написании, что работа не есть полный дифференциал, и что, не являясь фуньщией состояния, она зависит от пути процесса. [c.19]

Второе начало классической термодинамики формулируется как объединенный принцип существования и возрастания некоторой функции состояния тел и сложных систем — энтропии (термин энтропия предложен Р. Клаузиусом en— в, внутрь и trope или tropos — обращение, путь в целом — обращение внутрь, мера обесценения энергии). Дифференциал энтропии есть полный дифференциал dS, определяемый в обратимых процессах как отношение подведенного извне элементарного количества теплоты SQ gp к абсолютной температуре Т. (в обратимых процессах внутренний теплообмен отсутствует, 5Q = 0). [c.47]

Другой способ решения. Принцип Клаузиуса (или Томсона) означает существование функции состояния S, причем d QIT = dS, где Т — абсолютная температура. При адиабатическом процессе d Q = О, dS = О, а так как dS — полный дифференциал, то 5 = а (= onst). Это означает, что в пространстве термодинамических переменных (например, х, у, z) существует семейство поверхностей S (х, у, z) = а. Начальное состояние (2 0, У о, 2о) лежит на поверхности S (х , г/о, Zo) = а. Следовательно, все адиабатические обратимые процессы с исходным состоянием ( 0, Уо, Zo) должны лежать на этой поверхности, и ни одной точки вне этой поверхности нельзя достигнуть путем адиабатического [c.125]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...