Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах 208 —— в частных производных 224 [c.570]

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах 208 [c.549]

При этих условиях, как это доказывается в курсах дифференциальных уравнений, если известно четыре первых интеграла, то пятый находится интегрированием обыкновенного дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Пусть известно четыре первых интеграла [c.404]

Из уравнения (2.4) видно, что дифференциальное выражение для 8Q представляет собой линейную форму в полных дифференциалах независимых переменных Т, ai,...,a , т. е. форму [c.38]

Из уравнения (2.4) видно, что дифференциальное выражение для SQ представляет собой линейную форму в полных дифференциалах независимых переменных Т, ai,. .., ап, т. е. форму Пфаффа. Согласно первому началу (2.2) —(2.3) 6Q равно сумме полного дифференциала dE и неполного дифференциала 8W, и, следовательно, форма Пфаффа для 5Q не является полным дифференциалом какой-либо функции параметров состояния системы, Как следует из (2.1) —(2.3), уравнение первого начала позволяет оп- [c.32]

Действуя описанным выше способом, можно вывести дифференциальные уравнения в виде частных производных, принимая независимые переменные сначала р и Т, а затем р и и и после этого для указанных двух случаев найти выражения для полных дифференциалов параметров и, / и s и для йд. [c.87]

По первому началу, изменение внутренней энергии dU при элементарном процессе перехода системы из одного состояния в бесконечно близкое есть полный дифференциал и, следовательно, конечное ее изменение U2 — Ui будет одним и тем же независимо от пути перехода системы из состояния 1 в 2 (рис. 2) — по пути, условно обозначенному а или Ь, но Q и W будут при этом разные. Это означает, что W и Q в отличие от U не являются функциями состояния системы, а характеризуют процесс, испытываемый системой, т. е. являются функциями от линии, или функционалами. То, что выражение для элементарной работы bW не является полным дифференциалом, устанавливается в общем случае на основе второго исходного положения термодинамики (см. задачу 1.2), а то, что дифференциальное выражение для 5g не есть полный дифференциал, непосредственно следует из уравнения первого начала (2.2). [c.37]

Пфаффа. Согласно первому началу (2.2) — (2.3), 5Q равно сумме полного дифференциала dU и неполного дифференциала Ы и, следовательно, форма Пфаффа для Q не является полным дифференциалом какой-либо функции параметров состояния системы. Имеет ли эта дифференциальная форма интегрирующий множитель и что это физически означает, решается вторым началом термодинамики. Как следует из (2.1) — (2.3), уравнение первого начала позволяет определить внутреннюю энергию U[ai,. .., а Т) в состоянии [а , а , й Т) только с точностью до аддитивной постоянной U a°,. .., а° Т°), зависящей от выбора начального состояния (й ,. .., Г°). Для термодинамики этого вполне достаточно, так как в устанавливаемые ею соотношения входят лишь изменения энергии. [c.39]

Переменные в дифференциальном выражении (а) разделены — правые части уравнения приведены к виду сумм полных дифференциалов это значит, что и в левой части соотношение 5ц/Т есть также полный дифференциал некоторой функции состояния (з), называемой функцией состояния — энтропией для идеального газа [c.28]

Анализ уравнения (2.25) показывает, что выражение первого начала термодинамики для простых тел приводится к виду дифференциального бинома двух независимых переменных Ьд=Мйх+Ыйу, для которого, применяя известные правила математики, например соотношения взаимности, можно установить, является ли он полным дифференциалом или нет и при каких условиях неполный дифференциал перейдет в полный. [c.36]

С помощью уравнений (1.38) и (1.40) из уравнения состояние можно выделить полные дифференциалы йи, йк и йз при любом изменении двух из трех основных параметров р, V, Т), а также получить разные соотношения между частными производными, которые носят название дифференциальных уравнений термодинамики. Вывод этих уравнений и использование их на практике рассмотрены в [1, 2]. [c.26]

Неголономные дополнительные условия. Как было показано в гл. I, п. 6, ограничения на координаты механической задачи могут быть наложены в дифференциальной, а не в конечной форме. Отсюда возникает вариационная задача с неголономными дополнительными условиями. Уравнения (2.5.13) в этом случае отсутствуют, но имеются соотношения, аналогичные дифференциальным формам (2.5.14) для конечных дополнительных условий. Единственное различие заключается в том, что в левых частях уравнений стоят теперь не полные дифференциалы, а просто бесконечно малые величины. Неголономные условия можно записать в следующем виде [c.71]

Теперь предположим, что после разрешения задачи, содержащейся в дифференциальных уравнениях п. 3, путем полного интегрирования этих уравнений, возникает вопрос о разрешении той Же задачи, но с прибавлением новых сил, приложенных к той же системе, причем эти силы направлены к неподвижным центрам или же к центрам, движущимся каким угодно образом, и пропорциональны функциям расстояний от этих центров. Эти новые силы, которые можно рассматривать как силы, возмущающие движение системы, и которые имеют природу, подобную силам Р, Q, R,, от которых зависит функция V, прибавят к этой функции аналогичную функцию, которую мы обозначим через — Q. Таким образом надо будет подставить только V — 1 вместо V в уравнениях п. 10 (предыдущего отдела) и, следовательно, Z — Q вместо Z в соответствующих членах уравнений п. 3, содержащих частные дифференциалы Z по 5, Ф. > >—чтобы получить уравнения новой задачи, которые, таким образом, будут иметь следующий вид [c.419]

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что для выражения вида pdx dy, не являющегося полным дифференциалом, всегда можно подобрать множитель [1, являющийся функцией xvl у, при умножении на который это выражение становится полным дифференциалом некоторой функции. В нашем случае можно утверждать, что [c.41]

В этом параграфе изучаются условия, для которых величина является полным дифференциалом. Подробное обсуждение этих условий можно найти в любой книге по дифференциальным уравнениям с частными производными. Их можно кратко сформулировать следующим образом. [c.92]

Диск имеет три степени свободы. Приняв за независимые координаты б, ), ф, из вида уравнений (11.13) убедимся в том, что после выделения полных дифференциалов йх и йу) оставшиеся дифференциальные выражения не содержат координату 0. Следовательно, для координаты 0 уравнение движения диска записывается в форме уравнения Лагранжа 2-го рода. Функция Лагранжа составленная с учетом уравнений неголономных связей (11.13), имеет вид [c.195]

Подставляя в это уравнение значения Ух и Уу, выраженные в функции координат л и у, и интегрируя, можно получить уравнение, связывающее х, у и произвольную постоянную. Каждому значению произвольной постоянной будет соответствовать определенная линия тока. Дифференциальный двучлен, стоящий в левой части уравнения (а), интегрируется крайне просто, так как он оказывается равным полному дифференциалу некоторой функции 41 (х, у). [c.59]

Дифференциальные выражения работы в общем случае (15) не являются полными дифференциалами, поэтому интегрирование возможно лишь при наличии уравнений зависимости обобщенных сил (Fi) и обобщенных координат (Xi) [c.15]

Для существования однозначной функции N необходимо, чтобы дифференциальная форма Qj du была полным дифференциалом в функциональном пространстве переменных поля иК Это требование весьма ограничивает те случаи, когда величины Qj можно исключить из уравнений движения (4.40). Поэтому допустим, что слагаемые Qj сохранены в уравнениях [c.106]

При выводе этих уравнений Вольтерра применил оригинальный метод, оказавшийся яркой вехой в развитии математики и механики он первый ввел понятие, вошедшее в науку под термином неголономные координаты (или как их иногда называли, да и сейчас еще некоторые авторы называют — квази-координаты ). Понятие неголономной коор- динаты вытекает, по существу, из того же замечания Лагранжа о связи, выражаемой дифференциалом переменного, являющегося линейной формой дифференциалов координат системы, но не представляющего собой полного дифференциала некоторой функции координат системы в смысле дифференциального исчисления. Вольтерра же называл линейные диф- [c.4]

Известно, что вариация А, которая зависит от времени, от каких-либо функций времени и их производных, распадается на две части. Первая часть является полным дифференциалом, каковы бы ни были функции времени, входящие в А, и вариации этих функций. Другая часть, напротив, неинтегри-руема, если только что названные функции и их вариации остаются произвольными. Однако, подчиняя эти функции и их вариации определенным условиям, мы можем не только сделать эту часть интегрируемой, но даже, если бы это было признано необходимым, привести ее к нулю. Среди бесконечного множества способов этого приведения один представляется наиболее замечательным. Он состоит в исключении неинтегрируемой части единственно за счет функций, содержащихся в А, не затрагивая их вариаций. Этим способом исключения пользуются в проблеме изопериметров. Применяя его, можно получить те дифференциальные уравнения, которые имеют место в этой проблеме. [c.315]

Если придать этим приращениям частные значения, делающие вариацию А интегрируемой, то фундаментальная формула превращается в равенство между двумя полными дифференциалами. Тогда можно ее интегрировать и она дает также интегралы дифференциальных уравнений проблемы изопериметров, так как эта формула выражает, в сущности, эти же уравнения. [c.316]

Чтобы вайти полное решение г, т. е. решение, содержащее две проиаволь . иые постоянные, очевидно необходимо только найти значение р — с, и, г, а), которое, будучи подставлено в выражение pdx - -y dy, обрад1,ает его в полный дифференциал, после чего остается определить г из уравнения dz =р dx q dy. Последняя операция требует интегрирования одного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, благодаря чему в войдет, кроме я, вторая постоянная Ь. Значит всё дело состоит в определении р как функции й от. г, у, г и от произвольной постоянной а таким ибразом, чтобы выражение pdx -f- 7 х, у, г, р) dy было полным дифференциалом. Для этого необходимо, чтобы при дифференцировании р по у получалось то же значение, что и при дифференцировании у по ж, т. е, должно быть выполнено уравнение [c.149]

В изэнтропическом потоке сжимаемой среды, когда энтропия постоянна в пространстве и времени, скорость звука и давление зависят только от плотности. В силу изэнтропичности течения дифференциальные уравнения (3.34), (3.35) будут представлять полные дифференциалы величин [c.88]

Затем излагается вопрос об интегрируемости выражений для приращения внутренней теплоты, внутренней работы и о неинтегри-ргемостн их для внешпей теплоты и внешней работы И дальше Элементарная работа, производимая внутренними силами при бесконечно малом изменении состояния тела, есть полный дифференциал независимых переменных, определяющих собой состояние тела, между тем как элементарная работа внешних сил при бесконечно малом измеие[1ии состояния тела не есть полный дифференциал относительно независимых переменных, определяющих состояние тела . После этого выводятся дифференциальные уравнения термодинамики, основанные на ее первом законе, и показывается, что dQ и йЬ не являются полными дифференциалами. Вслед за этим рассматриваются изотермический и адиабатный процессы с выводом соответствующих аналитических соотношений уравнений этих процессов, их формул соотношения параметров и работы. Метод вывода уравнения адиабаты, принятый в учебнике Вышнеградского, будет приведен в 8-1. [c.53]

Говоря о методе Дюгема — Гиббса, надо заметить, что значительное развитие и применение в конце XIX — начале XX вв, получил и общий термодинамическпй метод исследований, метод, использующий дифференциальные уравнения, аналитически обобщающие основные законы термодинамики и математические свойства полных дифференциалов. Начала этого метода были заложены еще одним из творцов первичной теории термодинамики и ее второго закона — Клаузпусо.м. Широкое применение этого метода при построении общих основ теории термодинамики мы увиди.м при рассмотрении учебников Радцига, Мерцалова, Саткевича, Грузинцева,. Брандта и др. [c.88]

Однако внимательное изучение основополагающего труда Лагранжа Аналитическая механика , Том I, ч. I (отдел четвертый, стр. 60—61), где были выведены уравнения с множителями, названными именем их автора, показывает, что Лагранж уже имел представление о неинтегри-руемых СВЯЗЯХ в механике, что вытекает из следующего его высказыв -ния Вообще с помощью уравнений йЬ = 0, с1М = 0, ( N = 0, —.. <...> мы будем выражать условные уравнения независимо от того, будут ли эти уравнения сами по себе полными дифференциалами или же нет, при условии, что дифференциалы будут линейными . Ясно, что Лагранж подразумевает ПОД вышенаписанными дифференциалами линейные (в современной терминологии) дифференциальные формы, как интегрируемые, так и неинтегрируемые. [c.3]

Первое уравнение в (5.84) соответствует уравнению луча и определяет лучевое соответствие между точками и апертуры фокусатора и точками х области фокусировки В. Второе уравнение в (5.84) соответствует дифференциальной форме закона сохранения светового потока по лучевым трубкам и позволяет определить функцию х(и) из условия формирования заданного распределения интенсивности /(х) при X I). И наконец третье уравнение в (5.84) соответствует восстановлению фазы по полному дифференциалу, где слагаемое с о (и) введено дая ком,пенсации фазы освещающего пучка. [c.351]

Таким образом, полными диф( ренциалами в уравнениях первого закона термодинамики являются дифференциалы внутренней энергии (1и и энтальпии гИ, а неполными — /и Что касается теплоты д, то она, будучи суммой двух величин, одна из которых относится к функциям процесса, является также функцией процесса, а ее дифференциал является неполным. Далее в уравнениях первого закона термодинамики, записанных в дифференциальной форме, перед I, /о и сохраняется символ й, однако не следует забывать, что их ди( х )еренциалы не являются полными, а свойства различны по сравнению со свойствами внутренней энергии и энтальпии. [c.25]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...