Усреднение уравнений высокого порядка

Усреднение уравнений высокого порядка. .. 50 [c.1]

УСРЕДНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА [c.50]

Усреднение ее проведем аналогично сделанному в 3 и затем покажем, что полученный результат сводится к компактному детерминированному уравнению высокого порядка для <х( )>. Итак, перепишем уравнение (3.46) в виде системы [c.51]

В случае марковских гауссовских (и пуассоновских) воздействий а(<) возникает еще одно удобство оперирования с кумулянтами х , а не с моментами которое обязано установленным для таких моделей a t) формулам (8.25). С их помощью можно проводить усреднение динамических систем, представляющих собой динамические уравнения высокого порядка, довольно компактным образом, без предварительного сведения их к системе вида (8.25). [c.127]

Уравнение (9.4.11) для ноля скоростей совместно с уравнением (9.4.8) для давления и выражением (9.4.15) для корреляций случайных сил лежат в основе статистической теории турбулентного движения в несжимаемой жидкости. Хотя уравнение (9.4.11) на первый взгляд кажется не сложнее, чем гидродинамическое уравнение Навье-Стокса, тот факт, что теперь v(r, ) — случайная переменная сильно усложняет задачу. Дело в том, что для поля скоростей v, усредненного по некоторому промежутку времени или по реализациям, не удается получить замкнутого уравнения. Действительно, после усреднения (9.4.11) (скажем, по реализациям) в уравнение для v войдут корреляционные функции пульсаций Jv = v —v типа ( 6v 6vp). В уравнения для этих функций войдут корреляционные функции более высоких порядков и т. д. Мы получим так называемую цепочку уравнений Рейнольдса проблему замыкания которой до сих пор не удается решить. Дело также осложняется тем, что в задаче фактически нет малого параметра, поэтому не удается воспользоваться теорией возмущений. Как известно, в таких случаях необходим метод, позволяющий сравнительно просто получать общие соотношения и строить самосогласованные приближения, не опирающиеся на теорию возмущений. С этой точки зрения формулировка теории турбулентности на основе стохастического уравнения (9.4.11), при всей ее внешней простоте, мало что дает. Гораздо удобнее перейти к описанию турбулентного движения с помощью функционала распределения для поля скоростей и вывести для него уравнение Фоккера-Планка, которое в компактной форме содержит информацию о всей цепочке уравнений Рейнольдса. [c.258]

После подстановки выражения (6.15) в дифференциальное уравнение (6.11), отбрасывания малых высокого порядка и усреднения за период колебания, получаем укороченные уравнения в виде [c.194]

Системы (33.9) и (33.18) или эквивалентное им уравнение второго порядка (33.19) позволяют численно определить границы устойчивости при произвольных значениях параметров. В предельном случае высоких частот с помощью метода усреднения удается получить простые аналитические формулы, выра жающие зависимость критического числа Рэлея от параметров модуляции. Заметим сразу, что здесь мы имеем в виду случай параметрического воздействия посредством вертикальных колебаний высокой частоты высокочастотная модуляция равновесного градиента температуры приводит к образованию температурного скин-слоя, который необходимо учитывать при рассмотрении устойчивости (см. следующий параграф). [c.250]

При усреднении системы (1.45) возникает новая неизвестная функция Ь х ( )/б2 (Т1)б2 (тз), связанная со второй кумулянтной (функцией z Ь) ж X ( ), и т. д. Если воспользоваться условием дельта-коррелированности В (г) = 20 6 (т)) в (1.44), то мы придем к системе уравнений (1.16), соответствующей УЭФ. Затем условие дельта-коррелированности можно использовать в системе уравнений (1.45). При этом мы получим замкнутую систему уравнений более высокого порядка, являющуюся уже более точной. На этом этапе, усредняя (1.45), получим систему уравнений [c.186]

Пренебрежем в правой части этого уравнения величинами второго и более высокого порядка малости и получим уравнения первого приближения, или усредненную систему (10.34) [c.215]

Перейдем к выводу дифференциальных уравнений переноса, описывающих эволюцию одноточечных вторых моментов < А "В > турбулентных пульсаций термогидродинамических параметров химически активной многокомпонентной среды с переменной плотностью и переменными теплофизическими свойствами. Такие уравнения для однородной жидкости в приближении Буссинеска Буссинеск, 1877) лежат в основе метода инвариантного моделирования во многих современных теориях турбулентности различной степени сложности (см. (Турбулентность Принципы и применения, 1980)). Несмотря на полуэмпирический характер уравнений для моментов, в которых при описании корреляционных функций высокого порядка используются приближенные выражения, содержащие эмпирические коэффициенты, следует признать достаточную гибкость основанных на них моделей. Они позволяют учесть воздействие механизмов конвекции, диффузии, а также возникновения, перераспределения и диссипации энергии турбулентного поля, на пространственно-временное распределение усредненных термогидродинамических параметров среды. Поэтому, подобные уравнения нашли широкое применение при численном моделировании таких течений жидкости, для которых существенно влияние предыстории потока на характеристики турбулентности в точке (Турбулентность Принципы и применения, 1980 Иевлев, 1975, 1990). С другой стороны, ими можно воспользоваться для нахождения коэффициентов турбулентного обмена в свободных потоках с поперечным сдвигом (градиентом скорости), в том числе применительно к специфике моделирования природных сред (Маров, Колесниченко, 1987). [c.168]

Далее задача решается стандартным Путем. Найдем, например, средние значения (х/у. Для этого исключим в (3.18) линейные члены и перейдем к уравнениям, решение которых обусловлено только флуктуациями процесса 2 (Т). Предполагая гауссовость и дельта-коррелировапность процесса г (Т) по Т, т. е. <(2 (Г) 2 Т )у = 2ог б Т — Г ), можно выполнить усреднение и написать уравнения для средних величин, содержащие моментные функции более высокого порядка. Для получения медленных изменений средних характеристик (на фоне быстро осциллирующих с частотой О = х + (Оз процессов) при достаточно малой величине ог2 удается усреднить эти уравнения по периоду быстрых движений в результате придем к замкнутой системе линейных уравнений. Решая эти уравнения с соответствующими начальными условиями, получаем решение задачи в виде [c.170]

НОЙ. Если используются средние значения коэффициентов во вращающейся системе координат, то скорость полета вперед сказывается только в увеличении Mq и те на величину порядка Таким образом, для правильного описания динамических характеристик махового движения необходимо усреднение коэффициентов в невращающейся системе координат. Аппроксимация с постоянными коэффициентами лучше всего описывает низкочастотные колебания несущих винтов с большим числом лопастей (разд. 12.1.1.2). Поскольку собственная частота установочных колебаний относительно высока, можно ожидать, что для изгибно-крутильного флаттера точное решение уравнений с периодическими коэффициентами будет требоваться чаще, чем для рассмотрения только махового движения. [c.594]

Метод усреднения Ритца успешно применялся к различным задачам, включая свободные и вынужденные колебания нелинейных систем. Высокая точность была достигнута при использовании одночленного приближения для систем с восстанавливающей силой, описываемой симметричными функциями -го порядка, а также кусочно-линейными функциями. Уравнение Дюффинга является только одним из примеров такого типа. Для систем с восстанавливающими силами несимметричного вида требуется использовать по крайней мере двучленные приближения и при этом быстро растут трудности алгебраического характера. [c.164]

Здесь операторы путей рассеяния 1, 2) и т. п. сами представляют собой усредненные величины типа (10.65). Можно подняться на более высокую ступень в цепочке уравнений, подобных (10.66), и применить суперпозиционное приближение (2.17) уже к трехатомной функции распределения. Тогда появятся еще два условия самосогласования, из которых в принципе можно определить различные неизвестные функции. По существу именно до такого уровня приближения доведено рассмотрение в работах [26, 27]. На языке диаграммной техники [28] можно сказать, что приближение эффективной среды, равно как и метод когерентного потенциала, учитывает всевозможные одноцентровые графики и поправки к ним. Однако, поскольку совершенно ничего неизвестно о том, как выглядят численные решения этих уравнений, невозможно судить об окончательной ценности указанного развития теории. Примеры применения этого подхода к рассмотрению топологически неупорядоченных систем в приближении сильной связи [29, 30] также следует считать в известной степени академическими, за исключением разве того, что они внесли определенную ясность в ряд проблем, касающихся кластеров и ближнего порядка в задаче о сплавах ( 9.5) и свойств композиционно разупорядоченных систем с недиагональным беспорядком ( 9.8). [c.485]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...