Четырехмерное пространство Четырехмерные векторы

Четырехмерное пространство. Четырехмерные векторы [c.261]

Величины At, Ах, Ау, Az преобразуются как компоненты вектора в четырехмерном пространстве-времени. Если (Аа) О, то в соответствии с 171 этот вектор будем называть временно-подобным, в противном случае — пространственно-подобным. [c.459]

В четырехмерном пространстве четырем независимым векторам [c.177]

Эйнштейн в 1928 г. предложил совершенно противоположный путь. Геометрия Римана характеризуется тем, что в ней возможно ш.а расстоянии сравнивать длины, но невозможно сравнивать направления (отсутствует критерий параллельности на расстоянии) если в точке А дан бесконечно малый отрезок, и мы будем переносить его параллельно самому себе в точку В, то окончательное направление, к-рое он примет в точке В, зависит от формы пути, по к-рому перемещался отрезок. В геометрии Вейля невозможно на расстоянии сравнивать ни длину, ни направление отрезков в новой геометрии, предложенной Эйнштейном, возможно и то и другое. Это достигается след, обр. в каждой точке четырехмерного пространства Римана даются четыре перпендикулярных друг другу единичных вектора (так наз. б а й н ы) если дана определенная координатная система, то слагающие этих векторов получают [c.183]

Действительно, инвариантные относительно д векторы конфигурационного пространства образуют двумерную плоскость. Каждый вектор четырехмерного ортогонального дополнения к этой плоскости при применении оператора поворачивается на 120°. Потенциальная энергия разлагается в прямую сумму форм на описанных двумерном и четырехмерном инвариантных пространствах оператора g. Шесть собственных направлений выбираются теперь так. Ровно два из шести векторов соответствуют симметричным колебаниям, а остальные четыре лежат в ортогональном им четырехмерном пространстве векторов, поворачивающихся на 120°. Возьмем один из этих векторов, применим к нему оператор Е и объявим полученный вектор парным с исходным направлением собственного колебания. Затем в ортогональном дополнении к получившейся плоскости в четырехмерном пространстве выберем любой вектор и в пару ему возьмем его образ при действии оператора д. Мы получили систему из шести собственных колебаний, обладающую требуемыми свойствами. [c.402]

Состояние поляризации произвольного светового пучка принято описывать четырьмя параметрами 5г ( =1, 2, 3, 4), впервые предложенными Стоксом. Каждый из них представляет собой линейную комбинацию квадратичных характеристик электромагнитного поля и может быть непосредственно измерен в эксперименте [35]. Все параметры Стокса 5 можно рассматривать как компоненты единого единичного вектора 8 в четырехмерном пространстве [7, 17, 34]. [c.35]

Движение газа происходит в трехмерном иространстве R (x) точек (векторов) X, причем состояние движения в точке х зависит от времени t. Поэтому пространством событий газовой динамики является четырехмерное пространство R kJ). [c.16]

При формулировании основных физических уравнений требуется рассматривать векторы и тензоры в четырехмерном пространстве с координатами х , х , ж , ж и считать, что координаты точек четырехмерного пространства — времени взаимно связаны и в некотором смысле равноправны. [c.186]

Пусть 1— (хь %2, Хз. ни) = ( 1. Ь, Ри Рг) — произвольный вектор в четырехмерном пространстве д, р), д = ( 1, д ), р = = р1, Рг). Введем оператор / [c.277]

Это не что иное, как квадрат модуля вектора в прямоугольной системе координат четырехмерного пространства. [c.41]

Рассмотрим некоторую совокупность векторов Г1, Гг,. . начала которых находятся в некоторой общей точке приведения О. Допустим, что мы наряду с каждым из векторов Г/ рассматриваем дополнительно приписанный ему некоторый момент г , отнесенный к точке О, в результате чего появится дополнительная совокупность моментов г , г%.....отнесенных к точке О, и мы будем иметь совокупность двоек векторов, т. е. моторов (Гх, г ), (Гг, Гг).... Каждый мотор (Г/, Г/), отнесенный к точке О, единственным образом определяет некоторый винт / / — его ось, вектор и параметр. Совокупность моторов (Г1, Гг , г2, г ). . ., отнесенных к точке приведения О, определяет совокупность винтов / 1, / 2, . Концы всех векторов и моментов с началами, помещенными в точке О, образуют шестимерное точечное пространство, оси же винтов, ими определяемые, образуют четырехмерное линейчатое пространство, причем каждой оси соответствует двухмерное пространство винтов, и значит, пространство винтов будет шестимерным. Таким образом, при помощи точки приведения устанавливается соответствие между пространством двоек векторов — моторов (или двоек точек) с одной стороны, и пространством винтов — с другой. Каждому мотору в первом пространстве соответствует винт во втором пространстве. [c.79]

В трехмерном пространстве с помощью дискриминантного тензора можно было построить из всякого антисимметричного тензора второго ранга псевдотензор первого ранга —псевдовектор (или аксиальный вектор). В четырехмерном пространстве мы приходим на этом пути к тому, что всякому антисимметричному тензору второго ранга Аш можно сопоставить дуальный ему антисимметричный псевдотензор второго ранга [c.167]

А теперь будем считать 5 квадратом длины радиус-вектора точки Л1(хо, XI, Х2, Хз) в четырехмерном пространстве (сокращенное название—4-пространство). Сам вектор обозначим х , где а = О, 1, 2, 3, а квадрат его модуля х хц. Последний в новых обозначениях запишем так [c.261]

Преобразования Лоренца, переводящие координаты точки 4-пространства из одной инерциальной системы в другую и сохраняющие неизменным 5 , т. е. квадрат модуля четырехмерного ра-диус-вектора точки, интерпретируются как поворот осей прямоугольной системы координат. Этот поворот в 4-пространстве определяется матрицей величин, играющих роль обычных направляющих косину- [c.261]

I) В соответствии с представлениями теории относительности Вселенная представляет собой четырехмерный континуум пространство-время , поэтому и мера движения должна быть четырехмерным вектором. Классическая механика, предполагая, что течение времени не связано с пространством, вводит в рассмотрение два раздельных объекта — трехмерное пространство и скалярное время. Естественно, что и мера движения в классической механике расщепляется на трехмерную векторную меру и на меру скалярную. В этом смысле скалярную меру — кинетическую энергию — можно рассматривать как проекцию четырехмерной меры из временную координату. О своеобразной связи энергии и времени в классической механике речь будет идти и далее см., например, 2 и 7 гл. VII. [c.54]

ОР в пространстве остается неизменным. Подобно этому мы определяем вектор, подвергающийся преобразованию Лоренца, как совокупность четырех составляющих Xi X, Х2 = у, Хз S Z,. V4 = id. Система этих четырех величин обычно называется четырехмерным вектором. Точно так же любые четыре величины, которые преобразуются точно по такому же правилу, по определению образуют четырехмерный вектор, инвариантный относительно преобразования Лоренца так, если р, ру, рг — составляющие импульса материальной точки, а — ее энергия, то четыре числа pi = рх, Рз = Ру, Рз = Рг, р4 = = iE/ — тоже образуют четырехмерный вектор. [c.370]

В гл. 12 мы получим уравнения (65) и (69), не ссылаясь на понятия четырехмерного вектора и пространства — времени. Однако, познакомившись с этими понятиями, мы овладели еще одним приемом теоретического анализа и получили простой и изящный метод составления уравнений, инвариантных относительно преобразования Лоренца. Этот метод открывает возможность для дальнейших обобщений, ведущих к более абстрактным и математически усложненным теориям — релятивистской квантовой теории и общей теории относительности Эйнштейна. Возможность составлять уравнения, инвариантные относительно преобразования Лоренца, не доказывая в каждом отдельном случае их инвариантность, позволяет физикам рассматривать еще более сложные проблемы, которые не могли бы быть решены иным путем. [c.371]

Четырехмерные векторы в пространстве Минковского [c.459]

Соотношения (43) указывают, какими свойствами должны обладать силы F в релятивистской механике. Эти силы должны быть такими, чтобы составленные по ним в соответствии с (37), (38) силы Минковского S преобразовывались как четырехмерные векторы в пространстве Минковского. Последнее условие удовлетворяется для электромагнитных сил, действующих на заряженную частицу требование теории состоит в том, чтобы это условие соблюдалось для всех сил вообще. Таким образом, оно является руководящим принципом для построения любой физической теории, описывающей силовые взаимодействия. [c.466]

Это означает, что длина вектора R не меняется. Следовательно, преобразование (9.4.11) является некоторым поворотом четырехмерного евклидова пространства. То же самое справедливо для преобразования [c.346]

Очеввдно, что формулы преобразования для Н < ж Е- в общем случае четырехмерного преобразования (3.25) не являются векторными. С точки зрения четырехмерного пространства трехмерные векторы Н ж Е яв являются инвариантными объектами. [c.188]

Преобразование Лоренца можно рассматривать как ортогональное преобразование в пространстве Минковского. В этом четырехмерном пространстве можно говорить о скалярах, векторах и тензорах любого ранга, обобщая на них (очевидным образом) те преобразования, которые мы имели для аналогичных величин в трехмерном пространстве. Так, например, мы будем говорить о четырехмерных векторах или короче о 4-векторах и т. п. Инвариантность физического закона относительно преобразований Лоренца можно сделать тогда очевидной, если выразить этот закон в ковариантной четырехмерной форме-, все члены уравнения, выражающего этот закон, должны быть при этом тензорами одного ранга. Если же закон не удовлетворяет требованиям принципа эквивалентности, то ему нельзя будет придать ковариантную форму. Следовательно, характер преобразования (в четырехмерпом пространстве) членов равенства, выражающего физический закон, дает нам критерий для решения вопроса о релятивистской правильности этого закона. [c.219]

Однородная система координат является математическим аппаратом, помогающим описывать проективные преобразования. Точка X, Y, Z) в трехмерном пространстве представляется вектором из четырех чисел [ab d. Компоненты этого вектора интерпретируются как координаты в четырехмерном пространстве. Для перехода от координат (X, Y, Z) точки в обычном трехмерном пространстве к однородным координатам достаточно взять некоторое отличное от нуля число W и сформировать вектор [c.281]

Можно ввести вектор R в четырехмерном пространстве-времени как величину с компонентами t, х, у, г (или t, г) и записать так R (t, х, у, г), или R (t, г). Вектор R называют чгтырехвекто-ром (4-вектором). В обычном трехмерном пространстве при повороте декартовой системы остается постоянной длина радиуса-вектора, длина г, или квадратный корень из гг (скалярного произведения г на самого себя). Вообще говоря, скалярное произведение двух векторов при повороте системы коордннат остается неизменным. [c.545]

Читателю может показаться, что мы для собственного удовольствия усложняем положение, работая в пространстве четырехмерных векторов вместо того, чтобы работать в пространстве инвариантов , где упругие пороги выглядят более простыми. Но не надо забьшать, что если мы будем изучать больше четырех независимых четырехмерных векторов, то их скалярные произведения уже не будут независимыми, и связи, которым подчинены эти скалярные произведения, опредёляют дово.гьно сложное алгебраическое многообразие. [c.93]

Совокупность величин и (л (которые будем в дальнейшем называть координатами , не выделяя специально пространственных и временной составляющих) удобно трактовать как декартовы компоненты некоторого вектора R соответственно по осям н в четырехмерном евклидовом пространстве-времени Минковского. Равенства (9) и (10) показывают, что преобразование (10) (ср. с 32 т. I) оставляет неизменной абсолютную величину упомянутого вектора R, т. е. представляет собой не что иное, как ортогональное преобразование координат — вращение в пространстве Минковского. Отличие этого вращенил от обычного заключается в том, что, поскольку координата чисто мнимая, коэффициенты и а. в соотношениях (10) не все вещественны. Именно, коэффициенты а.и а ., а. [i = 1,2, 3) должны быть чисто мнимыми, а остальные — зэ-щественными. [c.449]

Будучи четырехмерным вектором в пространстве Минков-ского, сила 3 должна, разумеется, преобразовываться по формулам Лоренца (43). Из этих формул видно, в частности, что если на частицу в одной инерцнальной системе не действует сила ( = 0), то это же верно и в любой другой инерциальноя системе. [c.466]

Рассмотрим четырехмерный мир Минковского (трехмерное пространство + время). Геометрическим местом пучка единичных временных векторов будет полость двуполостного гиперболоида. По Пуанкаре метрика пучка этих векторов будет совпадать с метрикой трехмерного пространства Лобачевского. [c.337]

Оператор А является многомерным оператором, поскольку и пространство и, на котором он задан, и пространство V, в которое он переводит функции из и, являются пространствами вектор-функций. Пространство U состоит из четырехмерных вектор-функций u(i)= Г, sy(i), T2sxU), W2(i) , где Tinit), w t), — непрерывные функции, a V состоит из двумерных [c.46]

Смотреть страницы где упоминается термин Четырехмерное пространство Четырехмерные векторы : [c.288] [c.208] [c.462] [c.462] [c.137] [c.69] [c.38] [c.17] [c.17] [c.404] [c.130] [c.203] [c.40] [c.87] [c.316] [c.290] [c.490] [c.460] [c.472] [c.546]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...