Векторы четырехмерные (4-векторы)

Четырехмерные векторы (4-векторы) 219 и д. [c.415]

Вновь вернемся к четырехмерной геометрии. 4-вектором назовем упорядоченную четверку чисел [c.238]

Здесь (3 = у/с, у = (1х/(11, и есть четырехмерный вектор скорости (4-скорость). [c.238]

Кроме того, можно заметить, что четырехмерный вектор ускорения (4-ускорение) [c.239]

Инвариантность фазы (и/—кг) относительно преобразований Лоренца позволяет рассматривать это выражение как скаляр ное произведение 4-векторов четырехмерного радиуса-вектора t г) и четырехмерного волнового вектора (со/с, к), пространственной компонентой которого служит трехмерный волновой вектор к, а временной — частота волны со, деленная на с. Для электромагнитной волны в вакууме к=ы/с. поэтому четырехмерныи в л овой вектор имеет нулевую инвариантную длину. [c.411]

Частота ы и волновой вектор к характеризуют волновые свойства монохроматического излучения, а энергия е и импульс р — корпускулярные. Второе соотношение (9.48), связывающее импульс фотона с волновым вектором, неизбежно следует из первого, связывающего энергию с частотой, если обратиться к требованию равноправия всех инерциальных систем отсчета, т. е. к принципу относительности. В самом деле, энергия (деленная на постоянный множитель с) и импульс частицы образуют четырехмерный вектор (е/с, р), а частота (деленная на с) и волновой вектор образуют четырехмерный волновой вектор (ы/с, к) монохроматической волны. При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой пространственные и временные компоненты 4-векторов в соответствии с преобразованиями Лоренца (8.7) перемешиваются друг с другом. Фундаментальное соотношение е=йо) между временными компонентами 4-векторов (е/с, р) и (ы/с, к) будет удовлетворять требованию релятивистской инвариантности, т. е. выполняться одновременно во всех системах отсчета, тогда и только тогда, когда такое же соотношение р=Йк имеет место и между их пространственными компонентами. [c.468]

Состояние поляризации произвольного светового пучка принято описывать четырьмя параметрами 5г ( =1, 2, 3, 4), впервые предложенными Стоксом. Каждый из них представляет собой линейную комбинацию квадратичных характеристик электромагнитного поля и может быть непосредственно измерен в эксперименте [35]. Все параметры Стокса 5 можно рассматривать как компоненты единого единичного вектора 8 в четырехмерном пространстве [7, 17, 34]. [c.35]

Для решения поставленной задачи проще и логичнее всего воспользоваться понятием четырехмерного вектора (или, короче, 4-вектора) в пространстве Минковского. Каждое точечное событие в таком пространстве характеризуется совокупностью четырех координат X, г/, г, т = с/. При переходе от системы отсчета S к системе отсчета S разности координат двух точек преобразуются по формулам [c.670]

В этом параграфе латинскими буквами к, I обозначаются четырехмерные векторные индексы. Скалярное произведение двух 4-векторов а и Ь обозначается как (аЬ) аф . [c.251]

Четырехмерный вектор энергии-импульса свободной частицы. Формула Эйнштейна. Релятивистская энергия и релятивистский импульс объединяются преобразованиями Лоренца в единую величину — 4-вектор энергии-импульса. Чтобы показать это, образуем 4-вектор преобразований Лоренца по способу, указанному в 3 умножим 4-скорость на скаляр т и назовем полученный вектор 4-импульсом ра = тиа. [c.270]

Сохраняется лишь общая форма уравнений движения (6.8) во всех ИСО. Что же касается входящих в них величин — проекций 4-векторов, то они в разных системах имеют различные значения. Сохранение формы уравнений (при изменяющихся в них величинах) в математике называют ковариантностью. Таким образом, получены уравнения движения (6.8), ковариантные по отношению к преобразованиям Лоренца. Для практических применений следует пользоваться системой уравнений (6.1) и (6.5), эквивалентной четырехмерному уравнению (6.8). Эти уравнения также будут кова-риантны, т. е. будут иметь указанный в равенствах (6.1) и (6.5) вид [c.284]

Это означает, что длина вектора R не меняется. Следовательно, преобразование (9.4.11) является некоторым поворотом четырехмерного евклидова пространства. То же самое справедливо для преобразования [c.346]

Дифференциальные зависимости между компонентами этого четырехмерного вектора следуют из вывода уравнения (3.4) [c.90]

Кроме того, чертой сверху мы будем помечать и другие четырехмерные векторы (в отличие от трехмерных), а также матрицы размера 4X4. Под U-V будем подразумевать скалярное произведение в R. Суммирование по повторяющемуся дважды индексу в одночленах мы будем осуществлять в пределах от 1 до 3 или от 1 до 4 в зависимости от того, при каких значениях индекса суммируемые переменные определены. Например, [c.181]

Рассмотрим мультислой, расположенный между некоторой подложкой (справа от мультислоя) и бесконечно протяженной окружающей средой (слева). Пусть мультислой описывается характеристической М-матрицей 4x4, а падающая на границу раздела 2 волна — четырехмерным вектором . Тогда обратно в окружающую среду отражается волна , а волна проникает в подложку. При этом является суперпозицией двух собственных векторов среды, описывающих волны, бегущие справа налево. В соответствии с уже принятыми обозначениями (3.16.4) эти волны будем отмечать индексами 2 и 4, а бегущие слева направо — индексами 1 и 3. Это упорядочение остается справедливым не только для одноосных кристаллов, но и для двухосных. Поэтому векторы 1 ), и 1 ) можно записать в виде [c.209]

А теперь будем считать 5 квадратом длины радиус-вектора точки Л1(хо, XI, Х2, Хз) в четырехмерном пространстве (сокращенное название—4-пространство). Сам вектор обозначим х , где а = О, 1, 2, 3, а квадрат его модуля х хц. Последний в новых обозначениях запишем так [c.261]

Преобразования Лоренца, переводящие координаты точки 4-пространства из одной инерциальной системы в другую и сохраняющие неизменным 5 , т. е. квадрат модуля четырехмерного ра-диус-вектора точки, интерпретируются как поворот осей прямоугольной системы координат. Этот поворот в 4-пространстве определяется матрицей величин, играющих роль обычных направляющих косину- [c.261]

Пусть в штрихованной системе покоится частица с массой т. Четырехмерный вектор энергии-импульса здесь имеет проекции ро = тс, р, =0, р г = О, р з = 0. С помощью формул (3.4) и матрицы (3.3) имеем [c.272]

Можно ввести вектор R в четырехмерном пространстве-времени как величину с компонентами t, х, у, г (или t, г) и записать так R (t, х, у, г), или R (t, г). Вектор R называют чгтырехвекто-ром (4-вектором). В обычном трехмерном пространстве при повороте декартовой системы остается постоянной длина радиуса-вектора, длина г, или квадратный корень из гг (скалярного произведения г на самого себя). Вообще говоря, скалярное произведение двух векторов при повороте системы коордннат остается неизменным. [c.545]

Преобразование Лоренца можно рассматривать как ортогональное преобразование в пространстве Минковского. В этом четырехмерном пространстве можно говорить о скалярах, векторах и тензорах любого ранга, обобщая на них (очевидным образом) те преобразования, которые мы имели для аналогичных величин в трехмерном пространстве. Так, например, мы будем говорить о четырехмерных векторах или короче о 4-векторах и т. п. Инвариантность физического закона относительно преобразований Лоренца можно сделать тогда очевидной, если выразить этот закон в ковариантной четырехмерной форме-, все члены уравнения, выражающего этот закон, должны быть при этом тензорами одного ранга. Если же закон не удовлетворяет требованиям принципа эквивалентности, то ему нельзя будет придать ковариантную форму. Следовательно, характер преобразования (в четырехмерпом пространстве) членов равенства, выражающего физический закон, дает нам критерий для решения вопроса о релятивистской правильности этого закона. [c.219]

Лля дальнейшего анализа нам потребуются некоторые понятия СТО в терминах так называемых кинематических и динамических 4-векторов [223, 286]. Лело в том, что релятивистское описание в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве Минковского удобно проводить, пользуясь именно этим аппаратом 4-векторов. [c.236]

Считая квадрат ивгервала (В.4-1) скалярным провзвеае-нием вектора четырехмерного перемещения (Лд , Лхь axi, Ахз) с самим собой, можно ввести скалярное произведение для 4-мерных векторов [c.51]

Заметим, что греческий индекс употребляется далее везде, где индекс принимает указанные четыре значения а = О, 1, 2, 3. В остальных случаях в курсе используется латинский индекс. От известного нам выражения скалярного произведения двух обычных векторов в прямоугольных декартовых координатах формула (3.2) отличается знаком минус при первом слагаемом — произведении временных проекций четырехмерного радиус-вектора. Эта особенность отличает введенное 4-пространство от евклидового пространства, где все произведения входят со знаком плюс . В геометрии такое пространство называется вещественным псевдоевклидовым пространством индекса /, а в физике часто пространством Мин-ковского. [c.261]

Четырехмерные векторы. Выше введен 4-вектор Ха, являющийся радиус-вектором точки в четырехмерном псевдоевкли-довом пространстве. Кроме 4-радиус-вектора, существуют и другие 4-векторы. [c.263]

Из каждого такого соотногпения может быть получен инвариант ноля, существующего в неограниченной среде, не изменяющий своего значения с течением времени. Действительно, рассмотрим четырехмерную область в форме цилиндра, основания которого = С, Х = С2 есть гинернлоскости, нерненди-кулярные оси времени. Поток 4-вектора через границу этой области равен нулю. Если физические ноля достаточно быстро затухают на бесконечности, то, удаляя боковую поверхность цилиндра в бесконечность, находим, что [c.134]

Однако существует универсальный способ нахождения компонент любых векторов при переходе 1- П. Достаточно обобщить трехмерную физиче-С1 величину так, чтобы она вошла в структуру четырехмерной величины, т.е. в структуру 4-вектора, преобразование компонент которого нам известно оно совершается по формулам Лоренца (а значит с соблюдением двух принципов Эйнштейна, как того и требует СТО ). [c.343]

Этот четьфехмерный вектор называется четырехмерной скоростью точки (здесь он определен в системе I). Напомним, стрелки показывают х актер преобразований компонент 4-вектора Я) при переходе 1- П и 3-вектора Я) при повороте осей. Обратим внимание, при переходе 1->П в формулах Лоренца [c.344]

СКОРОСТЬ ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ — в относительности теории является обобщением понятия обычной (трехмерной) скорости. С. ч. — четырехмер-ный вектор с компонентами щ = dxjdx, i = 1, 2, 3, 4, где Xi — координаты Минковского (х = х, х — у, х = 2, Х4 = i t), а dx — элемент собственного времени движущейся частицы. Комноненты С. ч. связаны с проекциями зс, Uy, U2, трехмерной скорости и соотношениями [c.550]

Модельная задача. Рассмотрим трехмерные колебания шарика между двумя упругоотражающими неподвижными стенками, одна из которых плоская (z = h), а другая (z 0) — гофрированная как по Л", так и по i/ (рис. 6.4, а). Положение системы на четырехмерной поверхности сечения задается значениями координат и Уп и углов а -= ar tg ivjv ) и (3 = ar tg [vjv ) непосредственно перед п-ш отражением от гофрированной стенки, где v — вектор скорости шарика (рис. 6.4, б). Считая гофрировку слабой (а к, ak С 1). можно записать упрощенное отображение (ср. U. 3,4а) в явном виде [c.348]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...