Устойчивое разложение

Замечание. Мы называем (7.15) устойчивым разложением. [c.148]

Тогда нз (7.16) следует абсолютная и равномерная сходимость устойчивого разложения (7.15). [c.148]

Подстановка этой оценки в устойчивое разложение дает [c.158]

Для доказательства (7.81), как и в случае устойчивого разложения, воспользуемся интегрированием по частям, чтобы оценить [c.171]

Химическое соединение устойчиво, если его можно нагреть без разложения до расплавления, и неустойчиво, если при нагреве оно разлагается. В зависимости от этого могут быть два вида диаграмм. Кроме того, возможно образование нескольких химических соединений между двумя компонентами, а также растворимость на базе химического соединения — эти обстоятельства также находят отражение в диаграмме состояния. [c.131]

Это химическое соединение устойчиво, поэтому оно может быть нагрето без разложения до своей температуры плавления (точка С). Химическое соединение плавится при постоянной температуре. [c.131]

Химическое соединение А В устойчиво, поэтому оно поддается нагреву без разложения до определенной температуры плавления. Химическое соединение можно рассматривать как однокомпонентную систему, тогда при плавлении [c.48]

Термодинамическая устойчивость данного соединения определяется изменением энергии Гиббса AG при образовании его в данных физических условиях (р, Т). Разложение этого соединения требует затраты такой же энергии и тем самым определяются возможности данного металлургического процесса. [c.314]

В положении асимптотически устойчивого равновесия, то из формул (69) и (73) видно, что вынужденное движение по модулю может быть сделано сколь угодно малым, если внешнее воздействие мало по модулю. Действительно, в формулу (69) входит как множитель амплитуда А внешней силы, а в формулу (73) — величины Л, являющиеся коэффициентами Фурье в разложении [c.252]

Потенциальная энергия с принятой точностью является однородной квадратичной формой обобщенных координат д и д . В случае, когда потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум, т. е. положение равновесия является устойчивым, коэффициенты разложения Сц, i2, 2J как вторые производные от Я по переменным д и д при минимуме должны удовлетворять условиям [c.433]

Для рассмотрения малых колебаний системы в окрестности устойчивого положения равновесия необходимо получить разложения в ряды кинетической и потенциальной энергий и диссипативной функции. [c.453]

Если коэффициенты p ,s, а также коэффициенты разложений в ряды функций Rs не зависят явно от времени, то невозмущенное движение называется стационарным для функций Qk, относительно которых исследуется устойчивость. В случае стационарных движений коэффициенты д, , постоянны. [c.331]

В работах Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского можно найти другие математические способы решения вопроса об устойчивости движения. А. М. Ляпунов для получения уравнений первого приближения пользовался разложениями правых частей уравнений движения в степенные ряды. Названные выше авторы применяли иные способы, в частности, метод усреднения. [c.346]

При R = Rkp возмущение скачком возрастает до конечной амплитуды (которая, конечно, предполагается все же настолько малой, что используемое разложение по степеням А применимо) ). В интервале R p < R < Rkp основное движение мета-стабильно — устойчиво по отношению к бесконечно малым, но неустойчиво по отношению к возмущениям конечной амплитуды (сплошная линия пунктирная кривая ветвь неустойчива). [c.141]

Как видно из равенств (16) и (17), в отличие от движения системы вблизи положения устойчивого равновесия, обобщенная координата q и обобщенная скорость q с ростом времени t могут принимать сколь угодно большие значения, а тогда становится несправедливым отбрасывание членов высших степеней в разложениях кинетической и потенциальной энергий и приведение уравнения движения к виду (15). Ввиду этого оговоримся, что для этого случая (с < 0) все последующее рассуждение относится к достаточно малым q и q, т. е. имеется лишь локальное значение для области, близкой к положению неустойчивого равновесия системы. [c.483]

Учет влияния членов высших степеней в разложении момента в уравне НИН (98) привел бы к заключению, что размахи колебаний маятника в действительности не растут неограниченно. Движение стремится к некоторому периодическому режиму, параметры которого не зависят от начальных условий. Соответствующая этому режиму фазовая траектория представляет замкнутую кривую (рис. 438, а), называемую устойчивым предельным циклом. [c.518]

Для интегрирования системы геометрически нелинейных дифференциальных уравнений устойчивости используют метод возмущений [105], метод разложения в степенные ряды [106] и [107], метод Бубнова — Галеркина и энергетические методы. [c.262]

Непрерывные фазовые переходы обычно связаны с изменением симметрии системы, поэтому можно ввести характеризующий эту симметрию параметр порядка г, который равен нулю в более симметричной и отличен от нуля в менее симметричной фазе. Такой подход в теории непрерывных переходов был применен в работах Л. Л. Ландау. Вследствие нереалистического предположения о возможности разложения в степенной ряд энергии Гиббса в окрестности фазового перехода теория Ландау расходится с большинством экспериментов в этой области. Этой теории посвящена обширная литература, и мы не излагаем ее здесь . Физически последовательная теория непрерывных фазовых переходов была развита в работах В. К. Семенченко на основе представления о термодинамической устойчивости (см. 45). [c.162]

Замечание. Множитель k )P не является необходимым. Разлон ение, которое мы используем, это до некоторой степени стрельба из пушек по воробьям, но мы уж привыкли к нему в случае Хиггсг и закроем на это глаза. В [74] я описываю значительно более простое устойчивое разложение для КЭДг, правда при условии, что е/М <С 1. [c.151]

Таким образом, для КЭДг устойчивое разложение тоже сходится. [c.152]

Замечания. 1. В такой форме устойчивые разложения, конечно, не работают для = 3. Однако правдоподобно, что разложение типа фазовой ячейки (см. [35, 10]) можно заставить здесь работать ). Магнен и Сенеор [17], скептически [c.152]

Снова надо подставить это в устойчивое разложение. Как и в случае модели Хиггсг, получим [c.158]

В соответствии с нашей схемой нам следовало бы сделать ультрафиолетовое обрезание по но, как легко видеть (и по существу доказано в [26]), (1е14 можно однозначно определить как с/шл-измеримую функцию, устремляя t к нулю. Наше устойчивое разложение показывает фактически, что (1е14 лежит в О. Более того, этот определитель калибровочно-инвариантен, что позволяет рассматривать с1е14(1 + л( )) как функцию от Р. [c.169]

Интегрирование системы конечно-элементных уравнений (1.35) можно осуществить различными способами [55, 177, 178], наибольшее применение среди которых получили методы центральных разностей, Вилсона, Галеркина, Ньюмарка. Нельзя формально подходить к использованию того или иного метода,, так как каждый из них имеет свои сильные и слабые стороны, которыми и определяется область их рационального применения. Так, применение центральных разностей имеет несомненное преимущество при использовании сосредоточенной (диагональной) матрицы масс, однако устойчивость его зависит от выбора шага интегрирования во времени Ат. Выбирая безусловно устойчивые и более точные двухпараметрические методы интегрирования Ньюмарка и Галеркина, мы значительно увеличиваем время счета. Оптимально и достаточно просто реализуемое интегрирование уравнения (1.35) можно провести с помощью модифицированной одношаговой процедуры Вилсона по двум схемам, отличающимся числом членов разложения в ряд Тейлора функций (т) , (й т) , ы(т) в момент времени т [7]. [c.25]

Потенциальная энергия с принятой точносгью являегся однородной квадра гичной формой o6o6niem[bix коордипа ] (/, и (/2- В гом случае, когда но генциальная энергия в положении равновесия имеет минимум, i. е. положение равновесия является устойчивым, коэффициенты разложения [c.472]

Высокие температуры, используемые при сварке плавлением, с одной стороны, понижают термодинамическую устойчивость оксидов, как это было показано в п. 9.2, но, с другой стороны, скорость их образования резко увеличивается и за очень небольшое время сварочного цикла металлы поглощают значительное количество кислорода. Поглощенный кислород может находиться в металле или в растворенном состоянии в виде оксидов (обычно низшей степени окисления), или субоксидов (TieO, TisO, Ti20), а также может создавать неметаллические включения эндогенного типа, образовавшиеся при раскислении металла более активными элементами. И то, и другое резко снижает качество сварных соединений, особенно пластичность металла шва. Исследования этого вопроса показали, что основная масса кислорода в металле обычно находится в неметаллических включениях [20]. Источниками кислорода в металле при сварке служат окислительно-восстановительные реакции между металлом и атмосферой сварочной дуги, металлом и шлаками, образующимися в результате плавления флюсов или при разложении и плавлении компонентов электродного покрытия, а также при взаимодействии с наполнителями порошковой проволоки. [c.317]

Если квадратичная форма в разложении (2.23) в малой окрестности положения равновесия (нуля) является определенно-положительной, то и потенциальная энергия П будет определенно-положительной в этой окрестности. Так как, по предложению, П (О,. .., 0) = 0, то отсюда следует, что в положении равновесия П имеет локальный минимум и из теоремы Лагранжа — Дирихле следует устойчивость рассматриваемого положения равновесия. [c.87]

Рассмотрим задачу о приведении к нормальной форме (2.93) гамильтониана //j в разложении функции Гамильтона (2.44), описывающей возмущенное движение динамически симметричного спутника относительно центра масс в окрестности цилиндрической прецессии. Предполагается, что значения параметров задачи а, /J принадлежат об/щстям /, //устойчивости цилиндрической прецессии (см. рис. 15). Из рассмотрения исключается единственная точка a — 1, = 2 области /, в которой [c.126]

Член вида ) (ди/дг) А и запрещается предполагаемой здесь эквивалентностью обоих направлений оси 2, т. е. симметрией по отношению к преобразованию и —ы, г —г, х, у х, у (отражение в плоскости X, у) или и -> —и, г —г, у —у, х- х (поворот вокруг горизонтальной оси второго порядка — оси х) по этой же причине отсутствует член вида (р — ро) Aj m, Учет первого члена разложения по вторым производным (отсутствующий в теории упругости твердых тел) необходим ввиду отсутствия в первых производных по лг и г/. Условия устойчивости неде-формированного состояния, т. е. условия положительности энергии (44,1), гласят [c.230]

Покажем теперь метод определения границы области устойчивости на частном, но имею1цем большое значение случае, когда разложение (7.74) функции p(t) в ряд Фурье содержит только два периодических слагаемых самой низкой частоты, т. е. [c.245]

О вынужденных колебаниях легко находится разлол<ив негармоническую внешнюю силу в гармонический спектр, можно свести задачу к предыдущей — определению амплитуд и фаз вынужденных колебаний, возникающих под действием гармонических составляющих спектра внешней силы. Именно то, что в линейных системах, описываемых дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами и являющихся очень широко распространенным классом систем, имеют место как устойчивость формы гармонических колебаний, так и принцип суперпозиции, придает исключительный физический интерес математическому приему разложения периодической функции в спектр, т. е. именно в гармонический ряд, а не в ряд каких-либо других функци11. [c.622]

Критическое состояние будет устойчивым, т. е. знаки изменений давления 8р и объема бК при Т = onst в этом состоянии будут противоположными, если, как это видно из разложения р в ряд по степеням 61/, [c.118]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...