Теорема устойчивости по первому

Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [c.82]

Теорема об устойчивости по первому приближению. Один из основных результатов, полученных Ляпуновым при решении задачи об устойчивости по первому приближению, можно сформулировать в виде следующей теоремы. [c.529]

Критерий Рауса-Гурвица. Для практического использования теоремы об устойчивости по первому приближению важно определить знаки вещественных частей характеристического уравнения. В частности, желательно иметь критерий, позволяющий по коэффициен- [c.532]

При Л +00 имеем А(Л) +оо. Но А(0) = Ai Л2. .. и в силу нечетности степени неустойчивости А(0) < 0. Следовательно, характеристическое уравнение имеет хотя бы один положительный корень и, согласно теореме п. 237 об устойчивости по первому приближению, положение равновесия = q2 =. .. = = О неустойчиво независимо от нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения, т. е. если степень неустойчивости нечетна, то стабилизация гироскопическими силами невозможна. [c.539]

Как показано в п. 189, многочлен р(Л) — четная функция Л. Поэтому если уравнение (5) имеет корень X = а с отличной от нуля вещественной частью, то система (3) неустойчива, так как либо сам этот корень, либо противоположный ему по знаку корень Л = —а имеет положительную вещественную часть. Согласно теореме об устойчивости по первому приближению (п. 237), в этом случае неустойчива и полная нелинейная система уравнений возмущенного движения (1). [c.544]

В настоящее время для исследования устойчивости имеется ряд методов, в частности, два метода Ляпунова, в которых используется так называемая функция Ляпунова ), отыскиваемая применительно к исследуемой системе. Общих методов отыскания функций Ляпунова для нелинейных систем не существует. На этом самостоятельном вопросе останавливаться не будем. Обсудим лишь исследование устойчивости по первому приближению, используя при этом теоремы Ляпунова. [c.72]

Оптимизация параметров рессорного подвешивания. Далее возникает задача об определении таких значений параметров механической системы, при которых степень ее устойчивости будет наибольшей. В соответствии с теоремой Ляпунова об устойчивости по первому приближению, нужно, чтобы было выполнено условие = max ReX < 0. Величина в таком случае определяет запас устойчивости системы. Эта величина непрерывно зависит от параметров а , а ,. ... системы, которые рассматриваются как независимые переменные, а величина — как функция этих переменных [27]. [c.405]

Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению рассматриваемых систем [c.40]

Механические системы, как правило, обладают нелинейными свойствами. В прикладных расчетах, полагая отклонения от невозмущенного движения (равновесия) достаточно малыми, вкладом нелинейных факторов обычно пренебрегают, что сильно упрощает как аналитические выкладки, так и численные расчеты. Принцип суперпозиции, справедливый для линейных систем, позволяет анализировать раздельно влияние разных факторов и оценивать их результирующий эффект путем сложения частных решений. Этот путь кажется естественным и при анализе устойчивости, тем более что при этом анализе возмущения, как правило, малы по определению. Отбрасывание нелинейных членов (при условии их аналитичности в окрестности невозмущенного движения) представляется интуитивно оправданным. Однако строгай анализ показывает, что это можно делать далеко не всегда. Ответ на вопрос о том, при каких условиях допустимо линеаризировать уравнения возмущенного движения, дает теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. [c.459]

Сформулированные выше утверждения относились к случаю, когда линейное приближение приводит к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Это типично для задач об устойчивости состояний равновесия или стационарного движения. В общем случае матрица 6 уравнений первого приближения зависит от 7. При этом нельзя утверждать, что из асимптотической устойчивости решений уравнений первого приближения следует устойчивость решений нелинейной системы. Ляпунов выделил класс так называемых правильных систем, для которых справедлив аналог теоремы об устойчивости по первому приближению. Среди этих систем - системы с переменными коэффициентами, которые являются ограниченными периодическими функциями времени с одинаковым вещественным периодом. [c.460]

Линейные модели широко используют при расчетах и проектировании технических объектов. В условиях применимости теоремы об устойчивости по первому приближению анализ устойчивости линейной системы позволяет делать выводы об устойчивости соответствующей нелинейной системы. [c.462]

Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Пусть для системы [c.165]

Исходя из Теоремы 1, можно предложить следующий метод исследования устойчивости по первому приближению невырожденного периодического движения с ударами Линеаризуем систему (7) [c.246]

В качестве следствия из этой теоремы получается следующий критерий устойчивости по первому приближению. Если элементы матрицы II ij II таковы, что действительные части корней характеристического-уравнения = О отрицательны, то невозмущенное движе- [c.46]

Эти критерии означают, что если неустановившееся движение Xg = = О асимптотически устойчиво в линейном приближении и если при этом возмущенные двин ения Xg (t, о) линейного приближения удовлетворяют оценке (9.6), характерной для асимптотической устойчивости линейных систем с постоянными коэффициентами, то имеет место асимптотическая устойчивость в силу полной. системы уравнений (9.3) при условиях (9.5), где т — i. Н. Н. Красовский (1959) обобщил этот критерий на задачи устойчивости по первому приближению и в тех случаях, когда правые части уравнений первого приближения (9.4) представляют собой однородные формы от Xg произвольного порядка щ > 1 с переменными по t непрерывными и ограниченными коэффициентами. Именно, справедлива следующая теорема. Пусть решение а == О системы уравнений (9.4) удовлетворяет неравенству [c.48]

Из теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению следует, что необходимое условие устойчивости стационарных решений системы (4) состоит в неотрицательности всех коэффициентов характеристического уравнения [c.191]

Будем, пользоваться следующими теоремами Ляпунова об устойчивости по первому приближению [49], которые приводим здесь без доказательства. [c.25]

Таким образом, уравнение (3.6), рассматриваемое как квадратное относительно А. , имеет один положительный корень и один отрицательный. Следовательно, для каждой прямолинейной точки либрации (к = 1, 2, 3) характеристическое уравнение (3.6) имеет четыре корня вида а, ф, где аир— вещественные величины, отличные от нуля. Отсюда, согласно теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению, следует неустойчивость прямолинейных точек либрации круговой ограниченной задачи трех тел. [c.26]

Если же выполнено неравенство О <27 х (1 — р,) <1, то уравнение (3.8) имеет четыре различных чисто мнимых корня и ТОЧКИ либрации устойчивы в первом приближении. Полностью вопрос об устойчивости в этом случае не может быть решен рассмотрением линейной задачи. Согласно теореме Ляпунова об устойчивости ПО первому приближению строгое решение возможно лишь при учете нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения. [c.27]

Все дальнейшие построения (имеющие смысл лишь в случае устойчивой по первому приближению геодезической) удобно проводить, если решения Флоке выбраны специальным образом, именно так, как указано в следующей теореме. [c.241]

Теорема об устойчивости по первому приближению. Если все корни характеристического уравнения (4.13) системы первого приближения (4.10) имеют отрицательные вещественные части (в частности, они вещественны и отрицательны), то система, описываемая полными уравнениями (4.9), устойчива. [c.206]

Если воспользоваться известной теоремой А. М. Ляпунова [38] об устойчивости по первому приближению, то можно сделать вывод об устойчивости невозмущенного состояния нелинейной системы, если устойчивы состояния, описываемые линеаризованными уравнениями в вариациях. Такой вывод вполне законен и правомерен для малых окрестностей тех точек, которые характеризуются значениями параметра интенсивности внешней нагрузки [c.154]

См. теоремы Ляпунова, относящиеся к устойчивости по первому приближению. [c.473]

ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ. Заключения об устойчивости, сделанные на основании исследования линеаризованных уравнений возмущенного движения системы, не всегда остаются в силе для исходной (неупрощенной) системы. Устойчивость или неустойчивость последней определяется во многих случаях как раз отбрасываемыми при линеаризации нелинейными членами. Рассмотрим, например, задачу об устойчивости невозмущенного состояния системы [c.441]

С помощью второго метода Ляпунов получил необходимые и достаточные условия, при которых вопрос об устойчивости состояния равновесия исходной нелинейной системы (1.1) решается рассмотрением корней характеристического уравнения (1.35) линеаризованной системы (1.34). Именно, справедливы следующие теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. [c.39]

Полученное условие устойчивости справедливо не только для линейных, но и для линеаризованных уравнений независимо от членов выше первого порядка малости. В этих случаях говорят об устойчивости движения по первому приближению (теорема Ляпунова) . Однако в случае нулевых или чисто мнимых корней линеаризованного уравнения требуется дополнительное исследование устойчивости. [c.86]

Приведем несколько примеров систем, устойчивых по Ляпунову. В первом и во втором примерах мы найдем общее решение уравнений движения, а в третьем примере воспользуемся теоремой Ляпунова. [c.475]

Устойчивость движения при наличии гироско-п и веских си л. Система, неустойчивая сама по себе, может быть сделана устойчивой по первому приближению путем введения гироскопических сил только в том случае, если число неустойчивых степеней свободы четно. Эта теорема была доказана Кельвином. [c.657]

Сформулируем теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [16, 17, 21]. Они дают возможность решить задачу об устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы уравнений (2.8) рассмотрением лишь линейной системы уравнений первого приближения (2.9) независимо от выбора векторчрункции Р. [c.83]

Полностью вопрос об устойчивости в этом случае не может быть решен рассмотрением линейной задачи. Согласно теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению строюе решение возможно лишь при учете нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения. [c.84]

Согласно теоремам, изложенным в 1, для решения вопрюса об устойчивости по первому приближению необходамо исследовать знаки вещественных частей корней характеристического уравнения (2.11). Без ограничения общности можно считать, что коэффициент До > О- [c.99]

Дока.чанfri.ie две теоремы. Ляпунова об устойчивости по первому 1грибли кению решают задачу в двух случаях [c.104]

Первое условие устанавливает пределы для крутизны к характеристики устройства, создающего ускоряющий момент, второе условие определяет нижнюю границу кинетического момента Я. Так как при выполнении условий (6.78) все корни характеристического уравнения будут иметь отрицательные вещественные части, то на основании первой теоремы Ляпунова об устойчивости по первому ггриближению однорельсовый вагон асимптотически устойчив независимо от членов высшего порядка V и 0. [c.182]

Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Линейные уравнения тина (1) обычно получают путем линеаризации более полных и точных нелинейных уравнений. Ответ на вопрос, при каких условиях выводы об устойчивости равновесия линеаризованной системы могут быть отнесены к соответствующей не-лингннон системе, дае1 шорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. [c.95]

Теоремы об устойчивости по первому приближеиию для неавтономных систем [c.39]

В данном А. М. Ляпуновым определении устойчивости предполагается, что возмущающих сил нет в том смысле, что возмущенные движения происходят под действием тех же внешних сил, которые учитываются при определении невозмущенного движения. Задача об устойчивости при возмущающих силах не имеет смысла, если последние ничем не стеснены. Если возмущающие силы меняются от случая к случаю так мало, что их изменение не влияет на линейные члены в правых частях уравнений возмущенного движения, возникает практически важная задача об устойчивости по первому приближению, независимо от членов выше первого-порядка в функциях Xs- Эту задачу Ляпунов разрешил своими теоремами об устойчивости по первому приближению. Для случая, когда в уравнениях (9.2) Psr = onst и невозмущенное движение устойчиво по первому приближению, Н. Г. Четаев (1946) выяснил те свойства функций Х в уравнениях (9.1), при которых проходит доказательство теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Он показал, что если для произвольного числа > О, как бы мало оно ни было, функции Х могут быть стеснены неравенствами j < Я, где X обозначает число, построенное по способу Ляпунова в доказательстве его теоремы об устойчивости, то невозмущенное движение будет устойчивым независимо от численных значений Хд. [c.51]

В. Г. Штелика (1958), В. П. Рудакова (1962—1963). Во всех этих работах исследуются линейные системы вида (9.2) с непрерывными коэффициентами psr t) в правых частях допускается также наличие членов выше первого порядка малости. В предположении, что диаметр В t) области (12.4) достаточно мал, авторы дают различные независимые от членов высшего порядка теоремы об устойчивости по первому приближению. [c.65]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...