Меры фрактальной размерности

МЕРЫ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ [c.220]

Существуют два возражения против использования емкости в качестве меры фрактальной размерности странных аттракторов — одио теоретическое и одно вычислительное. Во-первых, емкостная размерность — геометрическая мера, т. е. она не учитывает частоту, с которой траектория посещает элемент покрытия (куб или шар). Во-вторых, подсчет гиперкубов, образующих покрытие множества в фазовом пространстве, требует очень больших затрат вычислительного времени. В этом разделе мы рассмотрим три альтернативных определения фрактальной размерности, которые вос,-полняют недостатки емкости. Следует отметить, однако, что для многих странных аттракторов эти различные размерности дают примерно одно и то же значение. [c.220]

В последнее время идеи фрактальной геометрии находят все большее применение при количественной оценке параметров реальных кристаллов, которые зачастую имеют очень сильные отклонения от правильной формы евклидовых многогранников [14]. В частности, это относится,к дендритам -своеобразным пористым кристаллам, обладающим свойством самоподобия (рис. 15). Удобной мерой, характеризующей отклонение степени заполнения дендритом пространства от таковой для идеального кристалла, является его фрактальная размерность [c.30]

Рис. 6.15. а - увеличение энергетической составляющей структур в поверхностном переходном 3->2 слое по мере уменьшения их фрактальной размерности от до d 2, [c.296]

Закон самоподобия (4.41) указывает на возможность использования набора единичных приращений усталостной трещины для расчета ее длины путем введения нелинейной меры в виде фрактальной характеристики рельефа излома. Вариация набора указанных законом самоподобия (4.41) реализуемых в процессе роста трещины величин приращений приводит к рассеиванию длительности ее роста при близких значениях длины в проекции на горизонтальную ось. Путь трещины в пространстве будет тем более извилистым, чем большее изменение приращений трещины в направлении ее роста происходит вдоль фронта трещины (рис. 5.6). Это свидетельствует о существовании обратной зависимости между величиной фрактальной размерности и осредненной на масштабном макроскопическом уровне скоростью роста усталостной трещины. [c.260]

Фрактальная размерность Dj устанавливает закон изменения определяемой длины трещины с извилистой траекторией по мере уменьшения масштаба измерения единичного приращения ее длины в виде шага усталостной бороздки. Согласно уравнению (5.81), реальное приращение трещины при ее извилистой траектории всегда больше, чем определяемое в эксперименте за рассматриваемый интервал времени. [c.261]

Монография посвящена новому научному направлению в материаловедении — управлению структурообразованием в расплавах и сплавах с использованием свойств открытых систем, находящихся вдали от термодинамического равновесия и связанных с самоорганизацией диссипативных структур. Теорией этого вопроса занимается синергетика. Другая особенность монографии — объединение подходов синергетики с теорией фрактальных ст )уктур, количественной мерой которых является фрактальная размерность. [c.3]

Метод преобразования подобия. Этот метод позволяет проводить фрактальный анализ по микрофотографиям полос скольжения [86, 87], границ зерен [88], изображений поверхности разрушения [89] и т.п. Известно, что структура линий и полос скольжения традиционно характеризуется расстоянием между линиями скольжения и высотой ступенек скольжения (рис. 41). Представления о фракталах позволяют ввести количественную меру для описания пластической деформации - фрактальную размерность структуры линий скольжения. [c.59]

Рассмотренные выше методы определения фрактальной размерности различных объектов достаточно сложны, так как требуют специальной аппаратуры и сложных расчетов. В значительной мере это связано с тем, что эти методы не опираются на свойства синергетических систем, связанных с самоорганизацией в точках бифуркаций диссипативных структур, обладающих фрактальностью. Их учет позволяет обосновать наличие связи между свойствами системы (например, в виде деформируемого материала) и фрактальной размерностью структур, определяющих переходы устойчивость—неустойчивость—устойчивость. Эта возможность определяется наличием взаимосвязи между параметрами, контролирующими критические точки (в данном случае бифуркаций). [c.74]

На рис. 7.24 видно, что в центре листа, там, где структура наиболее плотно упакована, фрактальная размерность порового пространства минимальна. По мере перехода к приповерхностным слоям структура порового пространства усложняется и его размерность растет. Далее, при выходе на поверхность поровое пространство становится открытым и близким к плотно упакованному. Соответственно его фрактальная размерность приближается к значению, равному 3. [c.276]

Показатели Ляпунова играют важную роль в теории гамильтоновых и диссипативных динамических систем. Они дают вычислимую-количественную меру степени стохастичности. Помимо этого, существует тесная связь между показателями Ляпунова и другими характеристиками случайности, такими, как энтропия Колмогорова (п. 5.2в) или фрактальная размерность (п. 7.1в). [c.294]

Понятие фрактальной размерности связано с обсуждением отображения подкова , приведенным в гл. 1. Мы видели, что в системах с хаотической динамикой области фазового пространства вытягиваются, сжимаются, складываются и отображаются обратно на исходную область. При этом отображении в фазовом пространстве остаются лакуны. Это значит, что орбиты стремятся заполнить менее чем целое подпространство фазового пространства. Фрактальная размерность — мера степени заполнения орбитой определенного подпространства, и нецелая размерность — визитная карточка странного аттрактора. Имеется много определений фрактальной размерности, но основное следует из процедуры подсчета числа сфер N размера е, необходимых для покрытия орбиты в фазовом пространстве. Функция N (в) существенным образом зависит от подпространства данной орбиты. Если эта орбита перио- [c.72]

Фрактал Геометрическое свойство множества точек в -мер-ном пространстве, обладающего самоподобием при различных масштабах и нецелой фрактальной размерностью, меньшей чем п. [c.275]

Как уже отмечалось, синергетика оперирует с диссипативными структурами, образующимися в неравновесных условиях в результате обмена энергией (или веществом) с окружающей средой при подводе внешней энергии к материалу. Их спонтанное образование предопределяет нарушение симметрии. Количественной мерой структуры с нарушенной симметрией является фрактальная размерность. Хотя теория фрактальной размерности была развита в математике еще в 20-е годы, однако в физику эти представления вопши недавно. [c.4]

Фракталами называют самоподобные объекты, инвариантные относительно локальных дилатаций, т.е. объекты, которые при наблюдении при различных увеличениях повторяют один и тот же (самоподобный) рисунок. Фракталы обладают также свойством универсальности. Слово "универсальный" означает "всеобъемлющий", а самоподобный означает подобный сам себе (подобно матрешкам, вложенным друг в друга). Понятия универсальность и самоподобие с развитием синергетики и теории фрактальных структур получили новую жизнь, так как принципы синергетики и фрактальной геометрии объединяют все науки. Универсальность фракталов заключается в том, что они инвариантны к природе объекта - физической, химической, биологической или какой-либо другой. Свойство универсальности фрактальных структуф позволяет использовать фрактальную размерность как единую количественную меру разупорядоченности структуры различной природы. В материаловедении традиционно используется евклидова размерность d, позволяющая описывать точечные дефекты размерностью d=0, отрезки прямых линий - d=l, плоских элементов - d=2, объемных - d=3. Однако, природа изобилует объектами с дробной размерностью, т.е. не отвечающей ни одной из указанных значений. Их структура может быть количественно оценена фрактальной размерностью, которая в силу того, что объект разрежен, всегда больше топологической размерности. [c.77]

Рисунок 2.16- Зависимость фрактальной размерности f(a) от показателя Липшеца-Гельдера а Другой важной характеристикой мультифрактальных мер является последовательность показателей массы. Рассмотрим множество Y, состоящее из N точек, имеющее в i-й ячейке N точек. Эти точки можно рассматривать как выборку, отражающую распределение меры на множестве. Восхюльзуемся

Порядком момента q может быть любое число в диапозоне от -со до +оо, и функция есть спектр фрактальных размерностей для фрактальной меры на множестве Y. Если мы выберем значение q=0 для порядка момента q, то получим Следовательно, N(q=0, 5)=N(5) есть просто число клеток, необходимое для того, чтобы покрыть множество, и величина D,, ( =D равна фрактальной размерности множества. В пределе при q o получаем, что D = a ,in, в то время как D. =a ,,. [c.116]

Как видим, методы определения и расчета значений поверхностной энергии, имеющиеся в классической теории поверхностных явлений, весьма неопределенны и сопряжены со значительными трудностями Классический подход к иззщению поверхностей раздела и поверхностных явлений базируется на трактовке поверхностной энергии как меры недостатка энергии сцепления на моиомолекулярной поверхности, тогда как более реальным будет предположить, что существует некоторая переходная зона толщиной Д, в которой осуществляется специфическое фрактальное структурирование вещества материала при переходе из трех измерений в объеме в два измерения на поверхности. При этом по мере уменьщения значений фрактальной размерности структур вещества, заполняющего переходный слой, будет высвобождаться некоторое количество энергии. Интегральное значение энергии, содержащееся по толщине А поверхностного переходного слоя, является тем самым феноменом, носящим название поверхностной энергии. Таким образом объясняются повышенные значения поверхностной энергии, определяемые из эксперимента, по сравнению с вычисляемыми по правилу Стефана. Способностью активно поглощать и тем самым "запасать" энергию обладают именно фрактальные структуры, о чем уже говорилось в первой главе. [c.115]

Рнс 74. а - увеличение энергетической составляющей структур в поверхностном переходном 3-э2 слое по мере уменьшения их фрактальной размерности oтiг i до й= 2 б -аналогия с генератором фрактала триадной кривой Кох [c.116]

Фрактальная размерность (размерность Хаусдорфа-Безиковича) - D - для множества точек 3 в пространстве - это критическая размерность, при которой мера величины этого множества Md изменяет свое значение с нуля на бесконечность [c.155]

Если выделять узкие фракции углеводородных соединений, составляющих пек, можно получить определенное количество независимьпс фрактальных подмножеств со своей фрактальной размерностью. Их совокупность даст множество, называемое мультифрактальным, которое не может быть исчерпывающим образом описано при помощи единственного параметра типа фрактальной размерности. Для его описания использукггся так называемые мультифракггальные меры, которые иногда могут содержать бесконечное число элементов описания, если число входящих в него подсистем бесконечно. Выделенная из мультифрактального множества фрактальная подсистема парамагнитных асфальтеновых молекул является своего рода каркасом для остальных подмножеств и для всего множества в целом. [c.167]

При уменьшении фазового объёма траектории могут стремиться к нск-рой гговерхности в исходном фазовом пространстве, имеющей размерность D = n — k, к—целое, к п. Ъ частном случае к = п это отвечает приближению к нек-рому стационарному состоянию — особой точке в Ф. п. В то же время известно, что и при f - 0 может существовать предельное множество (аттрактор), мера к-рого имеет размерность d> 1 (как правило, дробную, т. и. фрактальную размерность). Такая ситуация реализуется, напр., когда Ф. п. содержит странный аттрактор. Объект с такими свойствами всегда содержится в системе Лоренца (15) при f=10, й = 8/3, /->24,74. [c.268]

Странный аттрактор, занимая область фазового пространства нулевой меры, не может тем не менее целиком лежать в плоскости (поскольку фазовые траектории не пересекаются). Кроме того, он должен иметь размерность d>l. С геом. точки зрения он представляет собой, как правило, фрактальное множество, характеризуемое фрактальной размерностью (размерностью Хаусдорфа) d , являющейся дробным числом, превышающей размерность топологическую dj (см. Фракталы). [c.401]

Знание количественных показателей структуры на различных масштабных уровнях, какими являются их фрактальные размерности, открывает перспективы эффективного управления структурой и свойствами аморфных сплавов путем создания заданной степени неравновесности системы. По мере усиления фактора неравновесности происходит уменьшение отношения LJLq (Lq определяется природой межатомных взаимодействий и поэтому не зависит от Т). Равенство [c.285]

Справедливость предположения о балансе напряжений в брикете подтверждает рис. 3.40. В условиях разгрузки, когда в брикете усиливаются флуктуации напряжения, во многом обусловленные его структурной неоднородностью, у более разреженных структур, имеющих размерность /) 2,6 —2,8, значительно больше возможностей для внутреннего перераспределения напр5гжений. Поэтому, хотя прессовка в целом обладает уже заметной упругостью (см. рис. 3.12, при П 0,3), за счет внутреннего перераспределения напряжений и деформаций упругое последействие имеет очень низкие значения (0,01—0,1%). По мере наполнения структуры и приближения фрактальной размерности к предельному значению 0 = 3 компенсационные возможности структуры уменьшаются и упругое последействие резко возрастает. [c.125]

Таким образом, спектр стабильных макромолекул белков, обладающий самоподобием, представляет собой как и фул-лерены, мультифрактальное множество, содержащее подмножества, фрактальные размерности которых связаны между собой степенной зависимостью (функцией самоподобия F). Это позволяет сформировать базу на основе алгоритма самоуправляемого синтеза новый подход к физическому моделированию структуры биомолекул с учетом установленных закономерностей самоорганизации структур фуллеренов [35]. При моделировании важным является учет рассмотренного в главах 1-2 инвариантность диссипативного состояния различных систем, т.к. оно характеризуется множеством самоподобных состояний, взаимосвязанных функцией (F) самоподобной связи и меры устойчивости симметрии системы (А ) с кодом обратной связи (ш) в виде F = [c.121]

Другим применением фрактальной размерности является оценка наименьшей размерности фазового пространства, в котором можно описать данное движение. Например, для некоторых предтурбу-лентных конвективных течений в ячейке Рэлея — Бенара (см. рис. 3.1) фрактальную размерность хаотического аттрактора можно найти как некую меру движения (дс (/ ) х ] (см. [123]). Из последовательности [х ] можно составить псевдофазовые пространства разных размерностей (см. разд. 4.4). Численные расчеты показывают, что фрактальная размерностью/ приближается к асимптотическому значению <1 - 3,5, если размерность псевдофазового пространства равна по меньшей мере четырем. Это указывает на то, что приближения низкого порядка в уравнении Навье — Стокса нельзя использовать для моделирования такого движения. [c.156]

Для описания непериодических движений, напоминающих по сложности случайные (а именно таким движениям посвящена наша книга), мы использовали термины хаотический и странный аттрактор. Называя аттрактор хаотическим, мы подчерюшаем потерю информации или предсказуемости. Называя аттрактор стран ным, мы прежде всего стремимся подчеркнуть необычность геометрической структуры, по которой движется траектория в фазе вом пространстве. В гл. 5, используя показатели Ляпунова, мы описали количественную меру хаотичности, или потери информации. В этой главе мы опишем количественную меру странности аттрактора. Эта мера называется фрактальной размерностью. Но прежде чем мы займемся фрактальной размерностью, нам необходимо ввести понятие фрактала в таком виде, чтобы его было удобно использовать для наших целей. [c.212]

Существенной интегральной типологической характеристикой текстов, как кажется, может оказаться фрактальная размерность их GR-представления [23 ]. Для определения фрактальной размерности мы использовали алгоритм подсчета клеток (см., напр. [17]). При этом для простоты мы использовали GR-представление на одномерном, а не двумерном носителе (т. е. на отрезке, а не на квадрате). В нашем примере с тремя текстами ситуация следующая глобальные фрактальные размерности GR-представления Текста 1 и Текста 2 близки (01= 0.71 и D2 = 0.73 соответственно) и сильно отличаются от глобальной фрактальной размерности Текста 3 (D3 = 0.87). Заметим, что фрактальная размерность GR-представления случайного текста (т. е. последовательности символов, в которой каждый последующий символ выбирается с одинаковой вероятностью и независимо от предьщущих) равна 1. С другой стороны, фрактальная размерность GR-представления текстов, состоящих из последовательности повторений какого-либо одного символа, например, ааааа.... равна 0. Поэтому, видимо, фрактальная размерность D текстов естественных языков, варьирующая в диапазоне 0определенной мерой сложности структуры сопоставляемых текстов (и, возможно, мерой сложности их смысла). В данном случае структура текста рассматривается на уровне буквенных последовательностей, которая, в свою очередь, в силу фрактальных отношений в текстах естественного языка, является производной от структуры словесных последовательностей, и, в конечном счете, от относительного богатства лексического состава текстов и сложности его содержания. Тем самым, как видно, обнаруживается возможность интегральной оценки семиотического объекта по его характеристикам, получаемым на основе анализа простейших единиц его структуры (в данном случае — буквенной). [c.262]

С точки зрения фрактальной модели, понятие критического зародыша получает иную интерпретацию. Поскольку во фрактальных струетурах наблюдается степенное снижение плотности вещестаа в направлении от центра к периферии, пространственная размерность догакна постепенно изменяться от 3 в центре до приблизительно 2 на периферии. Таким образом, для фрактального кластера малого размера, какими являются рассматриваемые зародыши, понятие поверхности как линии раздела фаз фактически теряет смысл. Для роста зародыша нет необходимости преодолевать энергетический барьер образования новой поверхности. При достижении зародышем Kpirra-ческого р мера реализуется состояние идеального пористого объекта, и скорость его роста значительно увеличивается [80]. [c.166]

Этот вывод отражает одно из важнейших свойств синергетических систем - проявлять последовательность бифуркаций при переходе от регулярных структур к пространственному хаосу . В процессе такого перехода происходит самоорганизация диссипативных структур с квазикристал-лической симметрией с осями 5-, 7-, 10-, 11-го и даже более высокого порядка. Существует фундаментальная вязь м Лду размерностью подобия фрактальных структур и золотым отношением, контролирующим меру устойчивости симметрии системы [17]. Далее будет показано, что процесс самоорганизации аморфных фаз и их эволюция во времени и пространстве контролируется мерой адаптивности системы к переохлаждению, связанной с мерой устойчивости симметрии системы и кодом обратной связи. Она обеспечивает в процессе эволюции системы сохранение в твердой аморфной фазе топологии расположения атомов расплава. [c.138]

Канторово множество фрактально, т.е. его хаусдорфова размерность (11гпя/С превышает обычную топологическую размерность (у него равную нулю). При этом ЛтнА определяется через хаусдорфову а-меру множества [c.129]

Использование методов традиционной статистической физики для описания стохастизации световых пучков под влиянием случайных неоднородностей или в результате проявления нелинейного лучевого резонанса не всегда приводит к исчерпывающим результатам. Это во многом связано с тем, что статистические методы не учитывают свойства масштабной инвариантности (скейтлинга), которыми при определенных условиях могут обладать амплитудно-фазовые распределения или лучевые структуры световых пучков. Указанный пробел восполняет применение фрактальных моделей. В математике фрактал представляет собой множество точек в метрическом пространстве, для которого невозможно определить какую-либо из традиционных мер с целой размерностью -длину, площадь или объем (их размерности - соответственно первая степень, квадрат и куб длины). Измерение, например, длины фрактальной кривой может дать бесконечный результат, а заметаемой ею площади -нулевой. Задача измерения таких множеств решается введением мер Хаусдорфа с любой (в том числе нецелой) размерностью. Наибольшая размерность меры Хаусдорфа называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича (РХБ) этого множества. Используя эти представления фрактал можно определить, как масштабно-инвариантный, т.е. самоподобный объект, РХБ которого превышает топологическую размерность (1 - для линии, 2 - для поверхности и т.д.). [c.120]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...