Уравнение Шредингера для электронов в периодическом потенциале

Здесь уже отсутствует периодический потенциал, а появившаяся эффективная масса электрона может быть определена экспериментально. Данный метод решения уравнения Шредингера получил название метода эффективной массы. [c.237]

Теорема Блоха. Кристаллическая решетка самим фактом своего существования свидетельствует о наличии в кристалле периодического электрического поля. Очевидно, что потенциал поля обладает той же пространственной периодичностью, что и сама решетка. Уравнение Шредингера для электрона в кристалле имеет вид [c.335]

Приближение почти свободных электронов. Предположим, что в уравнении Шредингера, определяющем одноэлектронные состояния, периодический потенциал W имеет малую амплитуду, тогда его можно учесть методами теории возмущений. В нулевом [c.134]

Эти результаты мы используем в 19 для описания зонной структуры электронного газа в слабом периодическом потенциале. После того, как мы получили представление о значении зонной модели, мы в 20 изучим общие свойства функции Е к). Мы увидим, что решения уравнения Шредингера для электрона в периодическом потенциале описывают квазичастицы [электроны в кристалле, или блоховские электроны). Влияние периодического потенциала включено в свойства этих квазичастиц. Для динамики электронов в кристалле, т. е. для их движения под действием внешних сил, это означает следующее вместо того, чтобы рассматривать движение отдельных электронов под действием комбинации внешних полей, кристаллического потенциала и кулоновского взаимодействия, вводится понятие электрона кристалла. Последний испытывает влияние только со стороны внешних сил, реагируя как квазичастица с эффективной массой /п ( ) и связью между энергией и импульсом, заданной зонной структурой. Во всех остальных отношениях, однако, квазичастица реагирует на эти силы как свободный электрон. Это мы обсудим (наряду с другими вопросами) в 21. [c.71]

Мы получили новое уравнение Шредингера, которое отличается от (21.10) тем, что в него уже не входит в явном виде периодический потенциал V (г). Для этого введен новый эквивалентный оператор Гамильтона вместо оператора кинетической энергии для свободных электронов. Это уравнение точно указывает на свойства квазичастицы —электрона в кристалле. Периодический потенциал включен в свойства электрона. Волновой пакет электрона ведет себя в электрическом поле как свободная частица с зарядом —е и с дисперсионным соотношением Е (к) между энергией и волновым вектором. Соотношение Е к) заменило теперь выражение Е=й к /2т для свободных электронов, а вторая производная функции Е к) (см. (20.11)) заменила обратную массу свободного электрона. [c.94]

Фактически в приближении независимых электронов не полностью пренебрегают электрон-электронными взаимодействиями. Скорее предполагают, что большинство наиболее важных эффектов можно учесть путем разумного выбора периодического потенциала V (г), входящего в одноэлектронное уравнение Шредингера. Таким образом, V (г) содержит не только периодический потенциал ионов, но также и периодические эффекты, обусловленные взаимодействием данного электрона [волновая функция которого входит в (11.1)] со всеми другими электронами. Последнее взаимодействие зависит от взаимного расположения других электронов, т. е. зависит от их индивидуальных волновых функций, которые также определяются уравнениями Шредингера [c.195]

Чтобы продемонстрировать влияние поверхности на энергию, которая требуется для удаления электрона, сравним периодический потенциал бесконечного кристалла / " (г) с потенциалом (г), фигурирующим в одноэлектронном уравнении Шредингера для конечного образца того же материала. Для простоты будем рассматривать только кристаллы кубической системы, обладающие симметрией относительно инверсии. В бесконечном (или периодически повторенном) кристалле потенциал образуется как сумма вкладов от всех элементарных ячеек Вигнера — Зейтца с центрами в точках решетки [c.354]

Рассмотрим теперь задачу о движении электрона в поле одномерного случайного потенциала. Имея в виду беспорядок замещения, мы можем построить модель сплава Кронига — Пенни (рис. 8.1, а). Узлам решетки в этой модели приписываются дельтообразные потенциалы с различными силами б . Можно ввести и модель жидкости Кронига — Пенни (рис. 8.1, б), в которой случайной переменной служит расстояние между соседними дельта-функциями. В обоих случаях обычная теория модели Кронига — Пенни для периодической цепочки подсказывает нам, что решение уравнения Шредингера при энергии % = у строится из волновых функций свободного электрона с волновыми числами х. Пусть координата х принадлежит -му открытому промежутку (О д 1г). Тогда указанную функцию можно записать в виде [c.342]

Современная теория электронного строения твердого тела основана на более строгом решении уравнения Шредингера с учетом периодического потенциала, обусловленного атомами решетки. Такое решение, найденное Блохом (которое приводится здесь в простейшей форме для одномерной модели) имеет вид [c.36]

Таким образом функция Ф (г), которая называется огибающей функцией удовлетворяет уравнению Шредингера с эффективной массой в координатном пространстве, причем это уравнение не содержит периодического потенциала. Учет периодического потенциала свелся к появлению эффективной массы электрона вместо массы свободного электрона. Полная волновая функция, согласно (4.6) вычисляется как произведение огибаюгцей функции на блоховскую функцию, относягцуюся к экстремуму зоны. [c.22]

Независимые электроны, каждый из которых подчиняется одноэлектронному уравнению Шредингера с периодическим потенциалом, называют блохов-скими (в отличие от свободных , к которым блоховскпе электроны сводятся, если периодический потенциал тождественно равен нулю). Из периодичности потенциала 17 вытекает одно очен1> важное свойство стационарных состояний блоховскнх электронов. [c.140]

В применяемом здесь обычном приближении электроны считаются независимыми частицами, подчиняюш 1шися статистике Ферми— Дирака. В приближении нулевого порядка твердое тело рассматривается как ящик или сосуд, внутри которого электроны движутся, как газ это так называемая модель Зоммерфельда. Более реалистично влияние кристаллической решетки учитывается в приближении первого порядка, где периодический потенциал решетки рассматривается как возмущение состояния почти свободных электронов. Можно исходить из противоположного допущения, а именно считать, что электроны достаточно жестко связаны с атомными ядрами в твердом теле, но способны двигаться через решетку благодаря некоторому перекрытию орбиталей, принадлежащих близко расположенным атомам. Как то, так и другое рассмотрение приводят к одним и тем же результатам в кристалле существуют области близко расположенных уровней энергии (энергетические зоны), разделенные запрещенными зонами (энергетическими щелями). Эти зоны соответствуют областям, для которых волновое уравнение Шредингера имеет или не имеет решения. Линия раздела между разрешенными и запрещенными уровнями носит название границы зоны. Волновые функции "ф всегда могут быть представлены как волновые функции свободных электронов, модулированные функцией, имеющей периодичность решетки. [c.457]

Как и в случае свободных электронов, при рассмотрении проводимости, обусловленной блоховскими электронами ), возникают два вопроса а) Какова природа столкновений б) Как движутся блоховские электроны в промежутках между столкновениями Полуклассическая модель касается лишь второго вопроса, но теория Блоха критическим образом затрагивает и первый из них. Друде предполагал, что электроны сталкиваются с неподвижными тяжелыми ионами. Это нрэдположвпие несовместимо с очень большими длинами свободного пробега, возможными в металлах, и не позволяет объяснить наблюдаемую их зависимость от темперятуры (см. стр. 23). Теория Блоха исключает такое допущение и из теоретических соображений. Блоховские уровни — это стационарные решения уравнеиия Шредингера в присутствии полного периодического потенциала ионов. Когда электрон на уровне имеет отличную от нуля среднюю скорость (а это всегда так, если величина 5ё (к)/ 9к случайно не равна нулю), эта скорость сохраняется неограниченно долго ). Мы не можем рассматривать столкновения с неподвижными ионами как механизм, обусловливающий уменьшение скорости, поскольку взаимодействие электрона с фиксированной периодической решеткой ионов полностью учтено в исходном уравнении Шредингера, решением которого является блоховская волновая функция. Поэтому проводимость идеально периодического кристалла равна бесконечности. [c.218]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...