Стохастическое движение и диффузия

СТОХАСТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ И ДИФФУЗИЯ [c.290]

Стохастическое движение и диффузия 291 [c.291]

Существует значительное различие между стохастичностью в системах с двумя и большим числом степеней свободы. Используя топологические соображения, Арнольд [12] показал ), что для систем с более чем двумя степенями свободы стохастические слои связаны между собой и образуют в фазовом пространстве плотную паутину . Для начальных условий на этой паутине стохастическое движение идет вдоль слоев, приводя к глобальной диффузии, не ограниченной инвариантными поверхностями. Этот механизм принято называть диффузией Арнольда. Она может быть быстрой или медленной в зависимости от толщины стохастических слоев. Такая диффузия существует (в принципе) для сколь угодно малых возмущений интегрируемых систем. Еще один интересный эффект в многомерных системах связан с медленной модуляцией одного из периодических движений ). В этом случае стохастическое движение вдоль паутины может значительно усиливаться за счет так называемой модуляционной диффузии. Этот механизм противоречит интуитивному представлению о том, что медленная модуляция должна приводить к адиабатическому поведению ). В многомерных системах резонансы могут значительно влиять на диффузию также [c.18]

Перечислим некоторые основные вопросы, возникающие при исследовании стохастичности в динамических системах. Каким образом можно однозначно определить, что изолирующие интегралы движения отсутствуют Какие величины необходимы для описания стохастического движения Насколько численное моделирование соответствует поведению реальной системы При каких условиях можно ограничиться изучением диффузии только в пространстве действий Какое влияние на диффузию оказывает внешний шум И наконец, как изменяются все эти свойства при увеличении числа степеней свободы [c.290]

Диффузия в тонком слое. В этом случае начальные условия на плоскости (а, х) мы выбираем, как и в толстом слое, вблизи центра резонанса, а в плоскости (Р, у) — в тонком стохастическом слое резонанса. Как и в толстом слое, диффузия в плоскости (а, х) обусловлена слабой связью со стохастическим движением в плоскости (Р, у). Однако скорость диффузии оказывается значительно меньше. [c.357]

Необходимо сделать еще одно замечание относительно связи фрактальной геометрии и фрактальной физики со случайными процессами и их исследованием методами математической статистики. Дело в том, что свойства той или иной фрактальной структуры целиком определяются процессами её породившими. Если не рассматривать регулярные фракталы, представимые как предел последовательности некоторых рекурсивных преобразований в математических примерах конструирования подобных объектов, то в остальных случаях наиболее важными являются стохастические фрактальные системы, порождаемые в ходе некоторого случайного процесса. Например, широко используемом для порождения и анализа свойств фрактальных объектов в численных экспериментах является метод ограниченной диффузией агрегации (ОДА) [43], при котором процесс образования фрактального агрегата описывается как последовательное налипание частиц диффундирующих издалека к области, где растет агрегат таких частиц, к какой-либо точке (частице), уже сформированного на предыдущих шагах агрегата. Другие примеры связаны с анализом задач о случайном блуждании (обобщения статистических моделей диффузии, броуновского движения и т.п.). Статистические свойства характеризующих эти случайные процессы случайных величин и порождаемых ими в физическом или фазовом пространстве траекторий оказываются в общем случае описываемыми устойчивыми по Леви распределениями [44], представляющими собой обобщение классических нормальных (гауссовых распределений). [c.149]

Так же как и в системах с двумя степенями свободы, перекрытие резонансов приводит к образованию стохастического слоя конечной ширины и вызывает движение поперек слоя. Новой особенностью диффузии Арнольда является движение вдоль стохастического слоя, которое возникает при взаимодействии по крайней [c.72]

Сепаратрисное отображение играет чрезвычайно важную роль в понимании хаотического поведения систем, близких к интегрируемым. Как мы видели выше, резонансы в таких системах всегда окружены сепаратрисами, а сепаратрисное отображение описывает движение в их окрестности, причем это движение является хаотическим при ш 0. Ввиду такой универсальности сепаратрисное отображение интенсивно изучалось [70] с целью определения границы стохастичности которая характеризует ширину стохастического слоя вокруг сепаратрисы, а также для выяснения статистических свойств хаотического движения внутри этого слоя. Результаты этих исследований представлены в гл. 4 и 5. Далее в гл. 6 будет показано, что движение в окрестности сепаратрисы лежит в основе анализа диффузии Арнольда, которая, вообще говоря, всегда имеет место в системах с тремя и более степенями свободы. [c.243]

Типичный пример диффузии Арнольда в присутствии связи показан на рис. 6.6. Четырехмерная поверхность сечения (а,, г, Р, у) представлена здесь двумя проекциями (а, х) и ([ , у), которые для удобства совмещены на рисунке. Начальные условия выбраны внутри резонанса по х и в пределах тонкого стохастического слоя по у. Численное моделирование показывает, что движение по у остается внутри стохастического слоя, пока колебания по. V не достигнут своей сепаратрисы. Последовательные стадии диф фузии по X под действием стохастических колебаний по у показаны на рис. 6.6, б—г. Это и есть диффузия Арнольда, поскольку на поверхности сечения она идет вдоль стохастического слоя резонанса по у. При дальнейшем движении диффузия охватывает большую часть [c.350]

Основная трудность при использовании этого метода состоит в выяснении, какие именно резонансы определяют диффузию вдоль и какие — поперек стохастического слоя. В случае трех резонансов ведущим можно считать любой из них, что просто определяет область начальных условий движения. Наиболее сильный из оставшихся задает диффузию поперек слоя, а более слабый вызывает диффузию Арнольда ). [c.353]

Диффузия в толстом слое. Выберем начальные значения 3 и внутри толстого стохастического слоя, а а и х вблизи центра целого резонанса. При отсутствии связи между степенями свободы ( г = 0) движение в плоскости (а, х) происходит по инвариантной кривой (рис. 6.5). При включении связи происходит медленная диффузия по а и X. [c.354]

In os а aV2 при < 1, б, 1 при = 4а/гй 1, а ф считается явной функцией п. Последнее допущение наиболее серьезно, поскольку при этом пренебрегается влиянием связи на движение по у. В результате мы получили два неавтономных гамильтониана с одной степенью свободы каждый ). Теперь можно решить уравнение движения независимой подсистемы (6.2.6а) и найти стохастическую накачку ф (п). Подставив ее в (6.2.66), найдем движение в плоскости (а, 0), которое и дает диффузию Арнольда. [c.354]

Кажущаяся стохастичность движения в подобных сложных системах дает основание говорить о принципиально новом подходе к статистической. механике и поэтому привлекает, к себе все более широкий круг исследователей в этой области. Сложность движения вблизи неустойчивых периодических решений и тот факт, что эти неустойчивые траектории образуют в фазовом пространстве всюду плотное множество, служат серьезным доводом в пользу такой точки зрения. В последнее время значительные усилия были направлены на выяснение связи стохастического движения с по-казателялш Ляпунова, которые определяют скорость экспоненциальной расходимости близких траекторий. Это важно также и с практической точки зрения для вычисления усредненной по фазам скорости диффузии по переменным действия. В прошлом такие вычисления проводились в предположении о случайности фаз. Ясно, что это предположение несправедливо при наличии инвариантных кривых, ограничивающих область изменения фаз. Даже в случае полной эргодичности, когда движение охватывает всю энергетическую поверхность, необходимо еще определить масштаб времени, на котором фазы становятся случайными. Проведенные численные и аналитические исследования позволили глубже понять проблему убывания фазовых корреляций вблизи инвариантных поверхностей. Эти вопросы будут рассмотрены в гл. 5. [c.18]

Обратимся теперь к качественному описанию типичного случая таких гамильтоновых систем, которые можно рассматривать как возмущения интегрируемых систем. Мы будем называть такие системы близкими к интегрируемым. Рассмотрим сначала простой случай автономного гамильтониана с двумя степенями свободы, или, что эквивалентно, неавтономного (зависящего от времени) гамильтониана с одной степенью свободы. Как мы видели в п. 1.26, неавтономные системы можно свести к автономным путем увеличения числа степеней свободы на единицу. Отличительной чертой систем, близких к интегрируемым, является присутствие причудливо перемешанных друг с другом областей как регулярного, так и стохастического движения. При этом стохастические области отделены друг от друга областями с регулярными траекториями. Стохастические траектории естественно возникают в результате движения, задаваемого детерминированными уравнениями Гамильтона, которые не содержат никаких специальных стохастических сил. Мы проиллюстрируем это на двух примерах, широко обсуждавшихся в литературе модель Хенона—Хейлеса и ускорение Ферми. Для автономных систем с более чем двумя степенями свободы области стохастичности уже не разделяются регулярными траекториями, а образуют стохастическую паутину , что приводит к так называемой диффузии Арнольда, которая качественно описана в конце этого параграфа. [c.59]

В 3,3 мы рассмотрим линеаризованное движение и его устойчивость в окрестности неподвижных точек. Для иллюстрации применения этих методов к системам с дву.мя степенями свободы в 3,4 рассматривается модель ускорения Ферлш, описываемая с помощью отображения. Неподвижные точки (периодические решения) и их устойчивость исследуются аналитически и сравниваются с численными результатами. Получена также гамильтонова форма отображения. Наконец, в 3,5 рассматривается задача о движении маятника под действием периодического возмущения в окрестности сепаратрисы, Производится переход от уравнений Гамильтона к отображению и рассмотрен характер линеаризованного движения. Такой подход был использован Чириковым [70] при анализе перехода от регулярного к стохастическому движению. Этот метод будет изложен в гл. 4. Он применяется также при оценке скорости диффузии Арнольда в гл, 6. [c.176]

Приняв лагранжев спектр турбулентности, Чен рассмотрел стационарный ) случай, когда начальный момент временя о равен — схз. В. лагранжевой системе координат прослеживается путь частицы и отмечаются статистически осредненные характеристики потока II твердой частицы. Первоначальная методика Чена была модифицирована Хинце в отношении определения интенсивностей и коэффициентов диффузии. Эти теоретические методы, а также методы Лью [497], Со/ [721 [, Фрпдлендера [232] II Ксенеди [134] были обобщены Чао [104] путем рассмотрения приведенного выше. лагранжева уравнения движения как стохастического, к которо.му внача.ле при.меняется преобразование Фурье. Излагаемый ниже метод принадлежит Чао. [c.50]

Если начальное состояние луча таково, что его действие I лежит в области Щ4.21), то это значит, что его движение в пространстве вдоль г носит диффузионный характер. Диффузия луча приводит к тому, что он достигает области вблизи невозмущенной сепаратрисы и высвечивается из волноводной области. Таким образом, действие неоднородности как возмущения приводит к уменьшению эффективной ширины волноводного канала. В область стохастического слоя попадают моды колебаний поля с боль-птими номерами. Поэтому излучение поля из стохастического слоя означает также процесс фильтрации высоких мод в волноводном канале [c.263]

Все вышеописанные эффекты для автономных систем с двумя степенями свободы имеют место и для систем с более чем двумя степенями свободы. В типичном случае стохастические и регулярные траектории тесно сосуществуют в 2/V-MepHOM фазовом пространстве и на 2N—2)-мерной поверхности сечения, а стохастические слои расположены вблизи резонансов. Толщина слоев растет с увеличением возмущения, что приводит в конце концов к перекрытию первичных резонансов, движению поперек слоев и сильной стохастичности. Однако при достаточно малом возмущении первичные резонансы не перекрываются. В этом случае возникает новое физическое явление — движение вдоль слоев, или так называемая диффузия Арнольда. [c.71]

Диффузия вдоль стохастических слоев может быть связана не только с внутренней динамикой системы, но и с внешним шумом, эффект которого значительно усиливается на резонансах ( 6.3). Подобная диффузия рассматривалась Чириковым [71 ] и Теннисоном [405]. Важным примером диффузии в многомерной системе в присутствии шума является движение частиц в тороидальных магнитных полях. Мы рассмотрим эту задачу в 6.4 и проведем сравнение теоретических выводов с результатами численного моделирования. [c.342]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...