Некоторые свойства эллипсоидов

Некоторые свойства эллипсоидов 107 [c.2]

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЛИПСОИДОВ Ю7 [c.107]

Некоторые свойства эллипсоидов [c.107]

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЛИПСОИДОВ [c.109]

Некоторые свойства движения твердого тела с одной неподвижной точкой. Если рассмотреть поверхность эллипсоида инер- [c.393]

В этом параграфе мы рассмотрим отдельно некоторые геометрические свойства эллипсоидов, которые будут нужны нам в дальнейшем при нахождении силовой функции эллипсоидального тела. [c.107]

Изложенное в предыдущих параграфах показывает, что рещение задач кристаллооптики можно свести к построению некоторых вспомогательных поверхностей. Мы рассмотрели две из них эллипсоид Френеля (для лучей) и эллипсоид индексов (для нормалей). Разумеется, все вспомогательные поверхности связаны между собой, так что знание одной из них позволяет более или менее сложным путем найти и остальные. Тем не менее применение различных поверхностей может оказаться полезным при разборе отдельных конкретных задач, решения которых особенно просто удается найти путем обсуждения свойств подходящей вспомогательной поверхности. [c.506]

Потенциал жидкости V в момент t относительно внутренней точки (х, у, 2) равен сумме однородной функции второй степени и некоторой не зависящей от х, у, 2 величины. Так как V обладает этим свойством, если оси X, у, 2 совпадают с главными осями эллипсоида, то оно не утратит его, если вместо такой системы координат введем другую с тем же началом координат. При посредстве (34) отсюда следует, что [c.300]

Если рассматривать всю мгновенную ось, а не только ту половину, на которой лежит вектор (о, то кроме точки мы найдём ещё некоторую другую точку Pj, диаметрально противоположную первой и также лежащую на пересечении мгновенной оси с эллипсоидом инерции (фиг. 139). Вторая точка обладает темн же свойствами, что и первая поэтому мы можем сказанное выше сформулировать так при движении твёрдого тела вокруг неподвижной точки по инерции эллипсоид инерции тела, соответствующий неподвижной точке, катится без скольжения по двум параллельным неизменяемым плоскостям с угловою скоростью, пропорциональной длине, хорды, проведённой между точками касания эллипсоида с названными плоскостями. Постоянное расстояние между плоскостями равно [c.526]

Убедиться в этом нетрудно. Произвольная однородная деформация может быть полностью определена длинами Ха, Хь, Хс и ориентацией полуосей некоторого эллипсоида, так называемого эллипсоида деформации. Изотропной мы называем среду, изучаемые физические свойства которой одинаковы по всем направлениям— в нашем случае это свободная энергия или, более точно, разность величин свободной энергии в напряженном и ненапряженном состояниях. Следовательно, для изотропного упругого тела свободная энергия в состоянии / может зависеть от длины полуосей эллипсоида деформаций, но не должна зависеть от их ориентации относительно материала. Поэтому длины ка, Хь, К могут входить в F только в симметричных комбинациях (таких, как (8.3)). Эти требования, очевидно, необходимы для того, чтобы было одинаково изменение свободной энергии для двух деформаций fo- t и отличающихся лишь ориентациями (относительно среды) главных осей. [c.207]

Из рассмотрения эллипсоидов, описываемых соотношениями (20.14) и (20.24), можно сделать множество геометрических выводов о свойствах теплопроводности, направлениях вектора теплового потока и нормалей к изотермам. Например, из последних трех уравнений (20.20) следует, что если нормаль к изотерме в некоторой точке имеет направление ( , т], С), то направление вектора теплового потока в указанной точке перпендикулярно плоскости, касательной к эллипсоиду (20.14) в точке (s, ч], ). С другой стороны, если в некоторой точке известно направление вектора теплового потока X, Y, Z), то нормаль к изотерме, проходящей через указанную точку, перпендикулярна плоскости, касательной к эллипсоиду (20.24) в точке (X, Y, Z). [c.54]

Эти свойства касательного конуса позволяют утверждать, что, если некоторый луч касается какой-либо поверхности рассматриваемого семейства, то после отражения в зеркальном эллипсоиде он вновь [c.268]

Следовательно, расчет углов преломления сводится к определению переменного показателя преломления. Этот расчет можно провести как с использованием волновых поверхностей (эллипсоида скоростей), так и с помощью оптической индикатрисы. Первый метод, обладая наглядностью, в некоторых случаях приводит к громоздким расчетам, и поэтому в этих случаях следует воспользоваться свойствами оптической индикатрисы. Используем тот и другой методы. [c.89]

Естественно встает вопрос об обобщении этих результатов. Именно это и сделано в главе 8, где поверхность эллипсоида заменена произвольным /п+ Л-мерным римановым компактным многообразием. Основным математическим аппаратом здесь является теория гамильтоновых систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих периодические коэффициенты, и некоторые дифференциальные операторы, свойства которых во многом аналогичны знаменитым операторам рождения и уничтожения в квантовой теории поля. [c.16]

Для проведения расчетов следует задать значения параметров в начальный момент времени. Одна из трудностей при расчете сверхзвуковых течений связана с определением положения и формы ударной волны. При аналитических исследованиях обычно делаются предположения о близости в окрестности точки торможения формы ударной волны и тела. Положение и форма ударной волны зависят от геометрии тела, скорости невозмущенного течения, термодинамических свойств газа. Некоторые выводы о форме ударной волны можно сделать из анализа экспериментальных работ, данных численных расчетов. Основные расчеты к настоящему моменту проведены для выпуклых поверхностей типа затупленных конусов под углом атаки, эллипсоидов, гиперболоидов и т. п. При осесимметрическом обтекании затупленных тел в работе [23] был отмечен следующий факт. Если рассмотреть наряду с затупленным телом острый конус, то для каждого числа Мао можно найти критический угол. Ркр(Мсж)) — максимальный угол полураствора кругового конуса, для которого еще возможно течение с присоединенной ударной волной. Пусть 5 — рассматриваемое затупленное тело. Присоединим к нему коническую часть с углом полураствора Ркр таким образом, чтобы конус касался поверхности 5 (см. рис. 4.3, а). [c.203]

Пусть из некоторой точки внутри кристалла распространяется свет по разным направлениям. Если по любому выбранному направлению отложить из этой точки отрезки, равные Vst и v st (где t — время распространения света внутри кристалла, us и ws — лучевые скорости по данному направлению), то геометрические места концов этих отрезков для разных направлений образуют двухполостную, так называемую лучевую, поверхность. Она, вообш,е говоря, имеет сложный вид, и поэтому ее рассмотрение производят в основном по трем ее главным сечениям, нормальным к главным осям лучевого эллипсоида. Двухполостная лучевая поверхность обладает в общем случае четырьмя точками встречи внешней и внутренней полости. Две прямые линии, соединяющие эти четыре точки попарно и расположенные симметрично относительно главных направлений кристалла (рис. 10.8), обладают особым свойством — вдоль каждого из них свет распространяется с единственной для данного направления лучевой скоростью. Эти две линии являются оптическими осями первого рода. [c.257]

Понятие сплошной среды не так просто, как может показаться на первый взгляд и как это казалось подавляющему большинству ученых в XIX и первой половине XX столетий. Оказывается, что можно строить разные модели сплошной среды, наделяя их разными свойствами. Простейшая модель, которую мы будем называть классической моделью, вводится следующим образом. Примем за основное первичное понятие материальную точку. В кинематике это понятие тождественно с понятием геометрической точкп. Можно представить себе точку как сферу бесконечно малого радиуса. При стремлении радиуса к нулю единственной величиной, индивидуализирующей точку, остается радиус-вектор центра сферы или три числа — координаты точки. Представляя себе некоторую замкнутую область пространства непрерывно заполненной точками, мы получим модель сплошной среды. Пусть Xio — координаты некоторой точки в момент времени to. При движении среды координаты данной точки меняются, в момент t они принимают значения Xi t). Движение среды полностью задано, если функции Xi(t) для каждой индивидуальной точки известны. Именно так определяется кинематика классической модели сплошной среды. До недавнего времени эта модель была единственной, на основе ее строились все механические теории. Но можно представить себе и иные сплошные среды, наделенные некоторой внутренней структурой. Будем рассматривать, например, материальную точку как бесконечно малый эллипсоид. Устремляя его размеры к нулю и сохраняя при этом нанравления главных осей, мы получим среду, с каж- [c.22]

В дальнейшем в большой серии работ были получены широкие обобщения решений такого типа как на случай движения сжимаемых сред [4, 6], когда построенные решения были использованы для изучения эволюции гравитирующих газовых эллипсоидов, так и на случай, когда свойство линейности также в сжимаемой среде имеется лишь по части пространственных переменных [6]. Здесь удалось осуществить процедуру сокращения размерности исходной задачи, а также получить серии точных решений, описывающие движения некоторых типов закрученных потоков газа. [c.16]

Так как х, у, г переходят в х и, у - -у, г- -та, т. е. подвергаются линейному преобразованию, то всякая плоскость остается плоскостью и после деформации, а всякий эллипсоид преобразуется также, вообще, в эллипсоид. Отсюда мы получаем следующие свойства однородной деформации 1) прямые линии остаются прямыми 2) параллельные прямые остаются параллельными 3) все прямые, имеющие одно и то же направление, растягиваются или сжимаются в одном и том же отношейии 4) сфера пргобра-зуется в эллипсоид, а любые три ее взаимно ортогональные диаметра в сопряженные диаметры эллипсоида 5) каждый эллипсоид некоторой определенной формы и ориентации в пространстве преобразуется в сферу, а каждая тройка его сопряженных диаметров — в тройку взаимно ортогональных диаметров сферы 6) существует тройка взаимно ортогональных направлений, которые остаются таковыми и после деформации сами эти направления, в результате деформации, вообще, изменяются до деформации они представляют направления главных осей эллипсоидов, упомянутых в 5) после деформации они совпадают с направлениями главных осей эллипсоида, упомянутого в 4). [c.48]

С точки зрения космогонии важно как можно дета.пьнее описать такой путь развития. Было бы интересно, конечно, представить эту эволюционную проблему как можно полнее, но литература по этому предмету очень разнообразна и, к тому же, носит в основном исследовательский характер. Поэтому едва ли в одном отдельном издании можно осветить эту задачу во всей полноте. П всё-таки имеет смысл дать полное математическое описание тех частей предмета, которые необходимы для обоснования достоверности упомянутой выше эволюции. Для этого сначала мы рассмотрим проблему устойчивости с главным акцентом на вращающиеся системы. За этим следует обсуждение сферических, сфероидальных и эллипсоидальных фигур равновесия и тех их свойств, которые можно вывести с помощью простых методов динамической теории. Далее мы излагаем элементы эллипсоидального гармонического анализа и доказываем некоторые важнейшие свойства функций Ламэ. Затем, используя этот математический аппарат, перейдём к изложению результатов исследования Пуанкаре вековой устойчивости последовательностей Маклорена и Якоби. После этого мы уделим внимание исследованию Картаном обыкновенной устойчивости эллипсоидов Якоби. В заключении рассматриваются этапы эволюции системы и обсуждаются возможные применения в космогонии. [c.20]

Условие полунепрерывности спектра аналогично принципу Фише-ра-Релея-Куранта, в соответствии с которым длины осей эллипсоида разделены длинами осей любого гиперплоского центрального сечения этого эллипсоида. Рассмотрим особенность S, примыкающую к некоторой данной (более вырожденной) особенности S. Обозначим спектры через 1 < 2 <. .. < для 5 и < tij <. .. < для S yf < ц) (оба спектра симметричны относительно п/2). Свойство полунепрерывности состоит в выполнении неравенств [c.37]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...