Сфера в евклидовом пространстве

СФЕРА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 547 [c.547]

Сфера в евклидовом пространстве [c.547]

СФЕРА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 549 [c.549]

СФЕРА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 551 [c.551]

В физ. приложениях М. часто возникают как подмножества в евклидовом пространстве, заданные с помощью ур-ний. Напр., двумерная сфера 5 определяется как поверхность в IR , выражаемая ур-нием = i -мерная сфера определяется как [c.162]

Пространство ориентированных прямых в евклидовом пространстве можно отождествить с пространством (ко)касательного расслоения сферы (рис. 253) и так снабдить симплектической структурой. [c.447]

Теорема 3 отражает черты, характерные для траекторий динамической системы на плоскости (а также на сфере), и несправедлива для траекторий в других фазовых пространствах (например, на торе или в евклидовом пространстве трех измерений). [c.48]

Легко видеть, что множество С,., , представляет собой произведение й—1)-мерной сферы на евклидово пространство т. е. цилиндр. Получившееся в результате множество есть область с кусочно гладкой границей. Всякому расположению г шаров радиуса р в отвечает точка бQ. Поэтому описанное выше движение шаров порождает группу преобразований множества Q. Легко проверить, что законы упругого столкновения шаров между собой и с дГ> приводят к тому, что отражение движущейся точки ц от границы дQ происходит так же, как в биллиардах. [c.187]

МЫ получим отображение симплектического многообразия ориентированных прямых в евклидовом пространстве на единичную сферу. [c.24]

С каждым эллипсоидом в конечномерном евклидовом пространстве связаны эллиптические координаты Якоби, с помощью которых интегрируются уравнения геодезических на этом эллипсоиде, а также некоторые другие уравнения, например уравнения движения точки на сфере под действием сил с квадратичным потенциалом или тяжелой точки на параболоиде. [c.435]

Сама лемма А получается из этого утверждения в частном случае, когда X = — фазовое пространство свободной частицы в К , гиперповерхность У образована ортами (задается условием = 1, т. е. является поверхностью уровня гамильтониана свободной частицы), гиперповерхность Е образована всеми векторами, приложенными в точках изучаемой поверхности в К . В этом случае В есть многообразие всех ориентированных прямых евклидова пространства, а 2 — многообразие касательных ортов. Отображение 2 -> 5 сопоставляет касательному орту содержащую его касательную прямую. Многообразие С есть пространство (ко)касательного расслоения изучаемой поверхности. 2 С — вложение в это пространство пространства расслоения единичных сфер (в иных терминах вложение гиперповерхности уровня кинетической энергии, т. е. гамильтониана движения со связями). [c.440]

Пространственная геометрия на вращающемся диске, как мы видели, является неевклидовой. И хотя все геометрические построения в трехмерном физическом пространстве полностью согласуются с теоремами евклидовой геометрии, представление о неевклидовой геометрии в двух измерениях не является чем-то новым для нас, так как мы встречаемся с примерами таких геометрий на любой кривой поверхности. (Хорошо известен пример сферической геометрии на поверхности сферы.) В качестве введения к изучению неевклидовых геометрий в п-мерном пространстве рассмотрим геометрию произвольной двухмерной поверхности, вложенной в трехмерное евклидово пространство. Если X, у, 2 — декартовы координаты в этом пространстве, то двухмерная поверхность определяется параметрическими уравнениями [c.184]

Пример 3 [отображение Гаусса). Это отображение трансверсально ориентированной гиперповерхности евклидова пространства в единичную сферу, отправляющее точку гиперповерхности в единичную нормаль к гиперповерхности в этой точке. [c.26]

До тех пор пока мы рассматриваем достаточно малую область пространства изображений ( динамика в малом ), топологические вопросы не возникают, и мы можем предположить поэтому, что малая область имеет простую топологию внутренности евклидовой сферы соответствующей размерности. Эта книга следует в основном традициям математической физики, в которой топологические вопросы являются предметом для исследования ad ho в частных случаях. Они могут быть оставлены без внимания до тех нор, пока мы не перейдем к рассмотрению переменных действие — угол ( 98, 99). [c.209]

Рассмотрим пространство Z v+), касательное к пространству QT в точке Хг- В пространстве Zjv + i определена евклидова метрика и прямоугольные декартовы координаты Zr- Проведем в пространстве Zjv+i сферу единичного радиуса [c.232]

Теорема. Если х(8, v) = 0, то f порождает линейный изоморфизм f w) = aw + /3 евклидова накрывающего пространства 8и — С на себя. В этом случае множество Жюлиа является либо окружностью, либо отрезком, либо всей римановой сферой. Здесь коэффициент растяжения а равен степени d, когда J одномерно, и равен л/d, когда J совпадает со всей сферой. [c.251]

ОРБЙТА (от лат. orbita — колея, путь) точки х относительно группы G, действ у ю щей на множестве X (с лев а),— множество G(x), элементами к-рого являются точки gx, где g G. Напр., О. группы вращений в евклидовом пространстве являются концентрич. сферы с центром в начале координат, включая сферу радиуса 0. Орбиты любых двух точек из X либо не пересекаются, либо совпадают, т. е. О. определяют разбиение множества X. Если в X имеется только одна О., то X наз. однородным пространством группы G. В этом случае говорят, [c.463]

Поля Киллинга на Л/" образуют алгебру Ли размерности к n(ii- -1)/2, причем равенство имеет место для римановых многообразий постоянной кривизны. Например, на двумерных сферах а = onst в евклидовом пространстве = ж поля е х х, е = onst, являются киллинговыми. Их алгебра Ли изоморфна алгебре so(3). [c.151]

Следовательно, геометрия на поверхности г = = onst такая же, как н на сфере радиуса Г]. в евклидовом пространстве, но Г] не есть расстояние до г = О, измеряемое стандартным стержнем, так как расстояние теперь определяется по формуле [c.319]

Гауссово отображение. Сопрставим каждой точке (трансверсально ориентированной, т. е. снабженной полем нормалей) гиперповерхности в евклидовом пространстве направление нормали (точку сферы на единицу меньшей размерности, чем объемлющее пространство). [c.104]

В астрофизических и биологических приложениях нам приходится прослеживать эволюцию структур не только на плоскости или в евклидовом пространстве, но и на сферах и еще более сложных многообразиях. Примерами могут служить начальные стадии развития эмбрионов или образование структур в атмосферах планет, например Юпитера. Разумеется, в менее реалистических ( более модельных ) ситуациях мы можем рассматривать и бесконечно протяженные среды. При этом мы обнаружим явления, хорошо известные из теории фазовых переходов, и можем применить к ним метод ренормгруппы. [c.77]

Компактные группы. Это Г., в к-рых из каждой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Компактные Г. имеют конечный объём . Более точно, инвариантная мера Г. конечна в том и только в том случае, если Г. компактна мера на Г. паз. инвариантной, если меры подмножеств В ш gB равны для любого подмножества BdG и элемента g G). Среди дискретных Г. компактными являются только конечные Г. Примеры компактных Г. Г. вращений окружности и сферы (и вообще Г. движений компактны многообразий), Г. унитарных преобразоваиий в конечномерном гильбертовом пространстве и (и) и Г. ортогональных преобразований в конечномерном евклидовом пространстве 0(п). [c.542]

Системы координат. Каждая система координат на многообразии М определяется в нек-рой области U а М и сопоставляет каждой точке этой области, х U, набор вещественных чисел ж, . .., ж" (координат этой точки). При этом область V (координатная окрестность) взаимно однозначно отображается на некоторую область евклидова пространства IR . Именно возможность такого отображения позволяет перенести в М. аналитич. методы, развитые первоначально на IR . Напр., на сфере пара чисел х, у) может служить координатами точек верх, полусферы (г > 0) или ниш. полусферы (г < 0). Однако её нельзя рассматривать как систему координат на всей сфере, т. к. иначе двум разным точкам сопоставлялся бы один и тот же набор координат. Сферич. координаты в, qp) определяют ф-лами х — sin 0 os qp, у = sin 0 sin ф, z = os 0 на всей сфере 5 , за исключением её полюсов (точек ж = у = о, г = 1). Числа = 2a/(l z), ц = 2у (1—z) (получающиеся при т, н. стереография, проекции сферы на плоскость) могут слуншть координатами на всей сфере, за исключением её северного полюса (точки х = у — 0, z = 1). [c.162]

Напр., стандартная структура М. на сфере (согласованная со структурой объемлющего евклидова пространства IR ) задаётся атласом из 3 карт сферич. координатами 0, <р вне полюсов, координатами (ж, у в верх, полусфере и координатами ж, у] в ниж. полусфере. При этом сфера оказывается (бесконечно) дифференцируемым М. Структуру М. на можно определить эквивалентным атласом из 2 карг ж, у] в верх, полусфере и стереографич. координаты 5, ц на всей сфере, за исключением северного полюса. Эквивалентность 2 атласов означает, что ф-ции перехода между любыми 2 картами обоих атласов ди ференцируемы, [c.162]

Классик, подход к спину. Векторное произведение в З-мерном евклидовом пространстве порождает скобку Пуассона ф-ций на нём. Симплектик. слои в данном примере — концентрич. сферы, снабжённые элементом площади. Вращений группа сохраняет площади и потому действует на сфере потоками гамильтоновых векторных полей. Гамильтонианы действия — линейные ф-ции в пространстве. Квантование этого действия возможно лишь на сферах целочисленной площади (в единицах h) и приводит к неприводимым представлениям группы вращений — как векторный , так и спинорным . [c.522]

Осн. задачей Т. расслоений является задача классификации расслоений. По определению, гомоморфизм f F, E2 задаёт эквивалентность двух расслоений pi Е В и pi.Ej-rB, если он сохраняет слои, т. е. Pi f y))=Pi(y) для всех у из . Расслоение, эквивалентное прямому произведению, наз. тривиальным. Расслоения над евклидовым пространством (без ограничений на поведение в бесконечности) тривиальны (J-расслоения над п-мерной сферой S" классифицируются элементами гомотопич. группы i i(G). Топологич. характеристики расслоений наз. характеристическими классами. Для расслоений со структурной группой G (где G—группа Ли) харак-теристич. классы могут быть выражены через кривизну расслоения, определяя тем самым топологич. заряды связностей в расслоении (или, эквивалентно, калибровочных полей). Напр., единств, топологич. инвариантом, задающим /(1)-расслоение над двумерной сферой Л , является первый класс Черна (Чжэня) [c.147]

Если пренебречь малым Я-членом, то da- в пределе больших г будет стремиться к обычному линейному элементу евклидова пространства в полярных координатах. Интересно, что условие сферической симметрии оказывается достаточным для получения предельного перехода к евклидову пространству без использования явных граничных условий на бесконечности. Этот результат, конечно, отчасти связан с нормировкой (11.60) переменной г, которая уже выбрана такой, что геометрия на г = onst, такая же, как и на сфере евклидова пространства радиусом г. В истинном пространстве (11.79) переменная г уже не является радиальным расстоянием, так как расстояние между точками (г , 6, ф) и (гг, 6, ф) теперь определяется по формуле [c.315]

Гауссовы отображения, как и нормальные, можно рассматривать как лагранжевы. Соответствующее симплектиче-ское многообразие — это многообразие всех ориентированных прямых евклидова пространства. Оно естественно расслоено над сферой (прямой сопоставляем параллельный орт в нуле). Ориентированные нормали к гиперповерхности образуют в пространстве прямых лагранжево подмногообразие. Проектирование этого лагранжева многообразия иа сферу — искомое лагранжево отображение. Применение к этому отго15раженик> общей теории лагранжевых отображений дает формулированные результаты о гауссовых отображениях (типичные гиперповерхности определяют, как легко видеть, типичные гауссовы отображения). [c.104]

Для нас основным примером будет группа 80(3) — группа поворотов трехмерного евклидова пространства. Она состоит из ортогональных матриц третьего порядка с определителем, равным единице. Произвольная 3 х 3-матрица задается девятью произвольными параметрами. Шесть независимых условий ортогональности выделяют в девятимерном пространстве гладкую регулярную трехмерную поверхность — многообразие 50(3). С топологической точки зрения — это трехмерная сфера, у которой отождествлены антиподальные точки. Легко проверить, что операция умножения матриц будет гладким преобразованием этой поверхности. Как уже отмечалось ( 5 главы I), группа 50(3) — конфигурационное пространство в задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.149]

Ц В серии статей В. М. Савицкого [2254-227] рассматриваются развертывающиеся поверхности пространства Лобачевского, Используя интерпретацию пространства Лобачевского в сфере единичного радиуса с бельтрамиевыми координатами, автор проводит следующую классификацию развертывающихся поверхностей пространства Лобачевского а) поверхности, гомеоморфные евклидову цилиндру, на универсальной накрывающей которых расположено семейство попарно расходящихся прямых (1-й тип) семейство параллельных в одном направлении прямых (2-й тип) [c.259]

Гиперболы. Эта конструкция обобш,ается на гиперболические орбиты, если, как это было на второй лекции, заменить л/а на и на ал/ . Геометрически будет достаточно заменить единичную сферу из К на гиперболоц, поверхность которого задается уравнением —Л. + + р = 1. Положение X следует по геодезическим этого пространства. Это, как и в лекции 3, приводит нас к переходу от евклидовой геометрии к геометрии Минковского. Гиперболическое пространство Н — это одна из двух поверхностей другого гиперболоида, с уравнением + + 11С1Р = Нормированная скорость следует по геодезическим [c.38]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...