Круг Мора, плоское напряженное состояние

Круг Мора, плоское напряженное состояние 81 --г, плоское деформированное состояние 92 Кручение 98 [c.659]

Построить круги Мора для трех случаев плоского напряженного состояния 1) 011 0, 033 =-0, 022 = 012 = 023 = 031 = 0 2) 011 022 = 033 = 012 = [c.62]

Для случаев, представленных на рис. 3.12,а,б, согласно /77/, предельная огибающая является касательной к кругам Мора в точках Aj, положение которых на контуре круга определяется видом напряженного состояния п , а следовательно, и характером нагружения я (так как По = 2и - 1). Например, для случая плоской деформации По = О, = 0,5 имеем т = О (огибающая параллельна оси s), и выражение (3.23) преобразуется в известное соотношение, полученное в работе /84/. При п <0,5, когда точка Л, находится левее точки 5, при > 0,5, когда А/ правее Лд 5, характеристическое соотношение имеет вид [c.118]

Круг Мора, соответствующий напряжениям сг и Од и заключающий внутри себя два других круга, называется главным. Построим серию главных кругов Мора, соответствующих некоторой серии экспериментов с доведением испытания до разрушения, и на одном чертеже построим их огибающую (рис. 8.16). Эта огибающая пересечет ось Оа в некоторой точке А, которая соответствует разрушению при условии = 02 = аз > О, т. е. разрушению при всестороннем растяжении. Эта точка расположена на конечном расстоянии от начала координат, так как прочность материала при таком режиме нагружения должна быть ограниченной. Правда, этот эксперимент не реализуем в натуре или реализуем лишь мысленно. Но все эксперименты, которым соответствуют круги Мора, расположенные слева от этой точки, могут быть в той или иной мере реализуемы, по крайней мере, в режиме плоского напряженного состояния. Так как на построение упомянутой огибающей не влияет напряжение Og, то исключим его из рассмотрения. Это является недостатком критерия прочности Мора. Теперь выскажем гипотезу о том, что все напряженные состояния, которым соответствуют точки плоскости Ота, лежащие внутри огибающей главных кругов Мора, построенных для состояния разрушения, безопасные. Внутренней областью огибающей кругов Мора считаем ту, которая содержит начало координат. Построить полностью огибающую кругов Мора нет возможности из-за необходимости выполнить большое число экспериментов, однако можно построить аппроксимацию этой огибающей на базе двух экспериментов следующим образом. [c.168]

Исследование плоского напряженного состояния с помощью круга Мора [c.101]

Таким образом, если при плоском напряженном состоянии известны главные напряжения в рассматриваемой точке, можно с помощью круга Мора найти величину и направление напряжений в материале по любой площадке, проведенной через эту точку. [c.108]

КРУГ МОРА ДЛЯ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО, СОСТОЯНИЯ [c.81]

КРУГ МОРА для плоского НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ [c.81]

Соотношения (2.24), связываюш.ие напряжения сг и Те в общем случае плоского напряженного состояния, можно также представить графически с помощью круга Мора. Поступая так же, как и в случае двухосного напряженного состояния (см. разд. 2.4) можно свести два соотношения (2.24) к одному [c.81]

Пример. На гранях элемента, находящегося в плоском напряженном состоянии, возникают напряжения о (.= 1600, (Гу=600 и кГ/см (см. рис. 2.12). Используя круг Мора, определим а) главные напряжения и ориентацию главных плоскостей, Ь) напряжения в элементе повернутом на угол 45°, с) максимальные касательные напряжения. (Отметим, что та же самая задача была решена ранее в разд. 2.5.) [c.83]

Для того чтобы понять, как изменяются величина и направление главных напряжений в балке, начнем с исследования напряженного состояния в балке прямоугольного поперечного сечения (рис. 5.19, а). В поперечном сечении выбираются пять точек, отмеченных на рисунке буквами А, В, С, О и Е. Точки А я Е находятся на верхней и нижней поверхностях соответственно, а точка С — на середине высоты балки. Можно подсчитать напряжения в каждой точке, зная изгибающий момент М и поперечную силу Q, действующие в данном поперечном сечении. Тогда можно принять, что эти напряжения действуют на малые элементы, которые вырезаны из балки около соответствующих точек (см. рис. 5.19, Ь). Для того чтобы найти главные нормальные и максимальные касательные напряжения, можно использовать или уравнения плоского напряженного состояния (см. разд. 2.5), или круг Мора (см. разд. 2.6). Направления главных нормальных напряжений в каждой точке приближенно показаны на рис. 5.19, с, направления максимальных касательных напряжений — на рис. 5.19, [c.170]

Для плоского напряженного состояния заменить величины <Ух> ху сГе 0 соответственно на /д., 1у, — ху> /дп и Ix yi то эти соотношения в точности совпадут с соотношениями для моментов инерции, приведенных выше. Следовательно, все обш,ие выводы, полученные в одном случае, можно распространить и па другой. Например, для определения моментов инерции относительно повернутых осей и главных моментов инерции можно использовать круг Мора. [c.607]

Рис. 4. Круг Мора для деформаций плоского напряженного состояния

Пример. Определить величины главных напряжений и положение главных пло-щад к при плоском напряженном состоянии 30 МПа (300 кгс/см ) Од = 54 20 МПа (- 200 кгс/см ) = 30 МПа (300 кгс/смЗ) (рис. 3.8, а). Решение. Выбираем масштаб и по вышеизложенному правилу строим круг Мора (рис. 3.8, б). Отрезок 00 0у откладываем влево от точки О, так как Оу <.0. Из построений круга Мора [c.37]

По аналогии с плоским напряженным состоянием (см. главу 3) для определения моментов инерции при повороте осей можно пользоваться графическим способом — построением кругов Мора, которые в этом случае называются кругами инерции. [c.251]

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ С ПОМОЩЬЮ КРУГА МОРА [c.101]

Аналогия между моментами инерции сечений и плоским напряженным состоянием позволяет применить круг Мора, использованный выШе при исследовании напряженного состояния (см, 5.3), для определения осевых и центробежных моментов инерции при повороте системы координат. [c.173]

Рассмотрим теперь использование круга Мора для иллюстрации основных положений теории плоского напряженного состояния [c.52]

В том случае, когда одно и только одно из главных напряжений равно нулю, говорят, что существует плоское напряженное состояние. Такая ситуация возникает в свободной от нагрузки точке на свободной поверхности, ограничивающей тело. Если главные напряжения упорядочены, то расположение кругов Мора будет иметь один из видов, представленных на рис. 2.18. [c.85]

В элементарных курсах сопротивления материалов плоское напряженное состояние часто представляют одним кругом Мора. [c.86]

Построить круги Мора для трех случаев плоского напряженного состояния, соответствующих напряжениям, действующим на элементарный куб, ребра которого параллельны осям ко- [c.103]

Графически состояние плоской деформации в точке описывается кругами Мора для деформации точно таким же способом, что приведен в гл. 2 для кругов Мора для напряжения. При этом тензор деформаций часто представляют в виде [c.132]

Это п есть уравнение в переменных а и х круга напряжений Мора для плоского напряженного состояния. Принимая о за ось абсцисс п X за ось ординат (фиг. 78) в прямоугольной системе координат о, X, мы убеждаемся, что нормальное напряжение а достигает экстремальных значений и в точках и круга напряжений. Для этих точек о о/с а = 0 и [c.112]

Рассмотрим случай плоского напряженного состояния. Вы-числение напряжений по наклонным площадкам (рис. И, г) может быть заменено графическим построением круга Мора (рис. И, б). Если возведем в квадрат и сложим оба соотношения (1.3), получим соотношение [c.33]

Так как общий случай плоского напряженного состояния приводится к более простому случаю, когда по граням параллелепипеда действуют только нормальные напряжения, являющиеся главными, то легко построить, согласно фиг. 85, с помощью этих напряжений круг Мора (фиг. 98). Этот круг очерчен радиусом АС — [c.105]

Построим круги Мора, соответствующие предельному состоянию при растяжении, при сжатии и при чистом сдвиге, как показано на рис. 266. Огибающая этих кругов АВ представляет собою часть предельной кривой, которая определяется, таким образом, достаточно надежно. Предельные круги Мора для всех возможных плоских напряженных состояний будут, в соответствии с вышесказанным, касаться предельной кривой на участке АВ. Для того чтобы продолжить предельную кривую влево, необходимо иметь опытные данные испытаний при наложенном всестороннем сжатии.,Такие опыты производились многократно, и соответствующие результаты имеются. Продолжение кривой вправо от точки В носит гипотетический характер, следует ожидать, что она пересекает ось а в точке ). [c.405]

Заметим, что одноосное напряженное состояние может рассматриваться как частный случай плоского. При этом круг напряжений будет проходить через начало координат (рис. 162). Наконец, в случае равномерного всестороннего растяжения (а = с ) или сжатия ((Та = 0з) в плоскости круг Мора превращается в точку. Тогда, как уже указывалось ранее, все площадки будут главными. [c.170]

Условия разрушения хрупких и малопластичных материалов (когда (j S и Xi t) при плоском и объемном напряженном состоянии описываются семейством предельных кругов Мора. На рис. 1.3 представлено такое семейство для материала, имеющего предел прочности при растяжении 20А = ар, предел прочности при сжатии 05=(Тсж, предел прочности при сдвиге ОС=Тв. Гипотеза разрушения Мора предусматривает существование огибающей этих кругов, которая и характеризует систему предельных напряженных состояний перед разрушением. Для прямолинейной огибающей с углом наклона [c.9]

На рис. 5.28 изображены круги Мора в различных случаях пространственного, плоского и линейного напряженных состояний. [c.428]

Выделим в окрестности точки, напряжения в которой изучаются, элементарный кубик с гранями, параллельными главным площадкам (рис. 3.11, а). Проведем через кубик площадку, параллельную напряжению Ст1 (на рис. 3.11,п эта площадка защтрихована). Величины а и I нормальных и касательных напряжений, действующих по этой площадке, зависят только от напряжений Ст2 и Стз и не зависят от напряжений а , поэтому для определения значений а и х можно использовать формулы, применяемые при исследовании плоского напряженного состояния. Напряжения а и I по любым площадкам, параллельным одному из главных напряжений, можно определить с помощью круга Мора, построенного по двум другим главным напряжениям. На рис. 3.11,6 щтриховой линией изображен круг Мора, координаты точек которого равны напряжениям а и х по площадкам, параллельным напряжению Стз. Аналогично, напряжения а и х по площадкам, параллельным главному напряжению Сз, можно определить с помощью круга Мора, изображенного сплошной линией, а по площадкам, параллельным напряжению Мора, изображенного точками. [c.105]

Pb . 5.28. Характерные случаи расположеиия кругов Мора а) при пространственном напряженном состоянии б) при плоском напряженном состоянии в) при линейном напряженном состоянии. [c.429]

Выра кенйя (156) и (157), как правило, используют для расчетов прочности элементов из хрупких и малопластичных материалов при этом в расчет вводят характеристику материала Од. Уравнения (158) и (159) справедливы для многих пластичных кон струкционных металлических материалов, находящихся в каждом из указанных выше предельных состояний — образование пластических деформаций (с использованием величины От) и возникновение вязкого статического разрушения (с использованием величины 0в). Учитывая, что вне зон концентрации напряжений плоское напряженное состояние реализуется чаще, чем объемное, уравнение (159) можно привести к уравнению (158). Так как у малопластичных конструкционных металлических материалов при статическом нагружении проявляются свойства анизотропии (предел прочности при растяжении 0вр отличается от предела прочности Ojj при сжатии), то для анализа условий разрушения используют огибающие кругов Мора (10, 13, 17] с предельными точками о р, Овс и пределом прочности при сдвиге [c.49]

В случае одноосного растяжения на образец действуют две равные и противоположные силы Q. При достижении критического значения растягивающего усилия в плоских образцах могут возникать шейки двух типов. Первый тип — плавная шейка 1 (рис. 3), расположенная поперек образца, второй тип — сосредоточенная шейка 2, расположенная под углом фя 55° к оси растяжения. Возможность возникновения птеек двух типов связана со СБОЙствами плоского напряженного состояния. Из рис. 4, на котором показан круг Мора для деформаций, видно, что в случае равномерного растяжения при деформации еи=Ве в направлении растягивающей силы и при поперечных деформациях [c.8]

Следует помнить, что и плоское напряженное состояние можно рассматривать как случай объемного состояния, при котором одно из главных напряжений равно нз лю. Это означает, что и при плоской задаяе напряженное состояние может изобрал аться не одним, а тремя кругами Мора. [c.82]

Мы уже указывали, что при любом напряженном состоянии, вызывающем пластические деформации, тупой угол между двумя плоскостями скольжения делится пополам направлением алгебраически наибольшего (а ), а острый угол (ср)—направлением алгебраически паименьгаего (од) из трех главных напряжений. В графическом представленип Мора для плоского напряженного состояния, характеризующегося главными напряжениями п а. , угол 9 наклона радиуса СР точки Р главного круга напряжений [c.244]

Обобщение Прандтлем понятия идеально пластичной среды. Применение к течению твердых тел в условиях плоского напряженного состояния, иллюстрируемое соответствующими изогональными линиями скольжения. Прежде чем продвинуться дальше в рассмотрении предельного равновесия сыпучей среды, выясним группу смежных вопросов, перечисленных в названии этого раздела, к которым привлек внимание Прандтль в двух из первых его статей, посвященных теории пластичности На основе рассмотрения огибающих кругов Мора для наибольших главных напряжений он ввел понятие обобщенного идеально пластичного тела, не обладающего свойством деформационного упрочнения, имея в виду твердые тела квазиизо-тропного поликристаллического строения с вполне определенным пределом текучести. Для такого тела он смог постулировать, что материальные элементы начинают деформироваться и непрерывно деформируются неопределенно долго, если только максимальное касательное напряжение Тщах достигает строго определенного предела, зависящего от среднего значения полусуммы) наи-больилего и наименьшего главных напряжений 01 и оз, [c.558]

Вид предельной кривой находится из опыта. Для различных напряженных состояний, соответствующих условию разрушения, строятся круги Мора. Предельная кривая будет их огибающей. Как уже неоднократно указывалось, опытные данные по разрушению относятся главным образом к плоскому напряженному состоянию. Если известны разрушающие напряжения при растяжении, ся атии и чистом сдвиге, мы можем с достаточной степенью надежности построить участок предельной кривой, позволяющей судить о прочности во всех случаях плоского напряженного состояния. Действительно, при плоском напряженном состоянии, если а, 0, то а, 0, в противном случав было бы а, 0 и напряженное состояние не было бы плоским случай же, когда а, <С0, невозможен, тогда а, 0. Поэтому для плоского напряженного состояния круг Мора, построенный на напряжениях а, и а,, либо заключает в себе начало координат, либо проходит через него. [c.404]

Линии скольжения. В пластической области напряженное состояние при плоской деформации может быть представлено в окрестности каждой точки очага деформации предельным кругом Мора, радиус которого Хщах = k = 0,5а, по теории Треска—Сен-Венана и й = oJYb по теории Губера— Мизеса (рис. 50). [c.262]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...