Производные дробного порядка

Обобщенные производные. Для того чтобы сократить число -слагаемых, входящих в соотношение, описывающее обобщенную стандартную модель, и при этом адекватно учесть меньшую скорость изменения свойств материалов в зависимости от частоты (наблюдаемую в экспериментах с реальными материалами), целочисленные производные, использовавшиеся до сих пор, можно заменить производными дробного порядка [2.39—2.41] [c.90]

Панель авиационная 70, 171, 188, 348, 351 Петли гистерезиса 77, 81, 93, 140, 156, 191 Пластина 34. 37, 69, 272, 274. 288 Полевые испытания 256, 265, 268 Представление решений 23, 27, 187 Производные дробного порядка 90 Противообледенительные устройства 338, 344 [c.443]

Следовательно, аномальное поведение теплопереноса при таком подходе описывается временными производными дробного порядка. [c.357]

Уравнения (1) и (2) были обобщены в [2] путем замены производных целого порядка на производные дробного порядка [c.693]

Напомним здесь определепие производной дробного порядка а от функции /(х) [c.259]

Сеточную функцию будем обозначать у и определять в точках с целыми и дробными номерами, записывая ее в виде У1 и / +о,б соответственно. Разностная производная первого порядка может быть определена несколькими способами [c.128]

В данной работе на базе реологической модели (1) исследуются продольные нестационарные колебания стержня конечной длины, процесс соударения стержня с жесткой преградой и волны напряжений, распространяющиеся в полубесконечном стержне. Показано, что данная модель может описывать как диффузионные, так и волновые явления, возникающие в вязко-упругих материалах. Все зависит от порядков дробных производных, стоящих в левой и правой частях реологического уравнения. Так, если (3 > а, то материал не обладает мгновенной упругостью, и реологическая модель описывает диффузионные явления (модель типа Кельвина-Фойгта). Если параметры дробности равны, то материал обладает мгновенной упругостью, и реологическая модель описывает волновые явления (модель типа Максвелла). Если /3 > а, то такая реологическая модель не имеет физического смысла. Здесь имеет место полная аналогия с вязкоупругими реологическими уравнениями, содержащими в левой и правой частях производные целого порядка [15. [c.282]

Если обозначить через а = тах , через /3 = тах /3 , то можно показать [3], что при а = модели (3) обладает мгновенной упругостью и описывает волновые процессы, а при /3 > а модель (3) не обладает мгновенной упругостью и описывает диффузионные процессы. Иначе говоря, существует аналогия в поведении материалов, которые описываются уравнениями (1), (2) и (3), содержащими производные целого и дробного порядков. [c.693]

Сравнение экспериментальных данных для частотной зависимости реальной части комплексного модуля и временной зависимости функций ползучести и релаксации с теоретическими результатами на основе модели (1) с учетом пяти производных целого порядка в обеих частях реологического уравнения и на основе модели (3) с учетом только одной дробной производной слева и справа в реологическом уравнении проводится в работе [8] для полиамида при а = = 0,54 и эластомера при а = = 0,661. [c.694]

Преимуш,ество использования модифицированной модели стандартного линейного тела с дробными производными двух различных порядков (7) при описании динамических свойств различных вязкоупругих материалов по сравнению с аналогичной моделью, содержаш,ей интегралы двух различных дробных порядков, которая изучалась в [15], было показано в [16] путем сравнения экспериментальных данных с теоретическими результатами на основе этих двух моделей. Было установлено, что модель (7) приводит к гораздо лучшим результатам, а эти две модели дают идентичные результаты только при а = /3. [c.696]

Как И В одномерном случае, передаточные функции стационарного объекта имеют дробно-рациональный вид. Отметим одну характерную особенность передаточных функций объекта, описываемого многомерным функциональным оператором. Передаточная функция стационарного объекта, описываемого одним уравнением вида (3.1.1) с постоянными коэффициентами, представляет собой дробно-рациональное выражение (3.1.35), в числителе которого стоит многочлен порядка т, где т — наивысший порядок дифференцирования в правой части уравнения (3.1.1). В том случае, когда в правую часть (3.1.1) входит только функция u t), а не ее производные, этот многочлен вырождается в константу, и передаточная функция принимает вид (3.1.45). В многомерном случае, когда объект имеет по несколько входных и выходных параметров, все передаточные функции также являются дробно-рациональными. Однако порядок многочлена, стоящего в числителе этих дробно рациональных функций, отличен от нуля даже тогда, когда в уравнения входят только параметры Ui i) и не входят их производные. [c.96]

АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ВЯЗКОУПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ, РЕОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КОТОРЫХ СОДЕРЖАТ ДРОБНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ДВУХ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ [c.281]

Таким образом, прослеживается аналогия в поведении вязкоупругих моделей с целыми и дробными производными. Так, если рассматривать вязкоупругие модели с целыми производными, в реологических уравнениях которых слева стоит сумма производных по времени от напряжений, а справа — сумма производных по времени от деформаций, то при равенстве порядков старших производных, стоящих справа и слева, эти модели обладают мгновенной упругостью, а при неравенстве, когда порядок старшей производной, стоящей справа, на единицу больше порядка старшей производной, стоящей слева, этим моделям не присуща мгновенная упругость моделей, у которых порядок старшей производной, стоящей слева, больше порядка старшей производной, стоящей справа, не существует [15. [c.288]

Заключение. Итак, проанализировано реологическое и динамическое поведение вязкоупругих материалов, которое описывается шестью реологическими моделями, содержащими дробные производные и дробные операторы двух различных порядков — а и р. Показано, что первые три модели (4а, б) и (7) являются диффузионными или волновыми в зависимости от значений параметров а и Р при Р > а — диффузионными, а при а = Р = — волновыми модели (8) и (7а, б) являются соответственно только диффузионной и только волновыми при любых О < Р, а < 1. [c.716]

Объясняется дробный показатель 3/2 так имеется пограничный слой толщиной в два элемента, внутри которого ошибки в производных равны О (Л). Легко проверить, что угол 0 на рис. 4.2 есть величина того же порядка, так что истинная производная от и вдоль хорды равна О (Л), а не 0. Этот слой в ошибку в энергии вносит 0(/г ). За пределами пограничного слоя ошибка совершенно другая оптимальный порядок /г для ошибки в перемещениях, т. е. и — и = и она настолько гладка, что [c.230]

Отметим также, что ренорм-групповой анализ переноса тепла на фракталах не позволяет однозначно представить обобщенное уравнение теплопереноса в виде (427). Возможно и другое описание аномального теплонереноса. При этом подходе обобщенное уравнение теплопереноса отличается от обычного заменой первой производной по времени на производную дробного порядка [c.357]

Таким образом, с помощью ренорм-группового анализа установлена необходимость применения аппарата обобщенных производных дробного порядка. Их использование обусловлено как геометрическими свойствами фрактальных структур, так и аномальностью физики процессов теплопереноса на фракталах. [c.357]

А. Ю. Ишлинский (1946) рассмотрел вопрос о разрушении вязко-упругих материалов. Существенное обобщение дифференциальных законов вязкоупругости принадежит А. Н. Герасимову (1948), который предложил использовать для описания вязко-упругих свойств вместо обычных производных производные дробного порядка в смысле Лиувилля. Обращение подобных соотношений приводит к интегральным уравнениям со слабо-сингулярным ядром Абеля. Эта идея сыграла большую роль в дальнейшем развитии теории. [c.149]

Аналогичным образом можно записать в дифференциальнооператорной форме связь между напряжением и объемной деформацией и установить ее эквивалентность интегральной форме. В работах [133, 138, 147] показано, что если в соотношениях (1.9) Ра и постоянные числа, то при выполнении условий (1.10) они эквивалентны интегральному уравнению (1.1) с ядром в виде суммы экспонент. В [32] предложено использовать в (1.9) производные дробного порядка в смысле Луивилля. Обращение подобных соотношений приводит к интегральным уравнениям со слабосингулярным ядром Абеля. [c.24]

Рассматриваются задачи о продольных нестационарных колебаниях вязкоупругого стержня конечной длины, удар вязко-упругого стержня о жесткую преграду и распространение волн напряжений в полубесконечном вязкоупругом стержне. В качестве модели, описывающей вязкоупругие свойства материала стержня, используется обобщенная модель стандартного линейного тела, содержащая дробные производные различных порядков. Задачи решаются методом преобразования Лапласа, при этом в отличие от традиционных численных подходов характеристическое уравнение не рационализируется, а решается непосредственно с дробными степенями. Проведено численное исследование указанных задач. Временные зависимости напряжения и контактного напряжения в стержне, соответствующие первой и второй задачам, проанализированы для различных значений реологических параметров порядков дробных производных и времени релаксации. Исследования показали, что стержень не прилипает к стенке ни при каких значениях реологических параметров. В задаче о распространении волн напряжений получены асимптотические решения вблизи волнового фронта и при малых значениях времени. Показано, что данная модель может описывать как диффузионные, так и волновые явления, протекающие в вязкоупругих материалах. Все зависит от соотношения порядков производных, стоящих слева и справа в реологическом уравнении. [c.281]

Все эти примеры показывают неоспоримое преимущество модели (3) перед моделями (1) и (2), поскольку для этой модели достаточно учесть всего-навсего две дробные производные против довольно большого числа производных целого порядка. [c.694]

Воспользовавшись определением дробной гельдеровской производной порядка V = а - Г [c.356]

РЕОЛОГО-ДИНАМИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ ДЛЯ ВЯЗКОУПРУГИХ МОДЕЛЕЙ, СОДЕРЖАЩИХ ДРОБНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ИЛИ ОПЕРАТОРЫ ДВУХ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ [c.693]

Модели, содержащие дробные производные двух различных порядков. Рассмотрим простейшие модели, содержащие дробные производные или операторы двух различных порядков, которые в настоящее время используются реологами для описания экспериментальных данных по динамическим свойствам [c.694]

Но несмотря на большое число статей, посвяш,енных экспериментальному определению параметров реологических моделей, содержаш их дробные производные двух различных порядков, число решенных инженерных задач с такими моделями весьма невелико. Как отмечается в [8], это связано с тем, что инженеры, даже работаюш,ие в самых передовых индустриях, не знакомы с такой формулировкой динамических задач вязкоупругости, и, следовательно, она не включена в компьютерные коды для конечноэлементных вычислений. Хотя в настояш ее время уравнения, содержащие дробные показатели, можно решать напрямую, используя программные комплексы Mathemati a или Jeandel S ientifi . Заметим, что впервые аналитический метод решения такого рода уравнений, появляющихся в динамических задачах наследственной вязкоупругости на основе различных моделей с дробными производными, был предложен в работах [25-27] и впоследствии развит в [c.697]

Рис. 1. Звуковые импульсы, генерируемые положительной пульсацией массового расхода (меняющегося со временем как где т = onst) в одномерном (вверху), двумерном (в середине) и трехмерном (внизу) случаях. Эти импульсы (изображенные в произвольном вертикальном маспггабе) пропорциональны расходу массы, его дробной производной порядка 1/2 и его первой производной соответственно.

Условие на гладкость возмущения. Необходимую гладкость возмущения (число его непрерывных производных) можно определить, исходя из представления о том, что инвариантные кривые существуют только вне всех резонансных областей. Если все фазовое пространство между двумя резонансал1И низшего порядка заполнено другими резонансами, разумно заключить, что инвариантные кривые здесь не существуют. Рассмотрим снова простейший случай двух степеней свободы с гамильтонианом (3.2.11). Будем считать, что невозмущенный гамильтониан зависит от J линейно, и положим oi/ og = S. Тогда расстояние между целыми резонансами по частоте 6 Oi = oj = onst и не зависит от J J (см. рис. 3.2,6). Между этими целыми резонансами расположены дробные резонансы с отношением частот и 1,402 = s + piq, где р, q — целые числа и p[c.191]

Подобная оценка верна и для трехмерной задачи Ди рихле более высокого порядка. Самое необычное, что показатель должен быть нечетным средняя ошибка в производных от и — Ф имеет дробный порядок Сама оценка тем не менее верна, и в действительности точное решение 11 уравнения на многоугольнике (которое ближе к и, чем Ф, потому что минимизирует функционал на пространстве <9ii (Q ), содержащем 5 ) тоже имеет ошибку порядка /г"/ [Б9]. При аппроксимации границы прямоугольниками, что намного грубее, порядок становится равным /г /г вычислительные результаты совершенно неудовлетворительны В этом и заключается причина использования треугольных элементов. [c.230]

Разложение в степенной ряд удобно для обобщения на особенности иного вида. Если наинизшие производные, имеющие разрывы,— это производные тп-го порядка, то степенной ряд после uf содержит члены порядка Н кpoiIe того, можно включить особенности, соответствующие разложению по дробным степеням I I или по степеням 1п 1 1. Вопросы сходимости здесь не существенны, мы используем формальные степенные ряды как способ вычисления производных, которые можно было бы получить и переходом к соответствующим пределам в уравнениях. [c.132]

О < 2а < 1 скобки следует раскрыть и заменить последний член получившегося уравнения на выражение, стоящее в правой части (3.35). При применении дробнодифференциальных выражений нет нужды прибегать к анализу таких деталей. Дробные производные и интегралы (3.30) от указанных выше обобщенных функций определены, как уже было отмечено, для любьгх действительных показателей порядка, тем не менее, за этими деталями скрываются специфические свойства ре- [c.141]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...