Теоремы о характеристических числах

ТЕОРЕМЫ О ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЛАХ [c.259]

Теоремы о характеристических числах [c.259]

Теоремы о характеристических числах интегральных уравнений задачи (Л) и (51). В условиях гипотезы (7.3) в статическом случае о) = 0 можно для интегральных уравнений задач (Л) и ( 1) доказать ряд теорем о характеристических числах, имеющих важные применения (см. 12 гл. IX). Для ш = 0 уравнение (7.1) обращается в следующее уравнение [c.212]

Прежде чем доказывать теорему, сделаем несколько замечаний. Значение сформулированной теоремы состоит в том, что она не использует непосредственной информации о характеристических числах матрицы Л или характеристическом (минимальном) многочлене [c.63]

Теорема. Внутренняя однородная задача колебания (1)о имеет дискретный спектр собственных частот, являющихся характеристическими числами интегрального уравнения [c.289]

Теоремы о простоте полюсов резольвенты. В 4 главы VI было доказано, что характеристические числа сингулярных интегральных урав нений основных задач (первой и второй) статики являются простыми полюсами резольвент. [c.297]

Показано (теорема Фредгольма [27]), что если параметр X достаточно мал ( Я < А,о ), где Я,, — наименьшее характеристическое число ядра к, то уравнение (3.94) разрешимо и имеет единственное решение при любом значении свободного члена. В этом случае решение можно построить по методу последовательных приближений. [c.124]

Теоремы эквивалентности для статических задач В ) и (В2). Вследствие того что значение ш О есть характеристическое число для задачи (Г°), доказательство теоремы эквивалентности для задачи В , которая, естественно, содержит элементы задачи (Г ), несколько отличается от доказательства, которое было дано в 8 в динамическом случае, когда предполагалось, что ш отлично от характеристических значений. Для задачи (В1) это различие не имеет места, и для нее теорема эквивалентности следует непосредственно из результатов 8. Поэтому здесь мы подробно рассмотрим задачу (В2). [c.243]

Выберем число ае так, чтобы для j = 1, 2,..., к выполнялись неравенства О < ае < 2rj. Тогда при достаточно малых /х функция W будет определенно-отрицательной. Но функция У, очевидно, знакопеременная и, следовательно, не является знакопостоянной, противоположного с W знака. На основании второй теоремы Ляпунова о неустойчивости получаем отсюда вывод о том, что при наличии хотя бы одного корня характеристического уравнения с положительной вещественной частью невозмущенное движение неустойчиво. Теорема доказана. [c.532]

В качестве треугольника АВС может быть взят любой характеристический треугольник с вершиной на звуковой линии. В работах [150, 151 было доказано [19], что если профиль на дуге АВ изменен сколь угодно мало (и гладко), то непрерывное течение с тем же числом М о вокруг нового профиля невозможно (этот результат сильнее приведенной в 3 теоремы [70]). Тем самым аргументу Франкля был придан строгий смысл. [c.172]

Теорема 1 ([3]). Пусть некоторая окрестность изолированной особой точки гладкого неплоского векторного поля о с характеристической траекторией не содержит счетного числа эллиптических секторов без общих внутренних точек. Тогда эта особая точка имеет окрестность, распадающуюся в конечное объединение параболических, эллиптических и гиперболических секторов поля V, не имеющих общих внутренних точек. [c.91]

В этом параграфе будет доказано несколько теорем о характеристических числах уравнений (I )- и (11)= =. Эти теоремы обобщают для классической теории упругости известные теоремы о характеристических числах интегральных уравнений граничных задач Дирихле и Неймана. [c.259]

Прежде чем привести доказательство сформулированной теоремы, сделаем некоторые замечания. Упрощение решения системы (4.15) по сравнению с решением исходной возмущенной системы (4.13) происходит за счет расщепления подсистемы на т подсистем меньшей размерности. Для приведения централизованной системы (4.14) к квазидиагональному виду (4.15) используется лишь информация о характеристических числах матрицы Л системы нулевого приближения = х Л, так как вычисление матриц ... не [c.161]

С. В. Болотин указал интересное применение теоремы 2 в динамике твердого тела. Речь идет о возмущении приведенной задачи Лагранжа, рассматривавшейся в п. 2. Если постоянная площадей равна нулю, то характеристические числа неустойчивого равновесия оказываются вещественными, и поэтому теорема Деванея неприменима. В [29] показано, что если тензор инерции не шаровой, и центр масс тела несколько смещен относительно оси динамической симметрии (при этом его г-координата отлична от нуля), то возмущенная задача Лагранжа допускает не являющуюся главной трансверсальную гомоклинную траекторию к слабо нерезонансному положению равновесия. Для построения нужной траектории используются идеи теории возмущений (см. 1). Эта задача обсуждается также в работе [51]. [c.301]

Последние работы Каменкова (1966—1967) посвящены исследованию устойчивости периодических движений. Здесь доказана общая теорема о том, что задача об устойчивости периодических движений в случаях, несущественно особенных, всегда приводится к задаче об устойчивости равновесия. Анализируются различные случаи, которые могут при этом представиться. Если среди корней характеристического уравнения имеются по модулю равные единице и выполняются условия отсутствия резонанса в числах до порядка N включительно, то подсистема с 2р переменными, соответствующая этим корням, преобразуется в подсистему с р нулевыми корнями с р группами решений. Если же условия отсутстви я резонанса не выполняются, то каждой паре мнимых сопряженных корней соответствует в преобразованной системе два нулевых корня. Каменков (1967) обобщает свои ранее полученные результаты по принципу сведения на системы с периодическими коэффициентами, а также на системы с произвольными непрерывными и ограниченными коэффициентами. Разработанный Каменковым принцип сведения основан на существовании для укороченной системы функций Ляпунова или Четаева, вследствие чего [c.59]

Теорема 4.4. Пусть Л — матрица простой структуры с характеристическими числами. .., кт кратностейг1,. .., Гт и кег ф О, кег й оо = 0 тогда централизованная система (4.1) имеет вид [c.208]

Ил ус.човий теоремы следует, что а., положение равновесия изолированное). Поэтому среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один с поло-пштельной вещественной частью (слт. пояснение к формулам (4.23)). Доказательство теоремы следует теперь из теоремы Ляпунова о неустойчивости движения по уравнениям первого приближения (см. 4.3), и того обстоятельства, что свободный член flj,, характеристического уравнения не зависит от гироскопических сил. [c.172]

Обсудим теперь задачу о наличии у системы (4.17) дополнительных первых интегралов, полиномиальных по и и г . Легко видеть, что каждый такой интеграл является конечной суммой квазиоднородных полиномиальных интегралов, степени квазиоднородности которых по переменным ик. V равны соответственно 1 и 2. Итак, пусть Г и,ь) — квазиоднородный интеграл системы (4.15) степени т. Согласно теореме 1 3, если точка щ = [/ , Vi = Vi, где /7 , Vi определяются из (4,17), не является критической точкой функции Г, то число т совпадает с одним из указанных выше характеристических корней р. Следует отметить, что не все интегралы удовлетворяют этому условию исключение составляют тривиальные интегралы Ф из серии (4.16). Екли имеются к квазиоднородных интегралов одной и той же степени т, независимых в точке и, ь) = и, V), то корень р = т имеет кратность не менее к. [c.356]

Таким образом, в седловом случае, для существования хаотических траекторий требуются дополнительные условия. Достаточные условия были получены Тураевым и Шильниковым [29]. В этой работе показано, что если существуют 3 трансверсальные гомоклинические траектории к седловому положению равновесия с различными характеристическими показателями, и если они не принадлежат сильно устойчивому С или сильно неустойчивому С многообразиям, соответствующим больгиим по модулю собственным числам =ЬЛ2, то гамильтонова система имеет хаотические траектории. Следующая теорема является вариационным аналогом этого результата. Вместо предположения о существовании нескольких трансверсальных гомоклинических траекторий будет сделано предположение геометрического характера. [c.155]

В главе 3 изучается устойчивость гамильтоновой системы с одной степенью свободы и 2я-периодической по времени функцией Гамильтона. К такой системе может быть, например, приведена задача об устойчивости периодических движений круговой ограниченной задачи трех тел, отличных от точек либрации. Предполагается, что линеаризованная система устойчива, а ее мультипликаторы различны. Частные случаи этой задачи рассматривались в классических исследованиях Леви-Чивита и в недавних работах Зигеля, Мермана, Каменкова и Мустахишева. В главе 3 рассматриваются как нерезонансный, так я резонансный случаи (когда характеристические показатели + X таковы, что число кХ будет целым при произвольном целом к > 3). Исследование основано на приведении функции Гамильтона к нормальной форме и последующем применении теоремы Ляпунова о неустойчивости и теоремы Мозера об инвариантных кривых [72]. Получены условия устойчивости и неустойчивости. [c.11]

КРИТЕРИИ ОТРИЦАТЕЛЬНОСТИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧАСТЕЙ КОР-0Й ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ. Как следует из теорем Ляпунова, для суждения об устойчивости движения по первому дриближению необходимо иметь в своем распоряжении точные сведения о знаках вещественных частей корней характеристического уравнения. Иначе говоря, нужно знать, как расположены [ орни характеристического уравнения на комплексной плоскости относительно мнимой оси. Когда все корни характеристического уравнения лежат слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные вещественные части, полином, соответствующий развернутому определителю характеристического уравнения, называется ус-щойчивым полиномом. Решить вопрос об устойчивости или неустойчивости полинома можно без предварительного вычисления его корней с помощью специальных критериев устойчивости, предложенных Э. Раусом, А. Гурвицем, X. Найквистом, А. В. Михайловым [113] и др. В основе этих критериев лежат известные теоремы Коши о числе корней функции внутри замкнутого контура. Некоторые из таких критериев дают возможность не только установить распределение корней полинома на комплексной плоскости, но также и определить необходимые изменения параметров системы, для того чтобы сделать ее движение устойчивым. [c.451]

Смотреть страницы где упоминается термин Теоремы о характеристических числах : [c.32] [c.185] [c.382]

Смотреть главы в:

Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости Изд2 -> Теоремы о характеристических числах

ПОИСК

Г характеристическое

Теоремы о характеристических числах интегральных уравнений задач (А) и (Вх)

Число характеристическое

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...