Эквивалентные пары. Момент пары как вектор

Теорема 4. Если на данное твердое тело действуют две или несколько пар сил, плоскости действия которых расположены как угодно в пространстве, то их совокупное механическое действие на тело эквивалентно действию одной пары сил, вектор-момент которой равен геометрической (векторной) сумме моментов данных пар. [c.315]

Покажем, что геометрическая сумма моментов составляющих пар сил равна моменту эквивалентной пары. Так как момент пары сил является свободным вектором, перенесем моменты составляющих пар сил Ml и в точку В и сложим их, построив на этих моментах параллелограмм. [c.44]

Второй подкласс. Пусть задана какая-либо система А из этого подкласса. У нее / = О, но М 0. Поставим ей в соответствие другую систему А, состоящую из двух векторов, образующих пару, момент которой в точности равен /И системы А. У пары по определению/ = О, и поэтому у системы А как / , так и /И совпадают с и М заданной системы А. В силу теоремы 7 заданная система А эквивалентна системе А. Поэтому всякая система из второго подкласса эквивалентна паре. [c.354]

Вектор <0, определяемый равенством (11), называется моментом пары так как он может быть приложен в любой точке тела, то это вектор свободный. Следовательно, пара мгновенных угловых скоростей эквивалентна мгновенной поступательной скорости, равной моменту этой пары. [c.144]

Из доказанных трех теорем вытекает, что 1) вектор-момент пары может быть переносим в любую точку пространства и, следовательно, есть вектор свободный, и 2) пары, имеющие равные векторы-моменты, эквивалентны, так как на основании доказанных теорем одна из этих пар может быть всегда преобразована в другую. [c.231]

Моменту пары сил соответствует момент пары вращений, выражающий скорость поступательного движения, эквивалентного кинематически данной паре вращений. Процесс приведения системы скользящих векторов к простейшей системе одинаков как в статике, так и в кинематике. Поэтому сформулируем общий вывод совокупность какого угодно числа одновременных вращений и поступательных движений твердого тела можно привести к двум одновременным движениям к вращательному и поступательному. [c.199]

В силовых расчетах систему сил и моментов сил, действующих на звено, удобно сводить к эквивалентной системе — одной силе и одной паре сил. Для этого определяют главный вектор всех сил, действующих на звено, и прикладывают его в любой точке звена, называемой точкой приведения. Чтобы равновесие системы не нарушалось, при переносе каждой силы необходимо добавить пару сил, момент которых равен моменту переносимой силы относительно точки приведения. Главный момент системы сил определяется как сумма моментов внешних сил и моментов пар сил, добавленных при переносе сил в точку приведения. [c.254]

Как уже было отмечено, определяемое решение соответствует некоторому специальному заданию внешних силовых воздействий на So и Si. Покажем, что эти воздействия статически эквивалентны паре с некоторым моментом М, параллельным оси Ох . В самом деле, проекция главного вектора внешних воздействий на Oxi равна [c.67]

Доказательство. Согласно (2.2) и теореме, выраженной в (1.28), главный момент пары равен векторному моменту пары. Так как по условию теоремы векторные моменты двух пар равны, то равны их главные моменты. Главные векторы всех пар равны, так как каждый из них равен нулю. В силу теоремы об эквивалентности эти пары эквивалентны, что и требовалось доказать. [c.57]

Доказательство. Возьмем пару с моментом /и = й/к, где nil, — векторный момент к-й пары (f = 1, 2. ..). Так как главный момент пары равен ее векторному моменту, то имеем равенство главных моментов заданной системы пар и взятой нами одной пары. Главные векторы, как величины равные нулю, также равны. Теорема доказана. Условия теоремы об эквивалентных системах сил удовлетворены. Итак, [c.58]

Доказательство. Пусть дана сила приложенная в точке А (рис. 43). Затем возьмем систему, состоящую из силы Рд, приложенной в произвольной точке В, равную по модулю силе Р , ей параллельной и одинаково с ней направленной, и, кроме того, возьмем пару с векторным моментом т = в(Руд- Тогда по теореме об эквивалентности Р с Рд и паре с моментом th — Йд(Р , так как равны главные векторы этих систем и их главные моменты относительно точки В. Теорема доказана. Модуль IHb(P = P h. Плоскость пары т лежит в плоскости сил P, и Р . Произвольная пространственная система сил эквивалентна одной силе, приложенной в произвольно выбранном центре приведения О и равной главному вектору системы и одной паре, момент которой равен главному моменту [c.59]

Оба вращения х и параллельны и не образуют пари. Система этих двух векторов эквивалентна одному единственному вектору Асо, получаемому по известному правилу (п. 31). Следовательно, результирующий момент относительно точки М. равен моменту результирующего вектора Ам. Скорости различных точек тела будут, как и раньше, такими, как если бы тело совершало только вращение м (рис. 42, б). [c.68]

Система векторов эквивалентна одному вектору о>, проходящему через произвольную точку О, и паре с вектором момента OVg. Следовательно, скорости точек тела Sn будут такими же, как если бы это тело [c.69]

Две пары, осевые моменты которых геометрически равны, эквивалентны друг другу, так как они имеют один и тот же главный вектор (нуль) и одинаковые главные моменты. [c.27]

Таким образом, пара вращений эквивалентна мгновенно поступательному движению со скоростью V, равной моменту пары. Вектор v — свободный вектор, так как он может быть приложен в любой точке тела (все точки тела имеют одинаковую скорость v). Скорость v перпендикулярна плоскости пары и направлена так, что наблюдатель с конца V видит векторы пары ji и с 2 указывающими на вращение плоскости пары против часовой стрелки. Если ввести [c.81]

Наоборот, всякое мгновенно поступательное движение тела может быть (бесконечным числом способов) заменено на пару вращений, плоскость которой перпендикулярна v, а плечо пары d и модули vi и 0 2, равные Сс , связаны соотношением (9). Направления ji и 0 2 выбираются так, чтобы момент эквивалентной пары был направлен так же, как вектор V. [c.81]

Эта теорема сразу следует из теоремы п. 66 об эквивалентности систем сил, приложенных к твердому телу, так как у двух пар главные векторы равны (каждый из них равен нулю), а главные моменты (т. е. моменты пар) равны по условию. [c.134]

Теорема (Пуансо). Произвольная система сил, приложенных к твердому телу, эквивалентна системе, состоящей из одной силы, приложенной в какой-либо точке О тела центре приведения) и равной главному вектору R данной системы сил, и одной пары, момент которой равен главному моменту Мо всех сил относительно точки О. [c.135]

М 7 0. в этом случае система эквивалентна паре. Так как модуль и направление главного вектора во всех случаях не зависят от выбора центра приведения, то в рассматриваемом случае величина и знак главного момента тоже не зависят от центра приведения, ибо одна и та же система сил не может быть эквивалентна различным парам. [c.48]

Итак, если главный вектор данной плоской системы сил равен нулю, а ее главный момент относительно какого-нибудь центра не равен нулю, то эта система эквивалентна паре сил, причем главный момент системы в этом случае не зависит от выбора центра приведения. [c.108]

Полученную пару располагаем так, чтобы одна из сил пары была приложена к точке приведения О и направлена в сторону, противоположную силе / . В нашем случае (рис. 43, а) главный вектор момента направлен от центра приведения О вверх, поэтому вращение пары надо взять по направлению часовой стрелки. Вторая же сила пары будет приложена в точке О, расположенной вправо на расстоянии й от центра приведения О. В результате две силы, приложенные в точке О, как равные и направленные в противоположные стороны, взаимно уравновесятся остается лишь одна сила R, приложенная в точке О. Сила R, приложенная в точке О, удет эквивалентна силе/ , приложенной в точке О (центре приведения), и моменту М, так как она будет производить такое же действие на твердое тело, как сила R и пара RR, вместе взятые. Короче говоря, мы заменяем силу R и пару RR одной силой R, но приложенной в другой точке О. Мы приняли, что система сил, как угодно расположенных в плоскости, эквивалентна силе/ и паре RR. Отсюда приходим к выводу, что сила R, приложенная в точке О, эквивалентна системе сил она будет равнодействующей всех сил, расположенных как угодно на плоскости, т. е. [c.34]

Это основное заключение позволяет в течение нескольких лекционных минут изложить свойства пар сил, действующих на абсолютно твердое тело. С энергетической точки зрения действие пары сил на абсолютно твердое тело определяется ее моментом — свободным вектором. Согласно определению эквивалентных систем сил, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентными будут и пары сил, имеющие равные моменты. Отсюда и из определения момента пары сил как [c.70]

Сложение пар. Пусть даны две пары, определенные соответственно моментами mi и m2 (рис. 14). Рассмотрим некоторую точку О и построим свободные векторы iiii и mj с началом в О. Пусть прямая ОА лежпт на пересечении плоскостей, ортогональных к моментам nil и Шз и проходящих через точку О. Построим на отрезке ОА как на плече эквивалентные заданным пары скользящих векторов (Fi, —Fi) и (Fa, —Fa) соответственно с моментами mi и та. Векторы Fi и Fa, как пересекающиеся в точке А, можно сложить и получить их сумму F = Fi + Fa как скользящий вектор, приложенный в А. Если сложить нри-лож енные в О скользящие векторы —Fi и —Fa, получим в качестве их суммы скользящий вектор —F = —Fj—Fa, приложенный в О. В результате получим пару скользящих векторов F и —F, приложенных соответственно в Л и О момент этой пары равен иа основание 2 [c.19]

Момент пары. Преобразование пар. Моментом данной пары называется вектор, равный по величине произведению величины одной из сил пары на плечо этой пары, т. е. на расстояние между линиями действия сил пары. Этот вектор направлен по перпендикуляру к плоскости пары в ту сторону, с которой наблюдатель, смотрящий с конца этого вектора на пару, видел бы обе силы пары направленными против часовой стрелки относительно середины плеча этой пары (фиг. 7). Что касается точки приложения этого вектора (его начала), то эта точка может быть выбрана произвольно, т. е. момент пары есть вектор свободный. Эффект действия пары на данное твёрдое тело вполне определяется её вектором-моментом. Отсюда следует 1) если две пары имеют равные векторы-моменты (т. е. равные по величине, параллельные и направленные в одну сторону), то эти пары эквивалентны, т. е. производят на данное твёрдое тело одинаковое действие и потому могут быть заменены одна другой 2) не изменяя действия данной пары на тело, можно производить всякие преобразования этой пары, при которых её вектор-мо.мент ос- -таётся неизменным. Поэтому данную пару можно как угодно перемещать в её плоскости пару можно переносить в другую плоскость, параллельную плоскости этой пары величину сил и плеча данной пары можно изменять, но так, чтобы величина её момента оставалась неизменной. [c.359]

Следовательно, результатирующее движение тела буц, т поступательным (или мгновенно поступательным) движением со скоростью, численно равной a>i-AB и направленной перпендикул рно плоскости, проходящей ч рез векторы oi и со2 направление вектора v определяется так же, как в статике определялось направление момента т пары сил (см. 9). Иначе говоря, пара вращений эквивалентна поступательному (или мгновенно поступательному) движению со скоростью V, равной моменту пары угловых скоростей этих вращений. [c.171]

Из теоремы о приведении системы сил к силе и паре сил можно вывести условия равновесия системы сил, действующих на тело. Очевидно, что, если система сил находится в равновесии, то в равновесии находится и эквивалентная ей система, состоящая из силы и пары сил. Чтобы такая система сил была эквивалентна нулю, необходимо и достаточно равенства нулю как силы Я, так и момента пары (Ф, Ф ), равного главному моменту Яд. Получаются следующие векторные условия равновесия произвольной системы сил для равновесия системы сил, прилоохенмых к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор систс.ны сил равнялся нулю а главный момент системы сил относительно любого у центра приведения такзхе равнялся нулю. 11наче, для того чтобы Р , , Р,,) сл> О, необходимы и достаточны условия [c.42]

Если главный вектор равен нулю при приведении к одному какому-либо центру, то он равен нулю к при приведении к любому другому центру, так как главный вектор, являясь векторной суммой сил системы, не зависит от выбора центра приведения. Главный момент пе зависит от центра приведения только в случае, когда 7 = 0. В других случаях главный момент системы зависит от выбора центра приведения. Если бы при / = о главный момент зависел от центра прн-недения, то одна и та же плоская система сил была бы эквивалентна парам сил, имеющим разные алгебраические моменты, что невозможно, так как эквивалентные пары сил, лежащие в одной плоскости, имеют одинаковые алгебраические моменты. [c.46]

Из доказанных свойств непосредствепно следует, что две пары, у которых моменты равны и одинаково направлены, эквивалентны между собой. Это предложение позволяет пару скользящих векторов изображать моментом пары, вводить в рассмотрение вместо пары ее момент и по доказашюму момент пары понимать как свободный вектор. [c.19]

Так как главный вектор силы равен самой силе, а главный момент пары равен моменту пары, то в силу теоремы об эквивалентности систем сил получаем ( i, Р ,. .., P ooRq и паре с моментом Mq. [c.60]

В самом деле, система, составленная из указанных пектора и пары, имеет в точке О те же самые главный вектор R и главный момент G, как и система 5 она эквивалентна, таким образом, системе S. [c.28]

Мы пришли, таким образом, к заключению, высказян-ному в виде теоремы в начале настоящего параграфа. Так как мгновенное поступательное движение эквивалентно паре вращений, движение твердого тела может быть разложено на три вращения, из которых два составляют пару, тогда скорости точек тела представляют собой результирующие моменты системы, состоящей из трех векторов угловых скоростей. [c.73]

Если а —О, то и второй инвариант a-L станозится нулём. Так как главный вектор системы — нуль, то система или эквивалентна нулю, или эквивалентна паре с моментом , равным главному моменту системы последний в данном случае не зависит от положения полюса. [c.28]

Замечание. О невозможности приведения пары сил к равнодействующей. Проведем доказательство от противного. Пусть пара сил (р1, р ) приводится к равнодействующей К, приложенной к какой-либо точке А тела. Тогда эта пара и сила К (К =—К), приложенная в точке А, эквивалентны нулю (рис. 4.5). На основании только что доказанного павный вектор и главный момент этой системы должны быть равны нулю. Примем за центр приведения точку А, тогда главный момент О н равен моменту пары [c.62]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...