Матрицы и матричные группы

Матрицы и матричные группы [c.48]

Можно также привести примеры соответствия многих элементов групп S3 и Оз с одним элементом двух групп одномерных матриц. Рассмотрим матричные группы [c.54]

Найдем в качестве примера матрицы преобразований симметрии, матричные представления и характеры групп Се и Оз, свойства которых описаны в начале данного параграфа. [c.136]

Покажем возможность использования матричного преобразования координат для составления блок-матриц и К . Пусть для симметричной системы составлена полная динамическая матрица К . Разделяя, как и ранее, перемещения на две самостоятельные группы (симметричные и кососимметричные), получаем для г-го узла [c.14]

Прочность материала при растяжении в направлении, перпендикулярном направлению армирующих волокон (трансверсальная прочность), определяли на специально изготовленных образцах — пластинах длиной 150 мм и шириной 25 мм. Установлено, что величина трансверсальной прочности существенно зависит от состава матрицы и типа армирующих волокон (табл. 7). При исследовании изломов образцов выявлено, что разрушение композиционного материала при трансверсальном нагружении инициируется в матрице на включениях, формирующихся вследствие спонтанной очистки поверхности углеродных волокон матричным расплавом при пропитке,, т. е. вследствие взаимодействия расплава с функциональными группами па поверхности волокна. [c.380]

Устройства ввода могут быть устройствами сканирующего типа и матричными (параллельного действия). В первом случае они со.держат датчик, измеряющий энергию аналогового сигнала в пределах одной элементарной площадки и перемещающийся по полю, сканируя его площадка за площадкой, каждой из которых соответствует отсчет цифрового сигнала. Во втором случае имеется сразу несколько датчиков, расположенных в виде прямоугольной матрицы, которые дают одновременно группу отсчетов. В настоящее время ввиду того, что технологически трудно изготовить большую матрицу параллельных датчиков, обычно сочетают параллельное измерение на небольшой площади и сканирование всей матрицей. Матричные устройства обладают в принципе большим быстродействием, но требуют параллельного ввода данных в цифровой процессор либо устройств коммутации сигналов иа их выходе. [c.50]

Для того чтобы работать с матричными группами, необхо димо иметь представление о матрицах и умножении матриц. Поэтому здесь приводится сводка наиболее важных определе-ний. Матрица —это определенным образом упорядоченная таб лица чисел (называемых ее элементами), расположенных в столбцах и строках например, [c.48]

Читатель может составить таблицу умножения для этой группы и убедиться, что все четыре групповые аксиомы выполняются. Из равенства (4.8) видно, что две последние матрицы в этой группе обратны (или взаимны) одна другой. Первые четыре матрицы в этой группе симметричны и, так как обратные им матрицы равны им самим, являются ортогональными. Поэтому в этой матричной группе все матрицы ортогональны. [c.52]

Эти группы состоят из одномерных матриц, и поэтому матричное умножение сводится к простому алгебраическому умножению. Гомоморфное соответствие групп S3 и D3 этим матричным группам имеет вид [c.55]

Новая матричная группа изоморфна группе Гз с соответствием Mr — A WrA и т. д. Поэтому новый набор матриц будет также изоморфен группам S3 и D3 и образует точное их представление. Говорят, что два представления, связанные преобразова [c.55]

Решение. Новой матричной группой, полученной из Гз [матрицы даны в том же порядке, что и в (4.25)], будет группа [c.56]

Совокупность элементов (58.6) мы обозначим через Ш к) и назовем группой приведения для вектора к . Очевидно, представление является лишь гомоморфным отображением группы но часто представляет собой изоморфное отображение группы 9 (й). Так, набор матриц )( ) м (2), где 7 —элемент группы Ш к), образует матричную группу, замкнутую относительно матричного умножения. Далее, набор (2) задает матричное представление для совокупности абстрактных элементов Ш к), определенной в (58.6). Поэтому соотношение [c.150]

Точно таким же образом можно теперь определить ядро представления )( )(/ ) обозначим его через )(/ ). Можно так же рассмотреть и группу Я (Л )- Трансляции, входящие в группу Ш к ), могут либо совпадать, либо не совпадать с трансляциями из группы 9 ( ). Можно, наконец, построить группу Ш к"), соответствующую неприводимому представлению /)( ") (т") в таком случае мы получим три отдельные группы матриц, каждая из которых задает представление совокупности абстрактных элементов 91 (Л), Я (Л ) или 31(Л")- Эти матричные группы несут существенную (не избыточную) информацию о [c.150]

Представлением группы называется совокупность матриц, таблица умножения которых совпадает с таблицей группы. Представление группы обозначается как О (/ ), где О есть матрица, соответствующая операции симметрии Я. Величины Оц (Я) при различных значениях индексов / и / представляют собой матричные элементы матриц представления. Каждой операции симметрии соответствует некоторая матрица. Совокупность всех этих матриц и образует представление. Выше было указано, что таблица умножения для представления должна быть такой же, как для группы. Произведение матриц представления определяется обычным правилом перемножения матриц. Это означает, что для любых двух элементов группы / 1 и Яг, произведение которых равно Яз, т. е. [c.32]

В приведенном выше примере мы не случайно остановились на гомоморфизме (представлении) группы движения звеньев группе матриц, так как такой гомоморфизм дает возможность эффективного использования аппарата матричного исчисления для числового решения различных задач исследования и синтеза механизмов, Среди многочисленных известных разновидностей групп для теории механизмов представляют, в частности, интерес группы [c.50]

В предыдущем параграфе были приведены операторы (6) и (7), представляющие группу вращений трехмерного пространства в виде матриц 3-го порядка, каждая из которых имеет девять компонентов. Матричные операторы группы вращений звеньев [c.52]

Наиб, важными примерами ГЛ являются Г, GL (п, R) всех невырожденных (обратимых) га х матриц с веществ, элементами и Г. GL ( , С) всех невырожденных пх матриц с комплексными элементами. Координатами в этих Г. могут служить сами матричные элементы. Поэтому GL(n, К) —это веществ. ГЛ размерности п , а GL n, С)—комплексная ГЛ размерности п (к-рую можно рассматривать как веществ. ГЛ размерности 2п ). Алгеброй Ли группы GL (п, R) [соответственно GL (п. С)] является пространство всех пхп матриц с веществ, (соответственно комплексными) элементами. Она обозначается через (п, R) [соответственно 1 (и, С)1. [c.543]

Таким образом, матричное представление D, порождаемое функциями Ф , получено из представления D, порождаемого функциями преобразованием подобия (5.61) с матрицей Л поэтому эти представления эквивалентны. Это означает, что представление, порождаемое собственными функциями конкретного вырожденного энергетического уровня, является единственным (с точностью до преобразования подобия) и может быть однозначно приведено к его неприводимым компонентам. Поэтому энергетические уровни можно классифицировать по неприводимым представлениям группы симметрии, и эта важная характеристика используется для того, чтобы различать уровни энергии. [c.77]

Введение. Существующие направления в локальной теории рассеяния элементарных частиц можно условно объединить по степени использования ненаблюдаемых величин (матричных элементов вне массовой поверхности) в следующие три группы. Это, прежде всего, динамический (лагранжев) метод, копирующий в своей основе нерелятивистскую квантовую механику и дающий подробное пространственно-временное описание процесса рассеяния. Далее, это аксиоматический метод, опирающийся на определенную систему аксиом с одной из них — аксиомой причинности — связан выход за массовую поверхность. Наконец, это дисперсионный метод (метод матрицы рассеяния), получивший развитие в последние годы и имеющий дело только с наблюдаемыми величинами. [c.32]

Пусть E t) — решение матричного уравнения S = A t)E с начальным условием H(io) = Е. Продолжим аналитически функцию 5i(i) в окрестность точки to вдоль пути Л, соединяющего точки to и ti. Положим Л = S(ii). Пусть 7 = A i7A — путь с началом в точке ti и Ту—соответствующая матрица из группы G ti). Нетрудно проверить, что Ту = ЛТ Л 1, где Ту G G to) (ср. с 8 гл. IV). Это соотношение устанавливает изоморфизм групп G to) и G ti). В частности, спектр матриц из группы монодромии G t) не меняется при варьировании t X. [c.359]

В матричном соотношении (4.3.12) целесообразно выделить, две группы матриц, связанных с углами х и 0. [c.277]

СО всеми другими матрицами Ms группы. Легко показать, что все матрицы Мр, получаемые таким путем, принадлежат этой же группе согласно групповым аксиомам, обе матрицы MrMs и МГ и, следовательно, матрица M7 (MrMs) должны принадлежать той же группе. Далее, так как преобразование подобия типа (4.46) не должно изменять характер матрицы, то Mr и Мр должны иметь один и тот же характер. О двух матрицах в матричной группе, которые связаны как Mr и Мр в (4.46) преобразованием подобия, включающим другую матрицу (здесь Ms) группы, говорят, что они являются сопряженными и принадлежат одному классу. [c.61]

Мы уже указывали, что каждая группа G характеризуется таблицей умножения. Если элементы группы представлены какими-либо числами, символами, функциями, матрицами и т. д., имеющими такую же таблицу умножения, что и элементы группы, то совокупность этих чисел, символов, функций, матриц и т. д. называется представлением группы. Среди них особую роль играют матричные представления, и представлением группы обычно называют именно представление в виде квадратных матриц, гомоморфное или изоморфное группе G. Важное свойство представлений— при реализации представления абстрактных групп в виде системы (группы) матриц умножение последних по обычным правилам для матриц приводит к тем же соотношениям, что и представляемая группа. Отображение элементов абстрактной группы на матричную не обязательно должно быть взаимно-однозначным, однако оно по крайней мере гомоморфно. Если же это представление изоморфно группе, то оно называется точным, или истинным, или основным. Размерность матриц называется размерностью представления. [c.134]

Логическим следствием концепции Г. С. Калицына, заключающейся в трактовке основных понятий теории механизмов в терминах теории множеств и теории групп, является операторное представление преобразования элементов групп движений и, в часТ ности, матричное представление. Им разработаны матричные уравнения плоских четырехзвенных механизмов — кривошипно-ползунного, кривошипно-кулисного, кривошипно-коромыслового, а также механизмов с профильными кривыми, планетарных и дифференциальных зубчатых механизмов на основе применения матриц 2-го порядка [137]. [c.137]

Важную роль играют М. в квантовой механике, где динампч. наблюдаемым величяна.м сопоставляют эрмитовы М., собств. значения к-рых соответствуют экспериментально наблюдаемым значениям этих физ. величин. При описании квантовомеханич. явлений, в к-рых участвуют частицы, обладающие спином, используют Паули матрицы и Дирака матрицы. В квантовой теории поля, где существенны разл. группы симметрии, рассматривают матричные представления групп. [c.69]

Эти матрицы выглядят более сложными по сравнению с матрн-цами, составляющими представление Гз, но нетрудно (хотя н утомительно) показать, составив таблицу умножения, что эта матричная группа изоморфна группе Гз. Поэтому эта матричная группа образует представление групп S3 и D3. Например, операторное равенство (1.22) соответствует матричному равенству [c.56]

Неприводимые (и неэквивалентные ) матричные представлен ния играют особую роль в молекулярной физике, так как они используются для классификации состояний молекул. Это очень полезный способ описания состояний, но при его применении мы часто имеем дело с приводимыми представлениями, которые необходимо редуцировать (привести) к неприводимым компонентам. Для приведения данного представления группы к неприводимым компонентам требуются только характеры матриц этого представления и характеры матриц неприводимых представлений группы. Для большинства групп, которые нас инте-ресуют, характеры неприводимых представлений протабулиро-ваны такая таблица называется таблицей характеров группы. [c.59]

Мы уже рассмотрели свойства веществ, которые применяются в качестве материала матриц для замораживания активных частиц, а также технические вопросы приготовления таких матриц. В этой главе подробно обсуждаются известные методы получения реакционноспособных частиц в исследованиях по матричной изоляции. Необходимо четко различать генерирование частиц вне матрицы с последующим их замораживанием вместе с инертным газом и получение частиц непосредственно в матрице. Эти две группы методов можно определить как "замораживание частиц, полученных вне матрицы" и "получение частиц in situ". Иногда используют также комбинирование этих двух основных методик. [c.64]

Приемники излучения и преобразователи изображения. Приемник излучения (1Ш) - важнейшая часть любого прибора ОНК. ПИ обычно делят на следующие основные группы - одноэлементные и матричные (по геометрическим признакам), и на квантовые и тепловые. Наибольшее применение в ОНК находят квантовые фотоэлектрические приемники. Для них характерна селективность спектральной чувствительности (фотодиоды, фоторезисторы, ФЭУ, ПЗС-матрицы). Тепловые ПИ (болометры, пировидиконы) имеют широкий спектральный [c.490]

В схеме сильного поля выбираются функции Т(1"(12 е"") аГЗММд, записываемые при помощи коэффициентов типа Клебша — Гордана и типа генеалогических (для группы О они вычислены в [11, 21, 39, 44—46]). Эти функции диагонализируют матрицу Укр, но еще не диагонализируют матрицу Уее (матричные элементы с одинаковыми аГЗММз, но различными п п", могут быть отличны от нуля). [c.13]

Например, при рассмотрении ортогональных преобразований, кроме векторов и тензоров, вводят спиноры и спин-тензоры, базисные объекты и к01Ш0ненты которых преобразуются с помощью некоторых матриц 4 и Вр являющихся другим (не совпадающим с alj и матричным представлением группы ортогональных преобразований пространства. [c.54]

Для определения алгебры Ли пользуются матричной реа.тнзацпей (линейным представлением) Г. пусть каждый элемент g группы G представляет собой матрицу (или, что то же, линейный оператор в конечномерной линейном пространстве). Элемент g характеризуется набором числовых параметров (координат на Г.), g = = g(x , х"). Условимся выбирать эти параметры так, чтобы единице Г. соответствовали нулевые значения параметров, e = g(0,. .., 0). Тогда и н ф и н и т е-зймальным оператором (генератором) Г. G наз. производная от ф-ции g по одному из параметров, взятая в единице Г. = [c.543]

Собственные функции оператора Й могут быть определены в результате диагонализации матрицы этого гамильтониана, записанной в базисе собственных функций Ф° гамильтониана Й°. Таким образом, каждая собственная функция Й может быть записана в виде линейной комбинации полного набора функций Ф° [см. (5.139)]. Оператор Й как часть Й преобразуется по полносимметричному представлению группы G (или любой ее подгруппы) и в соответствии с общим правилом отбора может иметь отличные от нуля матричные элементы только между функциями Ф°, преобразующимися по одному и тому же представлению группы G (или любой ее подгруппы). Поэтому типы симметрии Г собственных состояний Ф гамильтониана Й совпадают с типами симметрии соответствующих собственных состояний Ф гамильтониана Й°. Таким образом, для определения Г необходимо только классифицировать по типам симметрии базисные функции, если [c.113]

Чтобы понять, как устанавливается эта корреляция, допустим, что группа G порядка g имеет элементы Gi, G2, ... .., Gg и что ее подгруппа Н порядка h .g имеет элементы Я], Яг,, Нн). Далее предположим, что Н = Gi, Я2 = G2,.... .., Hh — Gh- Любое неприводимое матричное представление группы С, например Г , будет матричным представлением для подгруппы Н при учете только матриц, соответствующих элементам Gi, Gq,. .., Gh группы О. Это матричное представление Н будет в обпюм случае приводимым, в котором неприводимое представление, например Г/, подгруппы Н содержится ог раз, [c.239]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...