Общий случай возмущающей силы

В предыдущих параграфах была рассмотрена возмущающая сила, представляющая собой частный случай силы Q( , определенной равенством (IV.56), а именно тот случай, когда ряд Фурье сводится к одной гармонике. Все основные результаты, найденные в предыдущих параграфах, непосредственно распространяются на общий случай возмущающей силы, определенной равенством (IV.56). Это вытекает из основных теорем об интегрировании линейных неоднородных дифференциальных уравнений. Как известно, в случае, если правая часть неоднородного уравнения является суммой некоторых функций и если найдены частные решения вспомогательных неоднородных уравнений, правые части которых равны слагаемым указанной выше суммы, то сумма частных решений вспомогательных дифференциальных уравнений ) будет частным решением основного дифференциального уравнения ). [c.350]

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ СИЛЫ 37 [c.37]

Общий случай возмущающей силы. Решение наиболее общего уравнения [c.37]

А. Н. Крылов дал оценку динамической поправки для более общего случая возмущающей силы, когда Р (0) = 0 и кривая Р (/) имеет один максимум (рис. IV.6). Обозначив максимальное значение Р (t) через Ршах. получим [c.198]

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ силы ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС 105 [c.105]

Резонанс. В случае, когда p=k, т. е. когда частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний, имеет место так называемое явление резонанса. Формулами (86), (88) этот случай не описывается, но можно доказать, что размах и вынужденных колебаний при резонансе будут со временем неограниченно возрастать так, как это показано на рис. 262. Подробнее общие свойства вынужденных колебаний (и, в частности, резонанса) рассмотрены в конце этого параграфа (п. 3). [c.243]

Возмущающая сила. Внешние силы, действующие на механическую систему и зависящие от времени, называют возмущающими силами. Зависимость этих. сил от времени может быть различной, но обычно возмущающие силы являются периодическими функциями времени. Такие функции можно разложить в ряд Фурье и периодическая возмущающая сила в общем случае может быть сведена к частному случаю силы, изменяющейся по простому гармоническому закону, т. е. по закону синуса [c.271]

Часть обобщенной силы получается от так называемых вынуждающих, или возмущающих, сил, зависящих прежде всего от времени. Ниже рассмотрен случай гармонической возмущающей силы, когда Q изменяется с течением времени по синусоидальному закону. В общем случае зависимости от времени ее можно разложить в ряд Фурье и рассматривать дифференциальные уравнения движения для каждого из синусоидальных слагаемых. [c.413]

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его интегрирование. Для выяснения влияния линейного сопротивления на вынужденные колебания рассмотрим наиболее общий случай, когда обобщенная сила Q состоит из трех сил потенциальной = = —dil/dq = — q, линейного сопротивления Q " = —дФ/dq = —р / и гармонической возмущающей = Н sin (р1 + б). [c.443]

Рассмотрим общий случай периодической возмущающей силы (2(/). Пусть сила Q t) имеет период 2Г [c.350]

Рассмотрим общий случай вынужденных колебаний системы материальных точек, на которую действуют, кроме восстанавливающих и возмущающих сил, силы сопротивления, включающие и гироскопические силы. [c.267]

Случай, когда частота возмущающей силы не совпадает с частотой собственных колебаний, т. е. рфк. Общее решение уравнения (2) согласно теории линейных дифференциальных уравнений находится как [c.530]

Рассмотрим общий случай движения системы с одной степенью свободы около положения устойчивого равновесия, когда на точки системы действуют восстанавливающие силы Р,-, силы сопротивления 7 и возмущающие силы При наличии возмущающих сил возникают вынужденные колебания системы. [c.45]

Q8. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ СИЛЫ [c.136]

Во всяком случае, как это всегда имеет место в случае линейной неоднородной дифференциальной системы, интегрирование уравнений (41) и (42) сводится только к квадратурам всякий раз, когда удается каким-либо способом определить общий интеграл соответствующей однородной системы. В настоящем случае член Ф уравнения (42), делающий уравнение неоднородным, объединяет в себе все, что относится к возмущающей силе. С другой стороны, однородная система, зависящая исключительно от уравнения (28") основной задачи, дает в силу этого последнего уравнения так называемые уравнения в вариациях, которыми мы будем заниматься в общем случае в 5 гл. VI. Мы увидим тогда, что если известен общий интеграл какой-нибудь дифференциальной системы, то из него можно получить посредством одного только дифференцирования общий интеграл соответствующих уравнений в вариациях. Применяя к нашему случаю это замечание и вспоминая сказан- [c.114]

Задаваясь гармоническим законам изменения возмущающей силы, что соответствует наиболее неблагоприятному случаю периодически повторяющихся внешних воздействий, раскачивающих автомобиль, и считая, что колебания передних и задних точек кузова независимы (р = аЬ), можно найти общие решения уравнений (132). [c.29]

Аналогичное рассуждение может быть применено и к общему случаю смещения, произведенные возмущающей силой, поддаются определению во всех случаях, когда свободные колебания системы известны. [c.277]

Поэтому явление резонанса будет происходить для всех тех длин канала, для которых основной период собственных колебаний в целое число раз превышает период возмущающей силы. Это обстоятельство является частным случаем общего закона резонанс происходит, если один из периодов собственных колебаний жидкости в данном сосуде в целое число раз превосходит период возмущающей силы (в нашем случае все периоды собственных колебаний являются целыми частями основного периода, поэтому если какой-либо период собственных колебаний является целым кратным периода возмущающей силы, то и основной период будет его целым кратным). [c.526]

Общий случай действия возмущающих сил. Разложение решения по собственным формам [c.317]

При равенстве абсолютных величин и Х2 центр поворота. удаляется в бесконечность и возникает частный случай поступательных горизонтальных колебаний (см. рис. У1.11—У1.13). Другого рода частные случаи получаются, когда щ = п или П2=Пщ, т. е. когда один из видов колебаний находится в резонансе с возмущающей силой. В этих случаях резонансные колебания теоретически бесконечно преобладают над остальными и общий центр вращения 3 совпадает с полюсом 2 или 1. [c.214]

Ограничиваясь в дальнейшем рассмотрением случая периодических возмущающих сил, будем предполагать, что З у, 8 — заданные периодические функции времени с общим периодом Т. В таком случае, как видно из только что написанной формулы, и обобщенные возмущающие силы будут заданными функциями времени с тем же периодом. [c.463]

Общее решение этого уравнения состоит из двух частей одна из них описывает свободные колебания, другая — вынужденные. Свободные колебания будут постепенно затухать вследствие влияния демпфирования. Вынужденные колебания для случая линейного уравнения будут представлять собой наложение установившихся вынужденных колебаний, обусловленных каждым членом ряда (1.58). В свою очередь, эти последние колебания можно исследовать точно так же, как в п. 1.9. Отсюда можно сделать вывод, что большие вынужденные колебания могут возникнуть, когда период одного из членов ряда (1.58) совпадет с периодом собственных колебаний системы, т. е. если период Т возмущающей силы будет либо равен точно, либо кратен периоду Тд. [c.89]

Прежде чем перейти к случаю k = s(o, рассмотрим так называемое явление биений, когда sa> мало отличается от к. Не нарушая общности, мы допустим, что возмущающая сила синусоидальна, т. е. состоит из одной-единственной гармоники. Общее решение уравнения (2.93) будет иметь вид [c.67]

А.Н.Крылов дал оценку динамической нонравки для общего случая возмущающей силы. Если кривая Р(1) имеет один максимум (рис.40,а), то, обозначая максимальное значение р(1) через (рис.40,6), имеем [c.98]

Этот новый метод явился желательным обогащением лите ратуры, относящейся к данному вопросу он может быть с пользой применен для определения основной собственной частоты, в особенности в вертикальном направлении, при неправильных рамах и для особо сложных случаев. Однако предложение по определению возмущающих сил было неудачно, находилось р противоречии с инструкцией и могло вызвать путаницу. Поэтому автор выступил с критическими замечаниями, в которых, пользуясь случаем, изложил в понятной для читателя форме неясные до этого положения метода Кайзера — Троше и указал удобную методику определения собственных частот вертикальных и горизонтальных колебаний, которая позднее применялась автором и получила широкое признание. Для того чтобы устранить противоречия и выработать общие правила конструирования и расчета фундаментов паровых турбин, комитет по динамике существовавшего тогда немецкого научного общества строителей под руководством автора обсудил новые предложения Кайзера и Троше при их участии и, учтя мнение нескольких машиностроительных фирм, выпустил инструкцию в дополненной редакции. Новая рвг дакция по главным пунктам почти не отличалась от первоначальной. В частности, была оставлена без изменения принятая методика определения расчетных нагрузок. Вскоре после этого автором были выпущены пояснения к инструкции, с помощью которых облегчалось применение ее на практике. В дальнейшем Элерс занимался измерениями колебаний выполненных фундаментов. Им была еще раз подтверждена максимальная величина динамической добавки (201) и поставлена задача экспери ментального определения динамического модуля упругости Е, а также затухания в железобетоне. Соответствующие опыты, по-ставленные экономической группой объединения электростанций, показали, что принятое в инструкции значение динамического модуля = 300 000 кг1см хорошо соответствует действительному. [c.235]

Наиболее часто встречается случай воздействия гармонической внешней силы. В зависимости от соотношения частот собственных колебаний системы и вынужденных, колебаний характер общего колебательного процесса системы будет различным. Если частота возмущающих колебаний мала по сравнению с частотой собственных колебаний, то частота общего колебательного процесса будет близка к 1астоте возмущающих колебаний. Если частоты возмущающих и собственных колебаний совпадают, то возникает явление резонанса. В этом случае даже небольшая возмущающая сила может вызвать колебания с чрезвычайно большой амплитудой. Если частота внешних колебаний значительно превышает частоту собственных колебаний системы, то амплитуда общего колебательного процесса становится чрезвычайно малой, так что систему можно считать неподвижной в пространстве. [c.170]

Можно еще заметить, что возможны случаи, когда полная возмущающая сила складывается из нескольких возмущающих сил различной природы и содержит не один малый параметр а, а два или несколько. Рассмотренный способ может быть распространен на этот более общий случай без всякого труда и вычисление последовательных приближений производится опять при помощи интегрирования систем линейных уравнений, обп1ее решение которых составляется почти совершенно так же, как и выше. [c.635]

Предположим сначала, что возмущающая сила не зависит явно от времени t и содержит простейшим образом (т. е. в виде множителя) некоторый малый параметр о. Тогда составляющие возмущающего ускорения будут функциями только от координат и составляющих скорости движущейся точки, имея множителем малый параметр о. Но координаты и составляющие скорости иевозмущенного эллиптического движения разложимы, как показано в гл. П, в ряды Фурье, расположенные по синусам и косинусам средней аномалии М. Поэтому таким же характером будут обладать и функции -Р, и уравнения (12.102) могут быть написаны для рассматриваемого случая в следующем общем виде [c.646]

Осциллятор, первоначально находившийся в покое. Рассмотрим, какой вид примет наше общее решение, если при /=0 осциллятор находится в положении равновесия. Начальное условие л (0)=0 дает Bi=—Л д. Теперь найдем Лх из условия, что начальная скорость X (0) равна нулю. Нас интересует случай слабого затухания, поэтому будем считать, что множитель ехр (—практически не меняется в течение любого данного цикла колебаний. Используя это приближение, легко показать, что х (0) (оЛп+со1Л1. Так как нас интересуют частоты возмущающей силы вблизи частоты резонанса, то мы просто положим Лх=—Л . Тогда [c.114]

В предыдущем параграфе был рассмотрен общий случай периодической возмущающей силы, которая может быть представлена в виде ряда Фурье. Однако для случая возмуищющей силы произвольного вида сила меняется во времени не по периодическому закону, поэтому здесь следует использовать несколько иной подход к решению задачи. [c.93]

Вынужденные колебания перехоцный процесс.— В предыдущем параграфе был рассмотрен только последний член уравнения (25), представляющий вынужденные колебания. Вообще говоря, приложение возмущающей силы вызывает также свободные колебания системы, представленные первыми днумя членами выражения (25). Таким образом, действительное движение является результатом сложения двух простых гармоиических колебаний, имеющих в общем случае различные амплитуды, различные частоты и различные фазы. В результате получается весьма сложное движение. Однако вследствие не учтенного при выводе уравнения (25) демпфирования после коро кого промежутка времени свободные колебания исчезают и остается только установинтийся процесс вынужденных колебаний, постоянно поддерживаемых действием возмущающей силы. Частный случай кривой перемещение — [c.50]

Общий случай перводической возмущающее силы. —В предыдущем рассмотрении вынужденных колебаний (см. 6 и 13) мы всюду предполагали простую гармоническую возмущающую силу, пропорциональную втл) или созо)/. В общем случае возможна возмущающая сила, являющаяся более сложной функцией времени. [c.97]

Чтовы вывести для этого общего случая уравнение, определяющее функции ff. входящие Б ряд (Ь). заметим, что виртуальная работа возмущающей силы равна [c.340]

Из достаточно общих соображений ясно, что параметры спусковой орбиты в значительной степени зависят от возможной величины заключительного импульса скорости ЛУ, Выше уже отмечалось, что самый простой случай — когда имеется практическая возможность увода КА с исходной (рабочей) орбиты путем сообщения импульса скорости нужной величины. Но эта ситуация маловероятна, даже если ие брать в расчет дефицит топлива. Подавляющее большинство КА и орбитальных станций находятся иа достаточно высоких орбитах, где действуют небольшие возмущающие силы и соответственно требуются малые управляющие воздействия. Столь же малы и всякого рода корректирующие импульсы, проводимые с помощью двигательных установок, тяга двигателей которых обычно мала, а соответственно мала и тяговооруженность. В силу этого возникает проблема реализации импульса достаточно большой величины с учетом возможностей конкретного КА. Необходимо рассмотреть и решить две задачи. Во-первых, обеспечить стабилизацию КА во время работы двигателей на высотах полета, существенно меиьших высоты рабочей орбиты. Во-вторых, большая величина скорости торможения может потребовать продолжительной по времени работы двигателей из-за отмеченной малой тягово-оруженности, а это неизбежно приведет к снижению эффективности их воздействия. Дело в том, что конечная цель — это понижение высоты перицентра орбиты для перевода КА на траекторию спуска. Для обеспечения этого двигатели работают в районе апоцентра. В случае длительного времени работы ДУ охватывается часть орбиты за пределами апоцентра, а это резко снижает эффективность их воздействия ввиду скругления орбиты, а не прямого снижения высоты перицентра. В итоге для каждого конкретного КА появляется такое понятие, как максимум возможной величины ДУ, когда обеспечивается эффективное решение задачи понижения высоты перицентра (ДУ ф) с учетом изложенных факторов, препятствуюпщх этому. В случае если ДУ ф достаточно мало, то приходится искать какие-то компромиссные варианты в выборе параметров спусковой орбиты или отказываться от каких-то условий, т. е. идти на повышенный риск при реализации заключительных операций. [c.509]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...