Разложение решения по фундаментальным

Следует заметить, что нарушение гипотезы о линейности граничных условий приводит к невозможности разложения решений по фундаментальным функциям и, следовательно, в данном случае исчезает возможность использования хорошо разработанных сейчас методов исследования колебаний линейных упругих систем с распределенными массами. Развитые ниже методы могут быть перенесены и на задачи о колебании пластин, мембран, струн, имеющих нелинейные граничные условия. [c.4]

Для более сложных случаев краевых условий возможны решения путем разложения в ряды по степеням малого параметра [114] и разложения по фундаментальным балочным функциям с применением вариационных методов [68]. [c.268]

Подставив ряды (6.156) в уравнения (6.153) и сократив тригонометрические функции, приведем задачу к трем однородным алгебраическим уравнениям с тремя неизвестными для каждого члена разложения. Приравняв нулю детерминант этой системы, найдем определяющее уравнение для частоты собственных колебаний Для более сложных случаев краевых условий возможны решения путем разложения в ряды по степеням малого параметра [74] и разложения по фундаментальным балочным функциям с применением вариационных методов [14]. [c.189]

Из вышеизложенного следует, что выполнить решение с помощью разложения по фундаментальным функциям не представляется возможным. Для получения первого приближенного решения следует воспользоваться решениями в замкнутом виде, т. е. пользоваться методом непосредственного интегрирования. [c.45]

Разложение решения по фундаментальным функциям, Решение уравнения Фредголь-ма с симметричным ядром даётся формулой [c.260]

Волновая теория удара начала развиваться благодаря работам Бусинеску и Сен-Венана. Ими впервые была рассмотрена теоретическая задача о поперечном ударе двух твердых тел в предположении, что, полный период удара определяется временем, необходимым для прохождения через тело и обратного возвращения волны упругого сжатия. В предположении, что после удара груз движется вместе с балкой, с помощью метода Фурье было найдено решение в форме разложения динамического прогиба балки в ряд по фундаментальным функциям. Допущение, принятое в работе о совместном движении груза и балки после удара, не соответствует истине, так как скорость балки с момента соударения и до получения балкой наибольшего прогиба монотонно убывает до нуля, а скорость груза после удара монотонно возрастает. Кроме того, теория Сен-Венана и Бусинеску не учитывает местных пластических эффектов. [c.8]

Второй метод решения интегрального уравнения Фредгольма получается вследствие применения теоремы Гильберта — Шмидта, которая гласит о том, что всякая функция, представленная истокообразно при помощи ядра т (s) а (x s), разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по фундаментальным функциям этого ядра. Эти функции есть кривые нормальных прогибов и в нашем случае данная теорема означает возможность разложения кривой прогибов и эксцентриситетов в ряд по формам колебаний рассматриваемого ротора. [c.187]

Вычисление собственных форм и частот конструкции (NormalModes/Eigenvalues) необходимо в различных видах Динамического анализа при решении задач методом разложения отклика по собственным формам. Но и сами по себе собственные частоты и формы могут представлять интерес, поскольку характеризуют фундаментальные упруго-массовые свойства модели конструкции. Ана/шз собственных колебаний модели на начальных этапах ее разработки часто помогает выявить большинство неформальных ошибок в моделировании. [c.436]

В основном открытыми оставались проблемы существования решений, удовлетворяющих заданным начальным и граничным условиям, и сходимости разложений в ряды по фундаментальным функциям. Эти трудные вопросы будут предметом математических исследований в течение последующих десятилетий, достаточно полные и строго обоснованные результаты будут получены лишь к концу столетия, но это не будет препятствием для дальнейшего развития общей теории колебаний и волн. В значительной мере оно определялось работами Дж. В. Стретта — лорда Рэйли (Рэлея). [c.278]

В случае непериодического воздействия внешних сил для описания вынужденных колебаний упругого тела поверхностнг1я нагрузка и искомое решение представляются в виде разложений в ряд по системе собственных фундаментальных функций [161. Подстановка этих рядов в уравнения движения позволяет получить уравнения для определения неизвестных функций времени. Рассмотренный метод будет продемонстрирован на примере круговой трехслойной пластины далее (см. гл. 7). [c.125]

Аналогичным путем найдем р = йхх и2р. Решение (1) является КП X, р х, р. Действительно, поскольку г 1(0) = г 2(0) = 1, 1(0) = = 1 2(0) = О, то фундаментальная СП [ж, р] = и1и2 — и2й — 1. Заметим, что в теории дифференциальных уравнений решение (1) следует в результате громоздкой процедуры с использованием рекуррентных соотношений для коэффициентов разложения по степеням 1. Другая пара решений может быть получена линейным КП [c.422]

Изучение приливов при такой постановке задачи широко представлено как в отечественной, так и зарубежной литературе. П. Я. Полуба-риновой-Кочиной (1938) принадлежит решение об определении собственных колебаний жидкости в плоских бассейнах при наиболее общих предположениях о виде границы бассейна. Ею показано, что решение может быть осуществлено путем нахождения фундаментальных чисел и функций интегрального уравнения, ядро которого представляется через функцию Грина для соответствующей задачи Дирихле. Исследование интегральных уравнений выполнено Полубариновой-Кочиной с использованием разложений в ряды по степеням малого параметра, пропорционального угловой скорости вращения бассейна. Для конкретного случая прямоугольного бассейна ею проведен подробный аналитический анализ решения и вычислены первые члены рядов (1937). В. А. Яблоков (1944) построил котидальные карты и изучил особенности собственных колебаний в зависимости от соотношения между длинами сторон прямоугольного бассейна. [c.81]

В теории свободных колебаний упругого твердого тела приходится интегрировать. уравнения колебательного движения при заданных граничных условиях, относящихся к напряжениям и смещениям. Пуассон зб) дал решение проблемы свободных радиальных колебаний упругой сферы, а Клебш по образцу решения Пуассона, построил общую теорию. В эту теорию входит обобщение понятия нормальных координат на случай системы с бесконечно большим числом степеней свободы, введение соответствующих фундаментальных функций и доказательство тех свойств этих функций, с которыми приходится иметь дело при разложении любой заданной фуккции по этим функциям. Спор по вопросу о колебаниях струн, стержней, мембран и пластинок, который происходил как до Пуассона так и при нем, подготовил почву для обобщений Клебша. До появления трактата Клебша Ламе ) предложил другую теорию. Будучи знаком с исследованиями Пуассона о двух типах волн, ои пришел к заключению, что колебания всякого упругого тела должны распадаться на два соответствующих класса в согласии С,этим предположением он исследовал колебания различных тел. То обстоятельство, что его решения не удовлетворяли граничным условиям ля тел, поверхность которых свободна от напряжений, в достаточной мере компрометирует его теорию однако она была окончательно оставлена только после того, как все виды свободных колебаний однородной изотропной среди были изучены, и было доказано, что классы, на которые они распадаются, не соответствуют [c.30]

Фундаментальное значение для метода малого параметра имеет вопрос о сходимости приближений. Для упругопластических задач этот вопрос нуждается в решении. В данной книге сходимость метода проиллюстрирована на двух примерах. Л. А. Галин [7] и Г. П. Черепанов [81] дали замечательные точные решения в напряжениях соответственно для двуосного растяжения толстой и тонкой пластины с круговым отверстием. Это пока единственные точные решения нетривиальных двумерных упругопластических плоских задач. Если ввести параметр б, характеризующий разность между растягивающими усилиями (при 6 = 0 имеет место осесимметричное состояние пластин), то решения Галина и Черепанова могут быть разложены в ряд по б. Показано, что четыре приближения, полученные непосредственно методом малого параметра, в точности совпадают с четырьмя членами разложений точных решений. Естественно, что единый алгоритм метода позволяет получить и последующие приближения, однако для описания точных решений в первом случае достаточно двух, а во втором — четырех приближений. Точные решения упругопластических задач основаны на знании аналитических выражений для напряжений в пластической зоне, для метода малого параметра не играют в принципе никакой роли отсутствие аналитичес- [c.8]

Решение в форме разложения в ряд но фундаментальным функциям. — Приведённые выше выражения удовлетворительны для области высоких частот, где собственные частоты лен ат достаточно близко друг к другу, чтобы возбуждение звука в помещении оказалось равномерным и для помещений достаточно нерегулярной формы, в коюрых звук сильно рассеивается и в результаае этого равномерно распределяется по объёму. Выведенные формулы заведомо не будут пригодны для низких часют, при которых возбуждение звука в различных частях объёма помещения далеко от равномерного. Чтобы определить область частот, в которой выражения (34.1) и (34.2) пригодны, мы должны исследовать вопрос о связи источника с отдельными стоячими волнами. [c.453]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...