Лиувилля динамические систем

Как пример рассмотрим систему Лиувилля — динамическую систему, кинетическая и потенциальная энергии которой задаются выражениями [c.549]

Важное значение книги [92] состоит также в том, что в отличие от неестественной тяги классиков к получению явного решения, позволяющего мало что сказать о действительном движении системы, в ней поставлен вопрос о качественном анализе интегрируемых динамических систем, и на примере волчков Ковалевской и Горячева-Чаплыгина сделаны общие выводы о поведении линии узлов и углов собственного вращения. Последние результаты были получены с применением теоремы Лиувилля-Арнольда и теоремы Вейля о равномерном распределении. [c.16]

На протяжении долгого времени геодезические потоки играли важную стимулирующую роль в развитии гиперболической теории. Так, например, влияние неустойчивости на глобальное поведение траекторий динамической системы, характеризуемое эргодичностью, топологической транзитивностью и т. д., отмечали еще Адамар и Морс в начале ХХ-го века, изучавшие статистику поведения геодезических на поверхностях отрицательной кривизны. И позже исследования, связанные с геодезическими потоками, привели к введению различных классов гиперболических динамических систем (систем Аносова, РЧГ-систем и НПГ-систем с мерой Лиувилля). Сами же геодезические потоки всегда были прекрасным полем применения динамических методов, что, в частности, позволяло получать интересные результаты дифференциально-геометрического характера. О связи геодезических потоков с классической механикой сказано в главе 1, 1 . [c.157]

Весьма общими вероятностными характеристиками процесса х () являются функции распределения одноточечные Р х, I), двухточечные Р х, 1 Хх, Ц) и т. д. Их определение приводит нас к задаче усреднения уравнений непрерывности для траекторий в фазовом пространстве динамических систем. Такие уравнения [стохастические уравнения Лиувилля) является уравнениями в частных производных по и координатам фазового пространства системы х = (х1, х ,. . х ) и содержат случайно меняющиеся параметры а 1). Уравнения, которым подчиняются вероятностные распределения Р х, 1 носят [c.11]

Воздействия в виде пуассоновского белого шума. По-преж-.нему рассматриваем динамическую систему (6.33) и связанное с ней стохастическое уравнение Лиувилля (6.34), но с а(<) в виде пуассоновского белого шума. Под таким процессом будем понимать предел марковского пуассоновского процесса а 1) <с <о(0> = 0) [c.100]

Основным уравнением статистической теории систем многих классических частиц является динамическое уравнение Лиувилля для фазовой плотности р (Яь рь. .., Ям> Р х, () [c.96]

Решение уравнения Лиувилля для функции 6Л/ +1 переменных-представляет собой столь же сложную задачу, как и решение динамической системы уравнений (11.1). Однако оно позволяет получить более простые уравнения для вероятностей нахождения одной или нескольких частиц системы в элементе соответствующего фазового пространства. Исследование свойств молекулярных систем с помощью этих частичных функций распределения составляет содержание метода Боголюбова, изложение которого будет дано в последующих главах. [c.187]

Динамическая система, имеющая N степеней свободы, описывается системой уравнений движения порядка 2N. Сколько должно быть интегралов движения для того, чтобы уравнения движения интегрировались в квадратурах Для случая гамильтоновых систем ответ на этот вопрос дает теорема Лиувилля (ком. 4). [c.22]

Как правило, вывод кинетического уравнения сопровождается априорной гипотезой весьма специфического типа. Дело заключается в том, что уже давно приблизительно ясно, какую структуру должно иметь кинетическое уравнение (например диффузионного типа, типа уравнения баланса или больцмановского типа и др.). Эта структура навязана в значительной степени вероятностным характером процессов, которые мы желаем описать с помощью кинетического уравнения. Поэтому, в определенном смысле, задача может быть сформулирована от ответа . Исходя из уравнения Лиувилля, мы можем прийти к кинетическому уравнению, избавившись от некоторых членов, благодаря которым динамический характер движения существенно отличается от случайного. Поэтому вывод кинетического уравнения обычно сопровождается формулировкой в той пли иной форме некоторого принципа или априорной гипотезы, формальная цель которой удалить лишние члены. Фактическое содержание подобных гипотез связано с введением в рассматриваемую систему необходимой доли случайности, плп хаоса. [c.105]

Конечно, это условие не всегда выполнимо. Для простых динамических систем, движущихся согласно периодическому закону, ни при их классическом, ни при квантовом рассмотрении функция Ляпунова существовать не может, ибо такие системы через некоторое время возвращаются в исходное состояние. Возможность существования оператора М определяется типом спектра оператора Лиувилля. В рамках классической эргодической теории этот вопрос недавно изучил Мисра [23]. Я постараюсь рассмотреть здесь некоторые следствия возможности существования оператора М уравнения (36), который можно рассматривать как энтропию систем, анализируемых на микроскопическом уровне. Поскольку М — величина положительная, то согласно общей теореме ее можно представить в виде произведения оператора, скажем, и сопряженного эрмитова оператора (Л" )" " (эта операция означает извлечение из положительного оператора квадратного корня) [c.148]

В настоящем параграфе методы теории возмущений применяются для построения явных выражений для рещений точно интегрируемых динамических систем. При этом важно подчеркнуть, что речь идет не о каких-либо приближенных результатах, а о точных выражениях, возникающих в результате суммирования рядов теории возмущений, которое для рассматриваемых систем удается довести до конца. Тем самым, преобразование Беклунда, осуществляющее связь нелинейной и соответствующей линеаризованной систем, приобретает явную формулировку. Им является каноническое преобразование, связывающее рещения некоторой нелинейной динамической системы с рещениями системы, возникающей из исходной при нулевом значении постоянной взаимодействия . (В простейшем случае в роли нелинейной и линеаризованной указанным образом систем выступают уравнения Лиувилля и Лапласа соответственно.) [c.177]

Затрагиваются вопросы вероятностного описания рас-иределенных динамических систем. Описание проводится в рамках аппарата стохастических уравнений Лиувилля. [c.147]

Существенной чертой уравнений в вариационных производных для характеристического функционала является их линейность. При этом задача вероятностного описания нелинейных распределенных динамических систем сводится к решению линейных, но на классе уравнений большей размерности. Аналогичная ситуация имеет место при анализе нелинейных динамических систем, описываемых обыкновенньти дифференциальными уравнениями. Их статистический анализ, как мы видели, может быть проведен в рамках стохастических уравнений Лиувилля, т. е. линейных уравнений в частных производных. Следует, однако, сказать, что математические средства (функциональный аппарат) решений уравнений в вариационных производных развиты цока недостаточно. [c.148]

Здесь мы покажем, что вероятностное описание систем (10.1) можно проводить совершенно стандартным образом, точно так же, как, например, давалось описание динамических систем тжпа (1.2) через стохастическое уравнение Лиувилля. Суть в том, что для систем (10.1) можно также записать стохастическое уравнение Лиувилля, представляющее линейное уравнение в [c.148]

Очевидно, что уравнение Лиувилля (32) Lt-инвариантно. Действительно, если знак оператора Лиувилля L изменить на обратный (в классической механике это можно сделать путем инверсии скорости), а также изменить на обратный знак t, то уравнение Лиувилля не изменится. С другой стороны, легко можно показать [18], что слагаемое в уравнении Больцмана, учитывающее столкновения (правая часть в (29)), нарушает Lt-симметрию, так как оно четно по L. Поэтому ранее поставленный вопрос имеет смысл перефразировать следующим образом как можно нарушить Li-симметрию, свойственную явлениям, служащим объектом изучения классической или квантовой механики Наша точка зрения на этот вопрос состоит в том, что динамическое и термодинамическое описания систем в определенном смысле являются эквивалентными описаниями эволюции системы, связанными друг с другом пеупитарпым преобразованием. Разрешите мне вкратце показать, как мы можем приступить к решению этой задачи. Метод, которым я буду пользоваться, был разработан в тесном сотрудничестве с моими коллегами, работаюп1ими в Брюсселе и Остине [20-22]. [c.147]

Этому кругу вопросов, применительно к динамическим системам, были посвящены исследования Лиувилля, который установил общий критерий полной интегрируемости этих систем. Этот критерий заключается в требовании наличия необходимого числа (равного рангу системы) функционально независимых глобальных интегралов движения в инволюции. Важно отметить, что даже для одномерного случая знание вида таких интегралов не всегда позволяет явно проинтегрировать соответствующую систему в обычном смысле, т. е. описать в замкнутой форме ее эволюцию по начальным данным. Аналогичное утверждение имеет место и для двумерия задача Коши зачастую не имеет явного решения, тогда как явные выражения для динамических переменных системы могут быть получены в терминах асимптотических (или свободных) полей — ее динамических характеристик в бесконечно прошлом или в бесконечно будущем . Сказанное требует некоторого разъяснения. [c.6]

Приведем один частный, но принципиально важный пример структуры смешанного состояния. Имея дело со статистическими системами, мы должны помнить, что в число обязательных для них признаков входит существование равновесного состояния. В соответствии с нулевым началом термодинамики это состояние является предельным для эволюционного процесса, в котором участвует статистическая система. Уравнение Лиувилля справедливо и для нетермодинамических систем (еще раз напомним, что оно является уравнением механики). Если мы положим в нем dp/dt = О (этому условию удовлетворяют не только равновесное, но и любые стационарные состояния системы), то получим [Я, р = 0. Этому уравнению удовлетворяет любая функция от гамильтониана Я и всех коммутирующих с ним операторов динамических величин (т. е. любая функция интегралов движения, характерных для данной системы). [c.287]

Мы намеренно так подробно остановились на методе Боголюбова получения кинетического уравнения для систем, в которых Rl/v < 1, чтобы на этом несложном примере продемонстрировать автоматизм и замкнутость этой процедуры, которые сохраняются и при построении высших приближений. Уравнение Больцмана из уравнения Лиувилля можно было бы получить и проше, как это сделал, например, Кирквуд (J. Kirkwood, 1947), усреднив уравнение Лиувилля по At > т , т.е. введя более фубую шкалу времени, в которой dFi/dt = О, и аппроксимируя появляющуюся в интефале столкновений разность FJ - Fz комбинацией / /[ - f f. При этом несколько смазывается динамическая природа приближения, соответствующего уравнению Больцмана, что и приводило к фудностям при построении дальнейших приближений. [c.320]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...