Стохастическое уравнение Лиувилля для системы

Весьма общими вероятностными характеристиками процесса х () являются функции распределения одноточечные Р х, I), двухточечные Р х, 1 Хх, Ц) и т. д. Их определение приводит нас к задаче усреднения уравнений непрерывности для траекторий в фазовом пространстве динамических систем. Такие уравнения [стохастические уравнения Лиувилля) является уравнениями в частных производных по и координатам фазового пространства системы х = (х1, х ,. . х ) и содержат случайно меняющиеся параметры а 1). Уравнения, которым подчиняются вероятностные распределения Р х, 1 носят [c.11]

Р х, t). Стохастическое уравнение Лиувилля для системы (4.24) имеет вид [c.64]

И уравнение (10.8) не замкнуто. Однако если привлечь теперь уравнение (10.9), в которое также входит эта переменная, то Уз можно исключить и сделать уравнение для Р замкнутым. Таким образом, замкнутое стохастическое уравнение Лиувилля для системы (10.1) со скалярным и(х, И) имеет вид [c.152]

Отметим, что стохастическое уравнение Лиувилля для системы (10.1) со скалярным и х, t) приводилось ранее в [69]. [c.153]

II. Приведем вид стохастического уравнения Лиувилля для динамической системы [c.154]

Мы уже видели, что при усреднении линейных систем получаются замкнутые уравнения для рассматриваемых средних, рричем зацепление уравнений (например, зацепление уравнений для первых и вторых моментов) происходит лишь при включении в исходные стохастические уравнения неоднородных членов. В отличие от этого при усреднении нелинейных стохастических уравнений все моменты х становятся, вообще говоря, взаимосвязанными, и оперирование с уравнениями для таких моментов весьма затруднительно. При определении вероятностных характеристик х обычно удобно исходить не непосредственно из системы (3.37), а из соответствующего ей стохастического уравнения Лиувилля. В частности, для плотности распределения Р(х, I) в фазовом пространстве системы (3.37) это уравнение имеет вид [c.47]

Поскольку правая часть уравнения (10.4) содержит производ- ную от U по X 2-го порядка и функция Fi зависит не только от Уц V2,. . ., Vl, но и от лишних переменных Vi+y и Vi+ , уравнение v (10.5) не является замкнутым. Это ведет к тому, что статисти-ческие свойства системы можно определить, лишь зная функцию P t, X, и, Vl, v ,. ..) =

зависящую от всей бесконечной совокупности переменных fj . Интересующее нас распределение P t, х) выражается, очевидно, через распределение P t, X, и, Vl, l a,. ..), проинтегрированное по переменным и, Vl, l a,. .., т. е. выражается через бесконечномерный или континуальный интеграл. Именно это обстоятельство затрудняет использование стохастического уравнения Лиувилля в i частных производных для вероятностного описания распреде- ленных систем вида (10.4) и более общих, содержащих в F за- J висимость от У/ с i = 2, 3,. .. [c.150]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...