Обобщение теоремы Лиувилля

Обобщение теоремы Лиувилля. Свойство сохранения меры при преобразованиях, определяемых уравнениями Гамильтона (последние, как мы видели, определяют контактные преобразования), сохраняется и для контактных преобразований общего вида. В самом деле, докажем, что якобиан [c.495]

Тогда в силу обобщенной теоремы Лиувилля находим [c.19]

В соответствии с обобщенной теоремой Лиувилля и с учетом поведения функций на бесконечности из (92) находим, что [c.145]

Последующее приведение функциональных уравнений (3.48) к виду, подобному (3.16), и использование обобщенной теоремы Лиувилля позволяет получить формулу для решения парных уравнений (3,47) по структуре, совпадающей с (3.18). [c.42]

Функция в правой части уравнения (9.31) регулярна в нижней полуплоскости т < т+, а функция в левой части (9.31) регулярна в верхней полуплоскости т > т . Обе полуплоскости перекрываются в полосе т- < т < т+. Отсюда в силу обобщенной теоремы Лиувилля [2, 3] [c.108]

Отсюда, Б силу обобщенной теоремы Лиувилля, следует, что ю = 0. [c.246]

Инвариантность фазового объема. Теорема Лиувилля. Выберем в фазовом пространстве q, р произвольную замкнутую область и рассмотрим какую-либо точку А этой области. Выбор точки фазового пространства предопределяет значения всех обобщенных координат и импульсов, и поэтому можно предположить, что начальные данные системы в некоторый момент времени /о задаются точкой А. Применим это рассуждение ко всем точкам Л,- области So, т. е. будем считать все точки этой области начальными в момент времени /о- [c.300]

Подобные соотношения существуют и в классической механике. В виде примера можно указать на уравнение фазовой траектории системы с одной степенью свободы, связывающее обобщенную координату и ее производную по времени Известно, какое значение для аналитической механики и теоретической механики имеют понятия фазовых координат и фазовых пространств и соотношения, выражающиеся интегральными инвариантами, например, теоремой Лиувилля и др. Но оказывается область подобных соотношений, независимых от силовых воздействий, может -быть значительно расширена. Такие соотношения можно назвать автономными связями. Приведем в виде примера автономные связи, сопутствующие движению одной точки. Рассмотрим для этой цели основные характеристические векторы движения г — радиус-вектор точки [c.14]

Большое значение в понимании рассмотренных выше, а также описываемых в дальнейшем преобразований пучка имеет теорема Лиувилля. Эта теорема утверждает, что при движении системы, характеризуемой канонически сопряженными величинами (обобщенными координатами и импульсами), объем данного участка фазового пространства, а также сумма частных фазовых объемов остаются неизменными. Применительно к ускорителю, в котором р, получаем [c.177]

На основании обобщенной теоремы Ж. Лиувилля для всех [c.161]

Теорема Штеккеля (Stae kel). Штеккель в omptes rendus (1893) указал обобщение теоремы Лиувилля. Это обобщение применимо к системе, зависящей от к параметров, но чтобы не осложнять обозначений, мы изложим ее для случая трех параметров. [c.375]

TO no обобщенной теореме Лиувилля целая функция I (s) представляет собой полином степени не вынле целой части min (а , а ). В частности, если / (s) О при s —>оо, то / = 0. Записав вместо / (s) полином, можно из двух равенств (20.11) найти искомые функции и F с точностью до коэффициентов полинома. Последние определятся некоторыми дополнительными данными о задаче. [c.96]

Доказательство аналогично доказательству тождества (15.3.10) иозьмем отношение левой и правой частей и рассмотрим его как функцию покажем, что такая функция аналитична при О < w < оо и не изменяется при замене на поэтому она ограничена и, как следует из простого обобщения теоремы Лиувилля, постоянна положив = 1, найдем, что значение постоянной равно единице.) [c.420]

Формулируется и доказывается теорема Эмми Нетер в приложении к задачам аналитической механики с конечным числом степеней свободы. Приведено обобщение теоремы, связанное с учетом калибровочной ршвариантности функции Лагранжа (результат Э. Нетер — Е. Бес-сель-Хагена). Показана связь теоремы Э. Нетер с методом С. Ли отыскания первого интеграла, соответствующего контактному преобразованию фазовых перемшных. Обсуждаются теоремы Пуассона и Лиувилля с позиций результата Э. Нетер. [c.109]

Общая теория обобщенных аналитических функций w t, t) была построена И. Н. Векуа [51] в предположении, что козффициенты А В суммируемы со степенью р> 2. В частности, доказаны изолированность нулей и полюсов, справедливость теоремы Сохоцкого — Вейерштрасса для окрестности существенно особой точки, аналог теоремы Лиувилля и т. д. Были получены обобщенная формула Коши и обобщенный интеграл типа Коши. Подобные функции под названием псевдоаналитических изучались Л. Берсом [172] и др. [c.236]

Понятие / -аналитических функций введено Г. Н. Положием в работе 1102] как одно из обобщений теории аналитических функций комплексного переменного. Свойства этих функций были подробно изучены в последующих работах того же автора и систематизированы в монографии [112]. Установлены аналоги теоремы Коши и формулы Коши, построена классификация особых точек и нулей, доказана теорема Лиувилля, построена теория вычетов, установлена изолированность 4-точек, в которых р-аналитическая функция принимает значения А == onst, доказана теорема о сохранении области, а так--же получены некоторые другие результаты. [c.435]

Замечание 2. Для интегрируемости системы (1.1) по теории последнего множителя (теория Эйлера-Якоби см. 7 гл. 1) также не хватает еще одного дополнительного первого интеграла. Действительно, исследуемая система (1.1) обладает тремя первыми интегралами и стандартной инвариантной мерой р = onst. Заметим, однако, что естественные обобщения уравнений (1.1) (см. 4 гл. 3) уже не могут быть проинтегрированы этим методом. Для таких систем интегрируемость устанавливают с помощью гамильтонового формализма и теоремы Лиувилля ( 7 гл. 1). [c.91]

Так как в пространстве Г уравнения движения непотенциальной системы имеют гамильтоновую форму, то здесь справедлива теорема Лиувилля [16, 26] для непотенциальных систем в обычной формулировке, согласно которой фазовый объем остается постоянным при эволюции системы. То есть если в начальный момент времени фазовые (характеристические) точки [Яй, Ро ) непрерывно заполняли некоторую область начальных значений соо в обобщенном фазовом пространстве, а в момент времени 1 они заполняют область со , то соответствующие фазовые объемы равны между собой [c.171]

Замечание. Метоц характеристик для линейных уравнений в частных производных первого порядка был изобретен Лагранжем на основе рассмотренного здесь примера и примера II. 6.2 оба эти примера возникли в гидродинамике. Тривиальное обобщение частного случая (II. 5-7) с трехмерного на -мерный случай было получено Лиувиллем это и есть то единственное из нескольких утверждений, называемых физиками теоремой Лиувилля в статистической механике , которое имеет какое-то отношение к Лиувиллю. [c.525]

Случай интегрируемости Н. Д. Моисеева. В теореме Лиувилля живая сила Т язляется однородной функцией обобщенных скоростей д. Проф. Н. Д. Моисеев обобщил теорему Лиувилля на случай, когда Т является неоднородной функцией второй степени специального [c.407]

Z 00, то ясно, что w o о, если z - со. Согласно теореме Лиувилля, обобщенная аналитическая функция и , регул иая на плоскости Е и обраща1рщаяся в нуль ва бесконе ости, тождественно обращается в нуль, т. е. 0=0 в Е. Следотательно, формула (4.34) принимает вид [c.191]

Одними из первых методом функций Ляпунова были решены задача Эйлера об устойчивости прямолинейной формы равновесия тонкого стержня постоянного сечения, находящегося под действием продольной постоянной нагрузки (Н. Г. Четаев, 1946) и задача об устойчивости круговой формы однородной гибкой нерастяжимой нити в отсутствие внешних сил (П. А. Кузьмин, 1948—1949). В обеих задачах введено счетное множество обобщенных координат системы, причем для второй из названных задач рассматривается обоснование перехода от конечного числа переменных к бесконечному введением гильбертова пространства. Построением функции Ляпунова была также решена задача об устойчивости эллипсоидов Маклорена вращающейся гравитирующей жидкости по отношению к конечному числу переменных, характеризующих простое, по Лиувиллю, движение жидкости (В. В. Румянцев, 1959). Применение теоремы Ляпунова о неустойчивости позволило строго доказать неустойчивость вихревых цепочек Кармана (Г. В. Каменков, 1934 Н. Е. Кочин, 1939). [c.30]

Теория систем Аносова, сохраняющих меру Лиувилля, изложена в монографии [4], представляющей собой первое систематическое и фундаментальное исследование в гиперболической теории. Общие результаты теории систем Аносова имеются также в книге [8] и обзорной статье [6]. Теория гиперболических множеств (топологические свойства, различные примеры) и связанные с ией пробл1емы (Л-оисгемьг и др.) освещены в иниге [86] (см. также [21], где приведено полное доказательство теоремы о семействах е-траек-торий). Символическая динамика для систем Аносова (марковские разбиения, равновесные состояния, меры с максимальной энтропией) построена к-[41] (см. также [40], [43]) обобщение на случай гиперболических множества осуществлено в серии работ Боуэна (см. [13]) некоторые дальнейшие обобщения имеются в [3] (там же дан краткий обзор по топологическим марковским цепям). Основы теории РЧГ-систем развиты в [14]. НПГ-снстемы введены в [31], где исследованы их локальные свойства и эргодические свойствас по отношению к мере Лиувилля (ом. также [70]). Обобщение на меры Синая дано в [75]. [c.227]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...