Гамильтонова система лиувиллева

Действительно, для системы Лиувилля функция Гамильтона Н выражается равенством [c.653]

Явное выражение для L зависит от гамильтониана системы. Например, для гамильтониана (1.1.2) Д/ -частичный оператор Лиувилля имеет вид ) [c.18]

Перейдем к изучению инвариантов систем канонических уравнений Гамильтона, получающихся интегрированием по объему фазового пространства. Сначала докажем теорему Лиувилля об интегральном инварианте произвольной системы дифференциальных уравнений. Пусть движение точки пространства Л переменных х, .., ,Хт задано с помощью следующей системы дифференциальных уравнений [c.668]

Теорема 9.7.9. (Теорема Лиувилля об интегралах в инволюции). Пусть имеется п независимых, находящихся в инволюции первых интегралов /ь...,/ системы уравнений Гамильтона. Тогда существует каноническое преобразование, приводящее уравнения движ.ения к форме [c.694]

Случай интегрируемости Лиувилля. Интегрирование канонической системы было сведено в 6 к определению полного интеграла для соответствующего уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби. [c.338]

Теорема Лиувилля. Для уравнений Гамильтона дивергенция поля А равна нулю. Отсюда следует (см. 21.8, п. 3), что объем протяженность) фазового пространства является инвариантом преобразования, определяемого дифференциальными уравнениями. Иными словами, фазовая жидкость несжимаема . В этом состоит известная теорема Лиувилля, играющая важнейшую роль в кинетической теории газов. Как известно, множителями системы являются ее пространственные интегралы, они удовлетворяют условию [c.439]

Доказательство можно несколько сократить, если воспользоваться теоремой 22.4. Систему можно привести к гамильтоновой с функцией Гамильтона (22.4.5). Новыми зависимыми переменными будут 52, 9з, , Яп Р2, Рз, , Рп< независимой переменной будет Pi. Система будет неавтономна, поскольку функция Гамильтона ф содержит pi, однако это не исключает возможности применения теоремы Лиувилля, и полученное выше следствие является специальным случаем теоремы Лиувилля для преобразованной системы. [c.452]

Теорема Лиувилля. Если система уравнений Гамильтона имеет п первых интегралов в инволюции, то она интегрируется в квадратурах при помощи алгебраических операций, обращения функций, интегрирования и дифференцирования (для доказательства достаточно посмотреть, что делалось выше при эффективном пополнении). [c.266]

Для разрешения парадокса Лошмидта и других подобных парадоксов следует иметь в виду, что, во-первых, практически невозможно привести систему в состояние, обращенное во времени, и, во-вторых, что реальные системы не являются полностью изолированными. Таким образом, описание системы с помощью гамильтониана (1.1.1) является лишь приближением некоторые степени свободы в нем опущены. Отсюда ясно, что при описании эволюции статистических ансамблей следовало бы учесть их взаимодействие с окружением. Это взаимодействие вовсе не обязано быть настолько сильным, чтобы кардинально изменять динамику отдельных частиц. В главе 2 мы увидим, что решения уравнения Лиувилля очень чувствительны к сколь угодно слабому нарушению симметрии по отношению к обращению времени. С этой точки зрения уравнение Лиувилля может описывать необратимые процессы в почти изолированных системах, если мы найдем подходящий способ нарушения симметрии при обращении времени. Более подробное обсуждение этого вопроса мы отложим до параграфа 2.3. [c.22]

Рассмотрим другую ситуацию, в которой удается использовать теорию возмущений для построения неравновесного статистического распределения. Предположим, что гамильтониан системы можно представить в виде суммы Я = Я + Я, где Я — главная часть гамильтониана, а Я — малое возмущение ). Для определенности рассмотрим квантовый случай, когда оператор Лиувилля L выражается через квантовые скобки Пуассона, и запишем уравнение (2.3.13) для статистического оператора в виде [c.115]

Содержательность теоремы Лиувилля заключается в том, что она показывает, как, зная п первых интегралов системы Гамильтона 2п-го порядка, можно свести всю задачу к квадратурам (обращение функций и взятие интегралов). Известно, что для системы 2п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для этой цели необходимо знание 2п - 1 первых интегралов. [c.301]

Теорема Лиувилля. Пусть система Гамильтона q = Tip, р = = —Tiq, (9, р) имеет п первых интегралов в инволюции Hk[q, р) (f = 1,. . ., п) (два первых интеграла находятся в инволюции, если их скобка Пуассона равна нулю). [c.301]

Теорема Лиувилля о локальной интегрируемости системы уравнений Гамильтона. Рассмотрим автономную систему уравнений Г амильтона [c.367]

А. Теорема Лиувилля об интегрируемых системах. Напомню, что функция Р является первым интегралом системы с функцией Гамильтона Н тогда и только тогда, когда скобка Пуассона [c.238]

При исследовании поведения решений уравнения Гамильтона вблизи положения равновесия часто недостаточно ограничиваться линеаризованным уравнением. Действительно, асимптотически устойчивые положения равновесия для гамильтоновых систем невозможны по теореме Лиувилля о сохранении объема. Поэтому устойчивость линеаризованной системы всегда нейтральная собственные числа линейной части гамильтонова векторного поля в устойчивом положении равновесия все лежат на мнимой оси. [c.351]

Для интегрируемости по Лиувиллю (см. 7, гл. 1) системы (1.1), а также системы (1.6), помимо гамильтониана (1.4), который также является первым интегралом системы, необходимо наличие еще одного дополнительного интеграла. На поиски этого интеграла было потрачено много усилий самых крупных математиков, особенно в девятнадцатом столетии. Однако в общей форме он так и не был найден. [c.88]

Как было отмечено выше, данная система является интегрируемой по Лиувиллю ввиду наличия двух интегралов движения — гамильтониана (2.9) и момента (2.13). [c.428]

Система Лиувилля впервые рассматривалась в Journal de math., XIV, 1849, стр. 257. Интегрирование можно выполнить непосредственно с помощью уравнений Лагранжа, не прибегая к теореме Гамильтона — Якоби см., например, Уиттекер [27]. Другое элементарное доказательство см. далее в этой книге ( 26.9). [c.329]

Для нолучения Г. р. вводится статистический ансамбль Гиббса совокупность большого (в пределе бесконечно большого) числа копий данной системы (клас-сич. или квантовой), соответствующих заданным макро-сконич. условиям. Рассматривается распределение систем (членов ансамбля) в фазоеом пространстве координат q И импульсов р частиц или по квантовым состояниям всей системы. Г. р. имеют место как для состояний классич. системы с ф-цией Гамильтона ff(p, ф в фазовом пространстве (р, q)= р ,.. р , i,- Ы всех N частиц системы, так и для квантовых состояний системы с уровнями анергии ёГ. р. в классич. статистике зависят от координат и импульсов лишь через Н (р, q) и не зависят от времени, удовлетворяя Лиу-вилля уравнению, к-рое выражает сохранение плотности вероятности в фазовом пространстве. Г. р. в квантовой статистике зависят от гамильтониана системы Й, удовлетворяя квантовому ур-нию Лиувилля, выражающему эволюцию во времени матрицы плотности. [c.452]

Другое направление исследований, касающееся связанных нелинейных осцилляторов, началось с попыток решить задачу трех тел в небесной механике, которая служит упрощенной моделью Солнечной системы. Ранние работы по этой проблеме восходят к трудам Гамильтона и Лиувилля середины XIX в., которые стимулировали развитие гамильтоновой механики, лежащей в основе большинства современных исследований. К концу XIX в. многие идеи, касающиеся устойчивости нелинейных систем, были рассмотрены Пуанкаре [337 ] и применены им к проблемам небесной механики. Именно в этот период Пуанкаре, Цейпель [419] и другие разработали методы теории возмущений, которые оказались столь плодотворными при описании поведения нелинейных систем на [c.13]

Уравнение Лиувилля есть линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка относительно (р.Я) зависящее от 2п 6М переменных (/ ,, дг), причем коэффициенты его суть известные функции этих переменных, определяемые функцией Гамильтона системы Н р, д). Характеристики этого уравнения определяются системой 2п обыкновенных дифференниальных уравнений первого порядка [c.21]

Если же функция Н не является знакоопределенной или зависит от времени, то задача об устойчивости становится весьма сложной. Для системы (1) справедлива теорема Лиувилля о сохранении фазового объема, поэтому невозмущенное движение не может быть асимптотически устойчивым в системах, описываемых дифференциальными уравнениями Гамильтона, возможна либо устойчивость, либо неустойчивость. Следовательно, если линеаризованные уравнения не дают строгого решения вопроса об устойчивости (как, например, в случае установившихся движений при наличии у характеристического уравнения хотя бы одного корня с положительной вещественной частью), то возникает необходимость рассмотрения нелинейных членов в уравнениях (1), т. е. мы имеем критический случай теории устойчивости. [c.543]

Здесь — малый параметр. Такая система называется возмущенной. Функция Tioll) есть функция Гамильтона вырожденной (или невозмущенной системы), которая предполагается интегрируемой по Лиувиллю. Канонические переменные /, р являются переменными действие-угол в невозмущенной системе. Возмущением называются слагаемые, исчезающие вместе с и которые предполагаются 2тг-периодическими по всем угловым переменным ip. [c.304]

Геометрический вариант теоремы Лиувилля о полной интегрируемости (см. теорему 1 4 гл. II) утверждает, что некритические совместные поверхности уровня п коммутирующих интегралов гамильтоновой системы с тг степенями свободы диффе-оморфны Т X (О < А,- тг), причем в некоторых переменных х, ...,хк mod 2тг, if +i,..., уравнения Гамильтона имеют совсем простой вид Xg — — onst. В компактном случае к = тг) имеется достаточно подробная теория поведения гамильтоновых систем, мало отличающихся от интегрируемых. Ниже, следуя работе [99], обсуждаются некоторые аналитические аспекты этой теории для некомпактного случая и ее связь с задачей о существовании полного набора независимых интегралов. [c.398]

Региение вопроса об устойчивости по Ляпунову региения qj = pj = = О (далее будем иногда говорить об устойчивости системы (1) ) зависит от свойств функции Гамильтона. Если система (1) автономна, то функция Я будет ее первым интегралом и может быть принята за функцию Ляпунова V при региении задачи об устойчивости движения 1]. Если функция Я будет знакоопределенной, то система (1) устойчива. Если же система (1) не автономна или автономна, но п 2, и Я не является знакоопределенной функцией, то задача об устойчивости становится весьма сложной. Для системы (1) справедлива теорема Лиувилля о сохранении фазового объема, поэтому в ней невозможна асимптотическая устойчивость, а устойчивость может быть лигиь тогда, когда характеристические показатели системы с гамильтонианом Я2 будут чисто мнимыми. Так что задача об устойчивости системы [c.114]

Гамильтонова система с п степенями свободы и функцией Гамильтона Н ри. .., Рп, <7ь . <7п) называется интегрируемой если она имеет п первых интегралов h=H, /2,...,находящихся в инволюции. Известная теорема Лиувилля зт верждает (см. [7], [23]), что если п-мерное многообразие, получающееся при фиксировании значений этих интегралов /i = i, /2 = 02,.... ..,/ = Сп, компактно, а сами интегралы в окрестности точки (С],...,С ) функционально независимы, то это многообразие оказывается л-мерным тором. На нем можно ввести циклические переменные <рь. .., фп, в которых уравнения движения принимают простой ВИД i=/ (/i,. ..,/ )— onst, а самодвижение будет условно-периодическим с п частотами. [c.115]

Приведем один частный, но принципиально важный пример структуры смешанного состояния. Имея дело со статистическими системами, мы должны помнить, что в число обязательных для них признаков входит существование равновесного состояния. В соответствии с нулевым началом термодинамики это состояние является предельным для эволюционного процесса, в котором участвует статистическая система. Уравнение Лиувилля справедливо и для нетермодинамических систем (еще раз напомним, что оно является уравнением механики). Если мы положим в нем dp/dt = О (этому условию удовлетворяют не только равновесное, но и любые стационарные состояния системы), то получим [Я, р = 0. Этому уравнению удовлетворяет любая функция от гамильтониана Я и всех коммутирующих с ним операторов динамических величин (т. е. любая функция интегралов движения, характерных для данной системы). [c.287]

Математическая теория основана на том факте, что уравнения движения Гамильтона (1.1) определяют непрерывное точечное преобразование (или отображение) в фазовом ьространстве, которое сохраняет опредедеиную меру. Это известная теорема, называемая теоремой Лиувилля. Возьмем произвольную совокупность фазовых точек или, для большей наглядности, некоторую область фазового пространства, имеющую определенный объем. Если границы области изменяются с течением времени, то фазовые точки движутся ио естественным траекториям, но мера этой совокупности, или величина объема деформированной области, остается инвариантной.. Другими словами, естественное движение напоминает течение несжимаемой жидкости в 2/-мерном фазовом пространстве. Если существуют некоторые интегралы движения, то движение фазовых точек может происходить лишь в ограниченных частях эргодической поверхности. Однако обычные динамические системы не имеют других интегралов [c.104]

Заметим еще, что величина фазового объема представляет собой инвариант относительно преобразования координат (и при соответствующем преобразовании импульсов). Не приводя доказательства ), заметим только, что по существу это положение уже доказано нами путем выкладок, приведенных для доказательства теоремы Лиувилля. Дело в том, что, как известно ), всякое каноническое преобразование д и р может быть представлено в виде совокупности бесконечно малых преобразований, удовлетворяющих уравнениям типа Гамильтона, причем I играет роль параметра преобразования (например, роль угла поворота координатных осей). При преобразованиях совершенпЪ того же типа, что и преобразования р и д, при движении системы по теореме Лиувилля фазовый объем не меняется [14]. [c.175]

ЛИТР (франц. litre) (л, 1), единица объёма и ёмкости (вместимости) в метрич. системе мер 1 л=1 дм = =0,001 м =1000 см , т. е. 1000 мл. ЛИУВИЛЛЯ ТЕОРЕМА, теорема механики, утверждающая, что фазовый объём системы, подчиняющейся ур-ниям механики в форме Гамильтона (см. Канонические уравнения механики), остаётся постоянным при движении системы. Теорема установлена франц. учёным Ж. Лиувиллем (J. Liouville) в 1838. [c.349]

Поскольку Э. п. представляют собой системы, движение к-рых описывается ур-ниямп механики в форме Гамильтона, то для них справедлива Лиувилля теорема. При рассмотрении св-в Э. п. без учёта его рассеяния на остаточном газе движение каждого эл-на целесообразно представлять точкой в шестимерном фазовом пр-ве, а в качестве канонич. переменных, определяющих положение этой точки, выбрать декартовы координаты эл-на х, у, z и проекции его импульса р -, Ру, Pz (см. Гамильтона функция). Тогда, в соответствии с теоремой Лиувилля [c.886]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...