Случай интегрируемости Лиувилля

Случай интегрируемости Лиувилля. Интегрирование канонической системы было сведено в 6 к определению полного интеграла для соответствующего уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби. [c.338]

Форма полученного таким образом выражения для живой силы и предположение отсутствия активных сил позволяют непосредственно видеть, что определение геодезических линий эллипсоида приводит, как к частному случаю (п = 2, и — а, Ai = gi, /42 = — 9г)> к тому типу задач, интегрируемых посредством разделения переменных, который мы изучили в п. 62 (случай интегрируемости Лиувилля). [c.385]

СЛУЧАЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ЛИУВИЛЛЯ 405 [c.405]

Случай интегрируемости Лиувилля. Пусть живая сила Т есть однородная функция второй степени относительно обобщенных скоростей, вида [c.405]

Случай интегрируемости Штеккеля. Штеккель поставил себе задачу указать другие классы динамических задач, к которым можно было бы применить метод разделения переменных ) в частности, он искал все динамические задачи, интегрируемые этим методом, ограничиваясь предположением, что живая сила, как и в случае Лиувилля, является квадратичной формой от ортогонального вида. Таким образом, он пришел к важному обобщению результатов предыдущих пунктов не воспроизводя соображений, какими руководствовался Штеккель в его исследовании, мы ограничимся здесь лишь характеристикой динамических задач, найденных им таким способом. [c.343]

Это и есть известный случай Лиувилля интегрирования уравнений Гамильтона. Несколько более сложный интегрируемый случай получается, если возможно разбить функции gi, gz,----, gn на такие две группы [c.24]

С методической точки зрения теорему Лиувилля проще сначала доказать в автономном случае, когда функции Я, Fi,..., не зависят явно от i и, в частности, гамильтониан Я является одним из интегралов. Для автономного случая теорема 1 была сформулирована несколько раньше Лиувилля французским математиком Буром. Полезно иметь в виду, что каждая из гамильтоновых систем с гамильтонианом Fi имеет тот же самый набор интегралов. Такие системы называют еще вполне интегрируемыми. [c.184]

Мы рассмотрим последовательно случай интегрируемости Лиувилля, затем проф. И. Д. Моисеева, случай Штеккеля и в заключение приведем вкратце соображения Бургатти. [c.405]

Этот случай интегрируемости уравнения Остроградского — Гамильтона был указан Лиувиллем. [c.526]

Случай интегрируемости Н. Д. Моисеева. В теореме Лиувилля живая сила Т язляется однородной функцией обобщенных скоростей д. Проф. Н. Д. Моисеев обобщил теорему Лиувилля на случай, когда Т является неоднородной функцией второй степени специального [c.407]

Геометрический вариант теоремы Лиувилля о полной интегрируемости (см. теорему 1 4 гл. II) утверждает, что некритические совместные поверхности уровня п коммутирующих интегралов гамильтоновой системы с тг степенями свободы диффе-оморфны Т X (О < А,- тг), причем в некоторых переменных х, ...,хк mod 2тг, if +i,..., уравнения Гамильтона имеют совсем простой вид Xg — — onst. В компактном случае к = тг) имеется достаточно подробная теория поведения гамильтоновых систем, мало отличающихся от интегрируемых. Ниже, следуя работе [99], обсуждаются некоторые аналитические аспекты этой теории для некомпактного случая и ее связь с задачей о существовании полного набора независимых интегралов. [c.398]

Рассмотрим случай, когда потенциал V(а, /3, 7) квадратично зависит от направляющих косинусов. Эта задача изучалась Ф. Бруном еще в прошлом столетии [198], но наиболее полные результаты были получены не так давно [18, 19, 20, 21, 146]. Брун нашел два независимых интеграла движения, но не смог установить интегрируемость. Для этого необходимо воспользоваться гамильтоновой структурой уравнений движения и теоремой Лиувилля (вместо теории последнего множителя, которую обычно использовали для интегрирования в динамике твердого тела в 19 веке) и инволю-тивностью двух недостающих первых интегралов. Хотя интегрируемость волчка в п-мерном случае в квадратичном потенциале была формально изучена в [146] (А. Г. Рейман, М. А. Семенов-Тян-Шанский), наиболее законченные результаты имеются в работах О. И. Богоявленского [18, 21]. В них также содержатся различные физические интерпретации этой задачи. [c.212]

Очевидно, что возможность интегрирования уравнения Гамильтона—Якоби целиком определяется аналитической структурой коэффициентов ац яиЯ2.....Яь), Ьг(Яи Я2,. .., Як) и силовой функции и. Это побудило Т. Леви-Чивита [111] вывести необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнения (10.2.13), чтобы оно было интегрируемым методом разделения переменных. Для случая трех степеней свободы (например, для пространственной ограниченной задачи трех тел) эти условия выписаны и исследованы Ф. Даль-Аква [112]. В 1911 г. П. Бургатти [113] выписал функциональные зависимости импульсов от координат, приводящие к интегрированию уравнения Гамильтона — Якоби. Н. Д. Моисеев [114] и В. Г. Демин [87] указали на два обобщения уравнений Лиувилля и Штеккеля, также интегрируемые методом разделения переменных. [c.816]

Этому кругу вопросов, применительно к динамическим системам, были посвящены исследования Лиувилля, который установил общий критерий полной интегрируемости этих систем. Этот критерий заключается в требовании наличия необходимого числа (равного рангу системы) функционально независимых глобальных интегралов движения в инволюции. Важно отметить, что даже для одномерного случая знание вида таких интегралов не всегда позволяет явно проинтегрировать соответствующую систему в обычном смысле, т. е. описать в замкнутой форме ее эволюцию по начальным данным. Аналогичное утверждение имеет место и для двумерия задача Коши зачастую не имеет явного решения, тогда как явные выражения для динамических переменных системы могут быть получены в терминах асимптотических (или свободных) полей — ее динамических характеристик в бесконечно прошлом или в бесконечно будущем . Сказанное требует некоторого разъяснения. [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...