Отталкивающая точка

В обычно применяемых методах определение движения свободной точки в пространстве под влиянием ускоряющих сил состоит в интегрировании трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, а определение движения системы свободных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся, — в интегрировании системы подобных уравнений, число которых втрое больше числа притягивающихся или отталкивающихся точек, если только мы предварительно не уменьшим это последнее число на единицу, рассматривая только относительные движения. Таким образом, в солнечной системе, если мы рассматриваем только взаимные притяжения Солнца и десяти известных планет [ ], определение движений последних относительно первого при помощи обычных методов сводится к интегрированию системы тридцати обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, связывающих координаты и время, или же, при помощи преобразования Лагранжа, — к интегрированию системы шестидесяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих время и эллиптические элементы. При помощи этих интегрирований тридцать переменных координат или шестьдесят переменных элементов могут быть найдены, как функции времени. В методе, предложенном в данной работе, задача сводится к отысканию и дифференцированию единственной функции, которая удовлетворяет двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени подобным же образом всякая другая динамическая задача, относящаяся к движениям (как бы многочисленны они не были) любой системы притягивающихся или отталкивающихся точек (даже если мы предполагаем, что эти точки ограничены какими-либо условиями связи, совместными с законом живой силы), сводится к изучению одной центральной функции, форма которой определяет и характеризует свойства движущейся системы и определяется двумя дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка в сочетании с некоторыми простыми соображениями. Таким образом, по крайней мере интегрирование многих уравнений одного класса заменяется интегрированием двух уравнений другого класса, и даже если считать, что этим не достигается никакого практического облегчения, тем не менее можно получить некое интеллектуальное наслаждение от сведения, пожалуй, самого сложного из всех исследований. [c.176]

Мы сможем считать еще одним подтверждением нащих собственных общих интегральных уравнений доказательство того, что они заключают в себе не только известный закон живой силы, но также шесть других известных интегралов первого порядка закон движения центра тяжести и закон площадей. Для этой цели необходимо только отметить, что из концепции нашей характеристической функции V с очевидностью следует, что эта функция зависит от начальных и конечных положений притягивающихся или отталкивающихся точек системы, не как отнесенных к какому-либо внешнему стандарту, а только как сравниваемых друг с другом следовательно, эта функция не будет меняться, если мы, не делая никаких реальных изменений ни в начальной, ни в конечной конфигурации, ни в их отношении друг к другу, сразу изменим все начальные и все конечные положения точек системы при помощи какого-нибудь общего движения, будь то перенос или вращение р]. Теперь, рассматривая три координатных переноса, мы получим три следующих уравнения в частных производных первого порядка, которым должна удовлетворять функция V [c.184]

Хотя наш общий метод в динамике предназначен главным образом для изучения систем притягивающихся или отталкивающихся точек, он не ограничивается ими, но может быть использован во всех вопросах, к которым применяется закон живых сил. Все анализы, приведенные в данной работе, и в особенности теория возмущений, могут быть не без пользы проиллюстрированы на следующих аналогичных рассуждениях и выводах, относящихся к движению одной точки. [c.253]

Возвращаясь теперь от движения единственной точки к более важному исследованию системы притягивающихся или отталкивающихся точек, получим дифференциальные уравнения (А), которые могут быть представлены следующим образом [c.270]

Первая область — колебательная или финитная (она односвязна (ил. 1—5)) — сплошь заполнена траекториями следующего типа. Почти любая такая траектория начинается в отталкивающейся точке 2пк Щ и кончается в притягивающей ((2/+1)я,0), /,А gZ. Исключение лишь составляют точки покоя (Tzk,0), а также сепаратрисы, которые либо выходят из отталкивающих точек (Ink O) и входят в седла и либо выходят из седел и входят в притягивающие точки ((2А +1)я,0). Здесь [c.35]

Замечание. Ключевые сепаратрисы являются границами областей, в каждой из которых движение имеет различный характер. Так в колебательной области, содержащей притягивающие и отталкивающие точки покоя, почти все траектории имеют в качестве предельных множеств аттракторы и репеллеры. Следовательно, не существует даже абсолютно непре- [c.167]

Случай 3. Пусть реализуется в полосе П(o J вышеупомянутая гомоклиническая ситуация (лемма 4.4). Тогда существуют и единственные траектории в соответствующих полосах, выходящие (входящие) из (в) отталкивающих точек (притягивающие точки) и имеющие в качестве со- (а-) предельных множеств бесконечно удаленные точки. В остальной области для поля системы траектории достраиваются образом, аналогичным случаям 1 и 2, Фазовый портрет для этого случая изображен на ил. 5 (а->-а). [c.206]

В колебательной области (см. ил. 2) почти все траектории выходят из отталкивающих точек и входят в притягивающие. Колебательная область имеет конечную площадь на фазовом цилиндре. [c.303]

В семействе х - х + тх + вблизи значения т = 0. Для т < О имеются три неподвижные точки устойчивая в ж = 0 и две неустойчивые, по одной с каждой стороны от устойчивой точки. При т = 0 они сливаются, и для т > О начало координат является изолированной отталкивающей точкой. Чтобы показать, что эта бифуркация не структурно устойчива, возмутим данное семейство следующим образом х>- х + тх + ез + х . Чтобы найти бифуркационные значения параметра, заметим, что график функции 1/ = = х + тх + ех + х касателен к диагонали у = ж в точности в тех значениях (ж, г), для которых график функции у=ех +х касателен к прямой у——тх. Как следует из рассмотрения графика у = ех + х , это имеет место для двух значений т, и в каждом из них происходит структурно устойчивая бифуркация описанного выше вида. [c.308]

Пример. Теперь рассмотрим отображение д —> 5 , z>- 2 /(2)zl), продолженное на оо по правилу д оо) = оо, так что g w) = 2w / w вблизи W —0. Таким образом, оо — (негладкая) отталкивающая точка, в то время как нуль — сжимающая неподвижная точка. Отметим, что под действием д все точки, отличные от оо, стремятся к О, поскольку g(z) = z /2. Следовательно, в полной противоположности с рассмотренным ранее примером, отображение имеет только две периодические точки — нуль и оо. С другой стороны, д покрывает 5 дважды н д = ho f, гце h — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм z z/ 2 / z ). Таким образом, deg(p) = deg(/i о /) == = deg( h) deg(/) = deg(/) = 2. Так как единственные инвариантные меры для д — атомарные меры, сосредоточенные в нуле и в оо, то согласно вариационному принципу 4.5.3 hf g) = 0. [c.322]

Для nконечное множество орбит периода п следовательно, существуют такие 5 > О и Л > 1, что для любой отталкивающей точки X периода п и такой точки у, что /-а < 5, мы имеем (/") (г/) > А. Таким образом, если интервал J такой же, как и прежде, то из неравенства 1 J) < 5 следует, что (/") (а ) > Л на J. [c.526]

Д/0 = Q 2 I и — неподвижная отталкивающая точка. Кроме того, [c.539]

Если же с<0 (сила — отталкивающая), то эти условия принимают следующий вид [c.112]

Предположим, что на материальную точку М (черт. 54) действует сила /= ,, отталкивающая точку М от неподвижного центра О и по величине пропорциональная расстоянию точки М от центра О, так что [c.85]

Локальный диффеоморфизм / —> легко продолжить до глобального диффеоморфизма двумерной сферы. Первый этап соответствующего построения — отображение диска в себя — представлен на рис. 11. Далее можно действовать, как в случае подковы , и продолжить / так, чтобы вне диска он имел единственную отталкивающую точку д. [c.59]

Лемма. Области притяжения и отталкивающие точки. [c.62]

Лемма. Пустота множеств Жюлиа. Для любого отображения / 3 3 гиперболической поверхности в себя множество Жюлиа J( ) пусто. В частности, f не может иметь отталкивающих точек, параболических точек, и граница ее области притяжения пуста. [c.75]

Притягивающие и отталкивающие точки 99 [c.99]

Притягивающие и отталкивающие точки 101 [c.101]

Задача 8-е. Образ С S. Пусть р — отталкивающая точка [c.112]

Далее будет показано, что это —векторные уравнения движения, лвух материальных притягивающихся или отталкивающихся точек. [c.46]

Эти последние преобразования дифференциальных уравнений движения второго порядка системы притягивающихся или отталкивающихся точек во всех отношениях совпадают (не считая небольших различий в написании) с изящными каноническими формами, данными Лагранжем в Me anique Analytique, но нам казалось, что стоит вывести их заново из свойств нашей характеристической функции. Предположим (как это часто считается удобным и даже необходимым), что п точек системы не являются целиком свободными и подвержены не только своим собственным взаимным притяжениям и отталкиваниям, но связаны любыми геометрическими условиями и подвергаются влиянию любых внешних факторов, согласующихся с законом сохранения живой силы так, что число независимых отметок положения будет менее велико, а силовая функция менее проста, чем раньше. Тогда мы можем доказать при помощи рассуждения, очень сходного с предыдущим, что и при этих предположениях (которые, однако, дух динамики все более и более склонен исключать) накопленная живая сила, или действие V системы, представляет собой характеристическую функцию движения уже разобранного выше рода. Эта функция выражается тем же законом и формулой вариации, подверженной тем же преобразованиям, и обязана удовлетворять таким же способом, как и выше, конечной и начальной зависимости между ее частными производными первого порядка. Она приводит при помощи варьирования одной из этих двух зависимостей к тем же каноническим формам, которые были даны Лагранжем для дифференциальных уравнений движения, и дает, исходя из изложенных выше принципов, их промежуточные и конечные интегралы. По отношению же к тем мыслимым случаям, в которых закон живой силы не имеет места, наш метод также неприменим однако среди людей, наиболее глубоко занимавшихся математической динамикой вселенной, все более крепнет убеждение, что представление о таких случаях вызывается недостаточным пониманием взаимодействия тел. [c.189]

Метод основан на комбинации принципов вариационного исчисления-с частными производными и может рассматриваться математиками как особая ветвь алгебры, которая может быть названа исчислением главной функции, потому что во всех важных приложениях алгебры к физике и в очень широком классе чисто математических вопросов этот метод сводит определение многих взаимно связанных функций к отысканию и изучению главного или центрального соотношения. В приложениях этого метода к динамике (прежде этот метод был применен к оптике) профессор Гамильтон открыл существование главной функции, которая, если ее форма полностью известна, дает по определении ее частных производных все первые и все конечные интегралы известных уравнений движения. Профессор Гамильтон придерживается мнения, что математическое объяснение всех явлений материи, отличных от жизненных явлений, будет окончательно найдено в зависимости от свойств системы отталкивающихся или притягивающихся точек. И он думает, что те,, кто не одобряет его мнения во всей его общности, могут все же признать при современном состоянии науки свойства таких систем более важными, чем какая-либо другая область приложения математики к физике. Он, таким образом, считает фундаментальной проблемой динамики определить Зп прямоугольных координат или других характеристик положения свободной системы притягивающихся и отталкивающихся точек как функции времени , включающих, следовательно, 6п начальных постоянных, которые зависят от начальных условий движения, и включающих, кроме того, п других констант, называемых массами, которые измеряют на стандартном расстоянии притягательные и отталкивательные действия (energies). Обозначая эти п масс через т , т ,..., т и их Зп прямоугольных координат — через Xi,y ,Zi,. .., х , у , и, следовательно, 3 компонентов ускорения или вторых производных этих координат по времени — через х , У , . .. [c.284]

Метод фундаментальной области, используемый в 2.1 для доказательства структурной устойчивости отображений отрезка с притягивающей и отталкивающей точками на концах, а также для описания модулей гладкого сопряжения. См. также упражнения 2.1.1, 2.1.3 (пункт второй), 2.3.3 и 2.3.4. Этот метод применим к некоторым системам с сильно диссипативным поведением, т. е. к системам, для которых большинство орбит не возвращаются и можно найти хорошие фундаментальные области действия. Метод имеет приложения и в многомерных ситуациях, например при доказательстве теоремы Хартмана — Гробмана 6.3.1 и в методе клина Стернберга, который мы используем в п. 6.6 г, чтобы получить новое доказательство теоремы 6.6.6. Однако этот метод не может использоваться для систем с нетривиальным возвращением (см. обсуждение в конце 3.3). [c.103]

Т и —гладкое многообразие. Нетрудно вндеть, что М представляет собой двумерную сферу с четырьмя дырками (упражнение 17.2.1). Поскольку f(—x) = -f x), мы получаем индуцированное отображение / М —уМ, которое дифференцируемо и инъективно. Заполняя S M четырьмя отталкивающими точками (одной неподвижной и тремя периодическими точками периода три), получаем диффеоморфизм / 5 5 с гиперболическим аттрактором (получающимся при проектировании множества А на М). Это и есть аттрактор Плыкина р]. [c.541]

Легко видеть, что множество пеблуждаюших точек построенного этим способом диффеоморфизма / 5 5 состоит из отталкивающей точки д, гиперболического множества Л и притягивающей траектории периода 3 (точки ко, кх и на рис. 11). [c.60]

Предостережение В этих рассуждениях существенно используется то, что любое непостоянное отображение С в себя является сюръ-ективным. Целая функция, определенная на всей плоскости С, например 2 2хе , может иметь отталкивающие точки, у которых большие орбиты конечны. См. задачу 6-с.) [c.64]

Лемма. Характеризация топологически отталкивающих точек. Неподвижная точка голоморфного отображения является топологически отталкивающей тогда и только тогда, когда ее мультипликатор удовлетворяет условию Л > 1. [c.107]

Если Л > 1, то из теоремы 8.2 (или из намного более простых элементарных вычислений) следует, что точка является топологически отталкивающей. Я благодарен С.Закери за следующее доказательство обратного утверждения. Если р— топологически отталкивающая точка отображения /, то заметим сначала, что Л ф О (и на самом деле Л 1), поскольку р, очевидным образом, не может быть одновременно и притягивающей, и отталкивающей. Поэтому мы можем выбрать компактную изолирующую окрестность N, которая настолько мала, что / отображает N гомеоморфно на некоторую компактную окрестность f N) точки р. Пусть [c.107]

Пусть X — локально-компактное топологическое пространство, и / гомеоморфно отображает некоторую компактную окрестность N точки х на компактную окрестность N так, что /(ж) = х. Покажите, что х является топологически отталкивающей точкой для / тогда и только тогда, когда она является топологически притягивающей для / . (Здесь условие локальной взаимной однозначности / существенно. Например, для отображения f z) = z нуль является притягивающей точкой, а для негладкого отображения g z) = 2z z нуль является точкой отталкивающей, при этом ИИ одно из этих отображений не является локальнообратимым в нуле.) [c.112]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...