Уравнение Г амильтона — Якоби

Любая функция S (q, a, t), обращающая уравнение (132) в тождество, зависящая от п констант а и удовлетворяющая условию (133), называется полным интегралом уравнения (132). Для наших целей достаточно найти любой полный интеграл уравнения Г амильтона — Якоби. [c.323]

На основании уравнений (50 ) путем рассуждений, аналогичных рассуждениям п. 35 предыдущей главы, мы непосредственно увидим, что функция S ( 1 q , если в ней рассматривать в качестве независимых переменных аргументы t н q, 2. ъ качестве произвольных постоянных — начальные значения q , удовлетворяет уравнению Г амильтона — Якоби [c.439]

Уравнение Г амильтона — Якоби не содержит явно функцию V, поэтому полный интеграл этого уравнения можно искать в виде [c.483]

Цля решения задачи о движении достаточно найти полный интеграл уравнения Г амильтона—Якоби [c.493]

Самым простым и эффективным методом точного интегрирования уравнений Г амильтона является метод разделения переменных. Согласно Якоби, задача интегрирования канонических уравнений [c.97]

Канонические преобразования и уравнения Г амильтона-Якоби [c.328]

Полный интеграл уравнения Г амильтона-Якоби [c.352]

Однако поскольку функция 5 удовлетворяет уравнению Г амильтона-Якоби (7), то [c.357]

Уравнение Г амильтона — Якоби [c.401]

Большое практическое значение имеет обратное утверждение,, основанное на теореме Якоби, которая дает возможность по известному полному интегралу уравнения Гамильтона — Якоби находить независимые интегралы канонических уравнений (9.15). Согласно этой теореме, если некоторая функция 8 д, а) является полным интегралом уравнения Г амильтона — Якоби, то реше- [c.403]

Полный интеграл. Уникальная особенность канонических преобразований состоит в том, что, в принципе, можно получить решение системы алгебраическим способом, угадав преобразование к новым переменным ж, р ж, р, в которых гамильтониан Н = 0. Тогда ж, р — произвольные постоянные, а КП ж, р ж, р является решением уравнений Г амильтона. Путь к строгому решению этой задачи нашли У. Г амильтон и К. Якоби. Полагая, например, в (26.15) Я = О и заменяя в гамильтониане импульсы в соответствии с (26.14) частными производными Рп = = дЕ/дхп, получим уравнение [c.278]

Таким образом, задача интегрирования системы (27.5) эквивалентна нахождению полного интеграла уравнения Г амильтона-Якоби. [c.280]

Будем искать полный интеграл уравнения Г амильтона-Якоби в виде [c.280]

Уравнение Г амильтона-Якоби имеет вид [c.281]

Замечание 2. В общем случае переменные в уравнении Г амильтона-Якоби не разделяются. Предположим, что гамильтониан удается представить в виде Н(х, р, 1) = Яо(ж, р, ) + АН х, р, 1), где Но —гамильтониан интегрируемой системы канонических уравнений. Тогда можно найти полный интеграл уравнения [c.283]

Произведем КП к переменным действие-угол. Полный интеграл уравнения Г амильтона-Якоби 3 = -Е1 + ] х, Е), [c.285]

Ряд (27.20) обрывается и мы имеем точное решение уравнения Г амильтона-Якоби [c.288]

Задача Коши — нахождение по начальным данным решения уравнения с частными производными—естественным образом возникает при определении напряженности электрического и магнитного полей Е(х, ), В(х, ), поля скоростей у х, Ь) в гидродинамике, поля температур Т(х, t) и т.д. Возникает вопрос какой физической величине соответствует функция, удовлетворяющая уравнению Г амильтона-Якоби Ответ на него стал возможным только после создания квантовой механики. [c.289]

Элементы гамильтоновой оптики. Если ограничиться проблемой определения траектории, то можно использовать для этой цели укороченное действие. Пусть гамильтониан не зависит явно от времени. Тогда полный интеграл уравнения Г амильтона-Якоби следует искать в виде [c.295]

Решение системы (30.1), (30.3) является КП = ж (ж, t), Рп = = Рп х, р, t), обращающим новый гамильтониан в нуль. Как и в стандартном формализме, решение можно представить как КП, порождаемое одной из производящих функций. Например, функция Е2(х,р, t) является полным интегралом уравнения Г амильтона-Якоби [c.331]

Поскольку речь идет о консервативной системе, можно использовать уравнение Г амильтона — Якоби в виде (8.27) [c.58]

Поскольку речь идет о стационарной задаче, можно исходить непосредственно из уравнения Г амильтона — Якоби в виде. (8.271 [c.63]

В этом параграфе рассматривается метод применения уравнения Г амильтона — Якоби к материальным системам, совершающим периодические движения. Использование этого метода целесообразно в тех случаях, когда не требуется полного исследования поведения материальной системы, а требуется определить только частоты периодических движений. [c.170]

Эта схема интегрирования Г амильтона была упрощена и улучшена Якоби. Главная функция Гамильтона должна удовлетворять сразу двум уравнениям в частных производных. Решение этой задачи практически невозможно без более широкой схемы интегрирования, предложенной Якоби. Производящая функция S зависящего от времени канонического преобразования определяет все движение фазовой жидкости, удовлетворяя лишь одному уравнению в частных производных [c.262]

Г амильтона — Якоби метод интегрирования канонических систем уравнений 296 [c.544]

Использование обобщенных координат — одно из преимуществ формализма Гамильтона—Якоби. Что же касается уравнений Лагранжа, то их особенное преимущество состоит в том, что все вычисления сводятся к составлению выражения для кинетической энергии, выраженной в функции /, д,д, а к простым дифференцированиям. При рассмотрении принципа Гамильтона надо допустить, что систему можно заставить перейти от того же начального к тому же конечному положению, что и в действительном движении, с помощью некоторого фиктивного движения (бесконечно мало отличающегося от действительного), не заботясь о том, чтобы удовлетворялись уравнения динамики, но сохраняя связи. Интеграл Гамильтона может обратиться в нуль для всех вариаций, совместимых со связями, лишь в том случае, если сумма под знаком интеграла постоянно равна нулю. В противном случае, изменяя знаки всех 3 одновременно, можно выбрать их так, чтобы сумма под знаком интеграла была все время положительна, а следовательно, интеграл не был бы равен нулю. При 17 = 0 из принципа Г амильтона получим [c.868]

Уравнения (5.2) имеют интеграл Я = ( -(- у )/2 -Ь У х,у), называемый интегралом Якоби. Эти уравнения можно представить в канонической форме функцией Г амильтона является полная энергия астероида А. Хорошо известно, что система (5.2) имеет пять положений равновесия Ь, ..., которые называются точками либрации. Равновесия Ьг, [c.48]

Система уравнений возмущенного движения упрощается в том случае, когда решение (1.3) вспомогательной системы уравнений (1.2) представляет каноническое преобразование величин а ,, Рд, в д,, р . Это будет иметь место, как говорилось в гл. 10, в двух случаях во-первых, когда решение (1.3) представляет интеграл Коши для системы дифференциальных уравнений (1.2), то есть а , —начальные значения переменных д , р во-вторых, когда решение (1.3) представляет общий интеграл канонической системы (1.2), полученный из полного интеграла уравнения в частных производных Якоби — Г амильтона. [c.563]

Найдем связь между решением уравнения (6.98) и полным интегралом уравнения Остроградского — Г амильтона — Якоби. Полный интеграл уравнения Остроградского — Гамильтона имеет структуру (6.76), т. е. является функцией времени, координат и постоянных интегрирования. Согласно теореме Остроградского— Гамильтона — Якоби, по полному интегралу определя-ём общее решение канонической системы уравнений, зависящее от постоянных т] и [c.175]

Общее применение метода Г амильтона — Якоби в теориях движения планет и Луны основано на предположении, что канонические уравнения могут быть решены описанным выше методом, если в уравнения входит только некоторая часть функции Гамильтона Н. Таким образом, если мы напишем [c.184]

Практическое применение развиваемой теории в механике идет точно в обратном направлении. Для того чтобы избежать интегрирования системы уравнений Гамильтона, пытаются найти какой-либо полный интеграл уравнения Г амильтона-Якоби. Хотя, по суш,еству, эти задачи эквивалентны, практика показывает, что определение полного интеграла, если это возможно, реализуется прош,е. При этом и объем вычислений на таком принципиальном шаге оказывается обычно меньше, чем при прямом интегрировании уравнений Гамильтона. Поскольку читатель понимает, что чудес не бывает, то следует указать, куда переходят аналитические сложности. Часто трудно перейти от неявного вида решения (29), полученного с помогцью произво-дягцей функции, к явному виду р = р (а, р, /), q = Ч( , Р, О- Однако здесь уже не приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями. [c.340]

Задача Коши. Рассмотрим задачу Коши датя уравнения Г амильтона-Якоби [c.288]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...