Чередующихся направлений метода

Неявные схемы метода чередующихся направлений 139 [c.139]

В этих схемах итерации, необходимые для достижения второго порядка точности и для нелинейных членов, не обязательно связаны с дополнительной работой, так как они могут потребоваться и при численной реализации граничных условий. Одним из недостатков неявных схем метода чередующихся направлений, так же как и других неявных схем, является необходимость иметь граничные значения для Вдоль некоторых границ можно задать условия для "+, допускающие неявное решение. Но на стенке с условием прилипания значения 1,0, на этой границе зависят от значений г]5 во внутренних точках (такие возможные зависимости будут обсуждаться в разд. 3.3.2). Поэтому для определения значения на стенке требуется неявное решение уравнения Таким образом, полная неявная задача при наличии граничного условия прилипания практически не поддается расчету даже при линеаризации скоростей по значениям м" и у". [c.142]

Хотя преимущества неявных схем метода чередующихся направлений над явными схемами практически не таковы, как это следует из анализа при помощи метода фон Неймана, опыт многих исследователей показывает, что неявные схемы метода чередующихся направлений допускают большие по величине размеры шагов по времени, ускоряют расчет в целом (вдвое и более) и, кроме того, дают возможность получить второй порядок точности по времени. Можно быть уверенным в том, что для простых прямоугольных областей такие схемы будут широко применяться и в дальнейшем. В случае же областей неправильной формы программирование для этих схем может усложниться и более практичными могут оказаться явные схемы. [c.144]

Если на каждом шаге по времени направление обхода точек при расчете чередовать от увеличения / к уменьшению то такая явная схема метода чередующихся направлений будет близка к симметричной и может быть записана в виде [c.146]

Применение явной схемы метода чередующихся направлений к нелинейному уравнению диффузии [c.148]

I (/ ) было 1, а при уменьшении г (г ) было 1. Для схемы чередующихся направлений оба эти ограничения приводят к условию 1С 1 (см. задачу 3.19). Это один из примеров, когда обычный метод фон Неймана не дает ответа относительно действительной вычислительной неустойчивости. [c.151]

Подобно неявным схемам, явные схемы метода чередующихся направлений в применении к уравнению конвекции для невязкой жидкости приводят к появлению бесконечной скорости распространения возмущения, что не является свойством дифференциального уравнения. [c.151]

Рассмотренная явная схема метода чередующихся направлений не комбинировалась с явной схемой метода чередующихся направлений для уравнения диффузии с целью получения безусловно устойчивой явной схемы для полного уравнения, включающего конвективные и диффузионные члены, и не использовалась для решения реальных задач гидродинамики. [c.151]

Чередующихся направлений метода схема МакКи и Митчелла 384 [c.7]

Парадокс влияния условий на выходной границе 253—255, 414 Пекле число 285, 286 Переменных (попеременных) направлений метод см. Чередующихся направлений метод Переопределеиность граничных условий 227, 229, 392, 393 Перестройка ячеек сетки 344. 349, [c.606]

Чебыихева полуаналитический (полу-итерационный) метод 162, 193 Чена —Аллена схема 138, 211, 212, 386—388, 521, 522, 536 Чередующихся направлений метода схема Мак-Ки и Митчелла 384 --— схемы высшего порядка 172 [c.611]

В середине пятидесятых годов в работах Писмена и Рак-форда [1955], а также Дугласа и Ракфорда [1956] были предложены эффективные неявные методы для решения параболических уравнений, пригодные при произвольно больших шагах по времени. Под названием неявных схем метода чередующихся направлений 2) они применялись и для решения эллиптических задач с использованием аналогии Франкела [1950] между продвижением решения по времени в параболических задачах и продвижением решения по итерациям в эллиптических задачах. [c.20]

Наряду с названием метод чередующихся направлений в советской литературе применяются также названия метод переменных (или попеременных) направлений . При переводе данной книги мы употребляем первое (хотя реже встречающееся) название как более точно отражающее суть метода и его английское название (alternating dire tion method). —Прим. ред. [c.20]

В 1953 г. Дюфорт и Франкел опубликовали свою схему чехарда для параболических уравнений, которая, как и неявные схемы метода чередующихся направлений, пригодна для произвольно больших шагов по времени (при отсутствии конвективных членов), но сохраняет все преимущества чисто явных схем. Эта схема использована Харлоу и Фроммом [1963] при получении их широко известного численного решения для нестационарной вихревой дорожки. [c.21]

Эта концепция похожа на расщепление, ранее использованное Пис-меиом и Ракфордом [1955] в неявной схеме метода чередующихся направлений (см. разд. 3.1.16), но ие эквивалентна ему. В монографии Яненко [1967] рассматриваются и другие методы дробных шагов по времени. [c.126]

Неявные схемы метода чередующихся направлений (схемы ADI) были предложены в работах Писмена, Ракфорда [1955] и Дугласа [1955]. Называемая также схемой переменных направлений (Кускова [1968]), эта схема основана на расщеплении шага по времени с целью построения многомерной неявной схемы, в которой требуется обращение только трехдиагональной матрицы ). Первые приложения этой схемы к задачам [c.139]

Для линеаризованной задачи неявную схему метода чередующихся направлений Писмена и Ракфорда можно представить в следующем виде. Обозначим через б /бх и б /бх аппроксимации с центральными разностями для д1,/дх и д%/дх в точке I. Интегрирование по времени на интервале уравнения, включающего конвективные и диффузионные члены, [c.140]

НОГО члена, сохраняется и в неявных схемах метода чередующихся направлений.) [c.141]

И В этом случае значения на стенке будут отставать на А/ от значений во внутренних точках. Такая схема использовалась в работе Уилкса и Черчилла [1966]. При малых А/ эта аппроксимация достаточно точна, но ведь основное преимущество неявных схем метода чередующихся направлений — возможность счета с большими шагами М. При больших А/ такая схема может оказаться не только не точной, но и дестабилизирующей. Решение при помощи итераций, как и при нахождении решения г з + , очевидно, оказывается предпочтительнее. [c.143]

При использовании неявных схем метода чередующихся направлений для расчета течений при больших Не (или при больших числах Грасгофа для течений со свободной конвекцией) многие исследователи обнаруживали вычислительную неустойчивость (или, возможно, очень малую скорость сходимости итераций). Они либо не смогли получить решение при больших Ке (напрпмер, Парис и Уитекер [1965], Торранс [1968]), либо были вынуждены осреднять с весом рассчитанные данные на старом и новом слоях по времени (Пирсон [1965а]), что эквивалентно уменьшению А/, либо переходили к схемам с разностями против потока для конвективных членов (Бао и Догерти [c.143]

Для успешного распространения основной неявной схемы метода чередующихся направлений (3.308) на случай трех пространственных переменных нужно принять во внимание некоторые тонкости. В наиболее очевидной схеме в этом случае надо выполнить три вычислительных шага с двумя промежуточными шагами прп /-)-Д//3 и /-)-2Д//3. Эта схема уже не обладает ни вторым порядком точности по времени, ни безусловной устойчивостью (Рихтмайер и Мортон [1967]) и неустойчива при й > 2 (Карнахан с соавторами [ 969]). Продемонстрируем такое распространение схемы на случай трехмерного уравнения диффузии [c.144]

Схема имеет порядок точности О (А/ , Ах , Аг/ , Дг ) и безусловно устойчива. Эта процедура может быть обобщена и на случай больщего числа переменных. Дуглас и Ракфорд [1956], Дуглас и Ганн [1964] и Брайен [1961] предложили другие неявные схемы метода чередующихся направлений в случае трех пространственных переменных (см. также Карнахан с соавторами [c.145]

Явная схема метода чередующихся направлений, примененная к уравнению диффузии, безусловно устойчива, как и неявная схема метода чередующихся направлений, имеет формальную ошибку аппроксимации Е = О АР, Ах ) (см. Саульев [c.147]

О различных циклических перестановках направлений обходов точек при расчете см. Ларкин [1964].) Важное преимущество этой явной схемы по сравнению с неявной схемой метода чередующихся направлений заключается в том, что здесь не требуется использовать неявный трехдиагональный алгоритм. Другие варианты явных схем метода чередующихся направлений предложили Саульев [1964], Ларкин [1964], Баракат [c.147]

Алгебраическое исследование уравнений (3.329) весьма затруднительно. Численное исследование их для полного интервала изменения параметров С, й( и 0 приводит к условию устойчивости 1 ограничения на с1 здесь нет. Для рещения задач гидродинамики с ненулевыми конвективными членами ни схема (3.328), ни какая-либо другая явная схема метода чередующихся направлений на практике не использовалась. Единственное исключение составляет рассчитанное Сакураи и Ивасаки [1970] рещение задачи о структуре одномерной ударной волны, в которой не ставятся краевые условия. [c.149]

Робертс и Вейс [1966] предложили удачный вариант явной схемы метода чередующихся направлений для рещения уравнения переноса для невязкой жидкости, который они назвали схемой с разностями по диагонали . Эта схема основана на центральных разностях как для производной по времени, так и для производной по пространственной переменной, которые вычисляются в точках, расположенных на нолущагах сетки [c.149]

Подобно схеме Саульева, рассматриваемая схема оказывается явной во внутренних точках и неявной при расчете граничных условий. Для достижения симметрии при расчете можно чередовать направления обхода точек 1 и Исследование устойчивости схемы (3.332) при помощи метода фон Неймана дает [c.150]

Упражнение. Показать, что явная схема метода чередующихся направлений Саульева (3.315) для уравнения диффузии не приводит к росту ошибок при переходе от одной пространственной точки к другой. [c.151]

Поскольку в правую часть уравнения (3.343а) входит значение ,эта вторая схема является явной схемой метода чередующихся направлений, записанной для обхода точек в направлении возрастающих значений if. Подобно другим явным схемам метода чередующихся направлений, рассмотренным в разд. 3.1.17, эта схема неявная по граничному условию, т. е. для того, чтобы начать расчет в направлении роста г, необходимо знать "+. [c.156]

При комбинированном итерировании уравнения Пуассона и уравнения переноса вихря можно пользоваться простым критерием сходимости для уравнения Пуассона. (Эту процедуру действительно можно рекомендовать для расчетов см. разд. 3.4). Преимущество, присущее итерационному методу Либмана (методу Гаусса — Зейделя) или итерационному методу последовательной верхней релаксации (будут рассмотрены в разд. 3.2), которые аналогичны нестационарным явным схемам метода чередующихся направлений (разд. 3.1.17), можно обеспечить простым добавлением в программу оператора EQUIVALEN E для массивов и На практике использование меньших значений параметра нижней релаксации вблизи границ (Фридман [1970] для расчетов в граничных точках брал параметр г приблизительно равным одной трети от его значения, принятого для внутренних точек) может быть реализовано введением переменного в пространстве ) шага S.t. [c.164]

Некоторые схемы высокого порядка точности были описаны в разд. 3.1.18—3.1,20. Отметим дополнительно следующие работы, в которых попользуются обычные схемы высокого порядка точности, Фейрвезер [1969] применил неявную схему метода чередующихся направлений для уравнения диффузии, имеющую порядок точности 0(А/2, Ах ). (Заметим, что некоторые схемы, приведенные в книге Рихтмайера и Мортона [1967] для уравнения диффузии, приобретают высокий порядок точности при определенных комбинащ1ях параметров, но эти условия обычно не характерны для задач гидродинамики.) [c.172]

Используя компактную схему в неявном методе чередующихся направлений (см. разд. 3.1.16), Хёрщ [1975] рассчитал двумерные стационарные течения вязкой жидкости при малом числе Рейнольдса. При помощи компактной схемы четвертого порядка удалось достигнуть экономии мащинпого времени в 20 раз и объема машинной памяти в 3 раза по сравнению со схемой второго порядка (примерно прп той же точности). Граничные условия для вихря брались с предыдущего слоя по времени (как это обычно делается в том случае, когда интерес представляет только стационарное решение), что приводило к потере точности по времени. Трехточечные компактные разности можно также применять для построения схем шестого и более высокого порядка точности (Хёрш, личное сообщение). В схеме Рубина —Хосла [1975], основанной на аппроксимации сплайнами, вводится переменный шаг по пространственной сетке, и в этом случае порядок ошибки для F остается О (А ), но порядок ошибки для S уменьшается до О (А ). [c.174]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...