Аппроксимация i. степенной функцией

Аппроксимация и Uz выглядит аналогично, что обусловливает в каждом узле i по три степени свободы Ui, Vi, Wi. Этот элемент совместный. Координатные функции (2.24) согласно [c.62]

Зависимости (3.43) и (3.44) показывают, что первая производная в точке i может быть представлена по-разному — через значения функции в этой точке и последующей (правая разность) или в этой точке и предыдущей (левая разность). В том и другом случае точность аппроксимации производной пропорциональна первой степени шага А. [c.77]

Для решения ГИУ широко применяется метод Крылова — Боголюбова [47], который, в частности, используется во всех статьях сборника. Метод состоит в замене ГИУ системой линейных алгебраических уравнений. Исходная поверхность S аппроксимируется совокупностью 5 = Sp , р=, . .N, элементов Spk — параметрических поверхностей -го порядка. Каждый элемент проходит через некоторую совокупность узловых точек rpi S, / = 1,. .., q. По (неизвестным) значениям искомых функций (i==l,. .., t), где f —число искомых функций в некоторой подсистеме узловых точек, строится полиномиальная (степени т) аппроксимация искомых функций на 5р. , [c.192]

Только ЧТО рассмотренный случай является простейшим примером кусочной двумерной эрмитовой интерполяции (или аппроксимации) на прямоугольной области, разбитой на прямоугольные элементы. В общем случае для любого целого положительного числа I и любого разбиения прямоугольника R на прямоугольные элементы обозначим через Я = R) совокупность всех действительных кусочных полиномов g(x,y), определенных на R, так, что g x,y) - - - R) и g(x, у) есть полином степени 21—1 по каждому переменному X и jf на каждом прямоугольном элементе [хг, J <+i]X(i//, i//+i] (О < г < m — 1 О л — 1) области R. Для любой заданной действительной функции f x, у) - > - R) существует единственный кусочный эрмитов интерполянт р21-1 (х, у) е Я, определяемый условиями [c.17]

В заключение кратко обсудим свойства дифференцируемости вектор-функции 8 (и, ф, i) по переменным и и ф. Как уже упоминалось, выбрав величину б в (7.4.1) достаточно малой, мы можем аппроксимировать 8 сколь угодно точно степенными рядами по и с коэффициентами, зависящими от ф (и t). Если правые части уравнений (7.2.19) — (7.2.21) — многочлены (и аналитичны) по и и аналитичны по Ф в некоторой области, то любая конечная аппроксимация 8 "> (7.4.1) величины 8 обладает теми же свойствами (аналитичности). Из-за свойств остаточного члена, о которых говорилось выше, с увеличением числа дифференцирований д/дср,-, д дии остаточный член, содержащий производную высокого порядка, может все более возрастать, а область значений и, в которой справедливо рассматриваемое приближение, все более сужаться, обращаясь иногда в пустое множество. Такого рода трудности обычно преодолевают, вводя так называемое сглаживание. Следуя этой традиции, рассмотрим 8 "> (остаточный член для простоты отбросим) как сглаженную аппроксимацию многообразия 8 (и, ф, ). Тогда 8<" обладает всеми перечисленными выше свойствами дифференцируемости (или аналитичности). В дальнейшем, если нет специальных оговорок, мы будем понимать под 8 " сглаженную аппроксимацию. [c.245]

Гто1г ) обязательно пересекаются, так что всегда имеется общая точка, где безразмерные избыточные температуры одинаковы. При этом на участке от облучаемой поверхности до точки пересечения безразмерные избыточные температуры выше при меньших и больших, а после точке пересечения - наоборот. Аппроксимация зависимостей ) степенными функциями возмояна на отдельных интервалах. Абсолютные значения градиентов безразмерных избыточных температур по мере увеличения растут, но близ -X =1 зависимость имеет точку перегиба, и при а I градиент равен нулю. Для ) градиент равен нулю также при = 0. [c.248]

Виды безразыерных функций р I или Е, рассмотренные в главе второй (табл. 2. ), целиком пригодны для аппроксимации начального теипературного поля полуограниченного и неограниченного тел. Безразмерные функции, приведенные в главе второй (табл. 2, ), за исключением возрастающих экспонент, также подходят для этой цели, но для неограниченного тела убывающие экспоненциальные функции и степеням функция экспоненты лначале должны иметь обрыв.(при х =- ), иожно использовать обрывающиеся равномерную и линейную функции, приведенные в главе третьей. [c.304]

В ряде случаев, например для оценки производительности, длина пути взаимного скольжения трущейся пары обрабатываемого металла и инструментального материала является более удобным параметром для объективного сравнения и анализа отдельных факторов процесса изнашивания. Пользуясь формулой (9.19) при обработке экспериментальных данных, можно построить зависимости 3max(i>) И т (Ц, которые графически будут похожи на зависимости / зтах( ) и Шз(х) (рис. 9.10). Аппроксимация кривых линейного и весового износа по пути относительного рабочего движения производится также с помощью степенных функций Аз max = и ОТз = Li [c.128]

Здесь I — длина трещины, АК = — амплитуда изменения коэффициента интенсивности, который определяется методами теории упругости. Для функции 1 А.К) обычно применяют степенную аппроксимацию /(A/sT) = АХ X onst. Показатель т в зависимости от материала принимает значения от т = 2 до m = 6. [c.682]

Приближение сплайнами. Приближение сплайнами есть кусочно-полиномиальное приближение функции /(х) по ее значениям f(xo), f(xi),...,f(x ) в узлах Хо, Xi,...,Xn. Степень полинома на каждом участке [х, 1, х,], i = l,..., п, одинакова и называется порядко.м сплайна. Наиболее употребительны сплайны третьего и второго порядков. Аппроксимация f(x) сплай-на.ми третьего порядка (кубически.ми) изложена например, в [32]. Рассмотрим аппроксимацию f(x) сплайнами второго порядка (параболическими). [c.121]

Примером использования квадратичной аппроксимации для всех трех перемещений (с заданием их узловых значений в трех верии-нах и серединах сторон) и линейной для моментов служит элемент пологой оболочки двоякой кривизны, описанный Виссером Ц20 . Автор утверждает, что при одинаковом числе степеней свободы такой злемент позволяет получить существенно более высокую точность, чем та, которую дает элемент с линейными перемещениями и постоянными моментами. Здесь ке следует уШомянуть приведенный в работе [26 треугольный злемент пологой оболочки двоякой кривизны, в котором помимо перемещений и моментов задается линейная аппроксимация мембранных усилий, которые также считаются независимыми функциями (исходным является функционал вида (I.I)) Численные расчеты показывают, что в линейных задачах подобные элементы действительно обладают высокой степенью точности. [c.212]

При определении вида пробных функций для %., 4 следует вспомнить 1.2, 1.7, где подробно обоуждались аналогичные проблемы, только для компонент вектора перемещений Ui, 1аГ Это связано с тем, что (3.25) полностью тождественны с (I.I.I4). Однако выводы здесь совершенно иные. Например, условше невозможности точного представления жестких смещений для полиномиальных аппроксимаций М , Ar теряет всякий смысл, так как слагаемые в функциях, , которые не дают усилий и моментов, нигде в функционале не фигурируют. Поэтому отсутствие в пробных функциях для Xi, аналога жестка смещений должно восприниматься как положительное качество. 4 ак же здесь не становятся противоречивыми аналог требований к выбору степени полиномов для различных компонент перемещений Wj, UT с тбчки зрения необходимой гладкости решения и хорошей аппроксимацией постоянных деформаций, так как используемый функционал не выдвигает никаких требований к гладкости функций, f , а требует лишь хорошей аппроксимации усилий и моментов. [c.234]

Здесь представлены полные полиномы первого и нулевого порядков, и можно ожидать, что погрешность аппроксимации перемещений будет порядка Р, где I — длина наибольшей стороны прямоугольника. Для улучшения характеристик элемента можно ввести неузловые степени свободы. В частности, как говорилось в 5.5, можно добавить к этим выражениям функцию (1 — 1 ) (1 — rf) с произвольными множителями. Безразмерные координаты ц связаны с х, у линейными соотношениями [c.209]

Базисные функции в выражениях (1.2) и (1.6) появляются при рассмотрении частных случаев кусочной эрмитовой интерполяции (или аппроксимации) для заданного разбиения интервала. Пусть теперь в общем случае П a—xaразбиение интервала R— = [а, Ъ] на оси х. Для целого положительного т и разбиения интервала П обозначим через Я = Я( ">(П, R) множество всех действительных кусочно-полиномиальных функций w (х), определенных на R, так, что w(x) е "-- ( ) и w x) есть полином степени 2т—1 на каждом подынтервале [xi,xi+i] интервала R. Для любой заданной действительной функции (х) е е - ( ) кусочная эрмитова интерполяция однозначно определяется как такой элемент р2т- (х) е Я, для которого [c.12]

Заметим, что, хотя полиномы от л и не переходят, вообще говоря, в полиномы от I и т), линейные полиномы х, у представляют исключение. Само преобразование координат выражает X и у как билинейные функции от и т), и, конечно, постоянная функция остается постоянной. Если эти три полинома принадлежат пробному пространству, то выполнение условия сходимости гарантировано, т. е. все решения и = а х уу с постоянной деформацией точно воспроизводятся в S . Это всегда верно для изопараметрических преобразований и сходимость обеспечена. Субпараметрический случай еще лучше если пробное пространство содержит все биквадратичные или бикубические функции от I и т), то оно содержит и все биквадратичные или бикубические функции от х и а S имеет степень 2 или 3 соответственно. Поэтому в предположении, что углы четырехугольника Q заключены строго между О и я, аппроксимация в полной мере возможна, а ошибка в деформациях равна 0 Ф ), как и должно быть. [c.187]

Отметим, что три последних степени свободы в Ф5, соответствующие нормальным производным в серединах сторон, можно исключить. Это можно сделать, если для сохранения разрешимости уменьшить размерность пространства функций Р , предполагая кубическое поведение нормальной производной Ъ р вдоль каждой стороны w. То есть положим Р (w) = = р е Ps uS), Ъ р е Р на каждой стороне w h Фв = р щ), Ъ р(а ), kiPi i) к, I = 1, 2 i = 1, 2, 3 . Тогда тройка (w,/ (w), Ф5) обычно называется треугольником Белла. Набор Ф 5 / яфазрешим.Базисные функции приведены в [58] для стандартного треугольника. Кроме того, справедливо важное свойство P s Э Рц [75]. Этот элемент обладает, вообще говоря, меньшим порядком аппроксимации, чем треугольник Аргириса. Но в реальных задачах гладкость решения, на которой реализуются максимальные порядки точности обоих элементов, как правило, недостижима. В итоге они оба дают примерно одинаковую точность, обусловленную только гладкостью решения. В результате эти довольно сложные элементы находят [c.52]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...