Многообразие орбит

Получающееся многообразие орбит и называется приведенным фазовым пространством системы с симметрией. [c.342]

Теорема 1 (см. [1]). Росток типичной функции в нуле многообразия орбит неприводимой группы евклидовых отражений (значение функции в нуле равно нулю) приводим к ростку лилейной функции диффеоморфизмом многообразия орбит, сохраняющим дискриминантную гиперповерхность. Точнее, он может быть приведён к ростку инварианта наименьшей степени (равной 2). [c.76]

Пример. В случае многообразие орбит В является многообразием всех комплексных полиномов .. +Лр. Отображение Вие- [c.82]

Следовательно, каждый инвариант а В —> С определяет векторное поле Уа на многообразии орбит производная инварианта Ь вдоль Уд есть Ф(а, Ь). [c.82]

Доказательство. Евклидов градиент инвариантной функции тг а инвариантен относительно отражений. Следовательно, он касается зеркал. Таким образом, проекция этого градиента на многообразие орбит касается проекции зеркал, что и требовалось доказать. [c.83]

Будем обозначать касательное пространство в нуле к многообразию орбит группы отражений через Т, двойственное ему пространство — через Т. [c.87]

Пример. Обозначим дифференциалы координат А, в нуле многообразия орбит В теми же буквами А . Тогда для группы Лз линеаризованное сворачивание инвариантов описывается (в обозначениях 4.1) треугольной матрицей [c.87]

Отождествление пространств Т т Q, подразумеваемое в этой теореме, достаточно неестественно. Существует более естественное отождествление касательного пространства многообразия орбит в нуле Т и локальной алгебры Q. [c.91]

Зафиксируем допустимое отождествление касательного пространства Т многообразия орбит и линейного пространства локальной алгебры (9- Линеаризованное сворачивание инвариантов для каждого элемента 9 (9 определяет симметрическую билинейную форму [c.93]

Теоремы о линеаризованном сворачивании инвариантов могут быть сформулированы в терминах алгебр Ли линейных векторных полей. Полное сворачивание инвариантов определяет векторные поля, касающиеся дискриминантной гиперповерхности (и, следовательно, фронтов соответствующих особенностей). На линеаризованном уровне эта конструкция доставляет линейное семейство линейных векторных полей на касательном пространстве многообразия орбит в нуле. Эти векторные поля параметризованы точками двойственного пространства Т. [c.93]

Отображение периодов сопоставляет точке базы элемент пространства когомологий слоя над этой точкой элемент определён с точностью до действия группы монодромии. В случае простой особенности мы получим отображение многообразия Л Е (дополнения к бифуркационному множеству в базе версальной деформации) в многообразие орбит соответствующей группы отражений. [c.110]

Группа Ср действует собственно (см. замечание на стр. 341). Следовательно пространство орбит группы Ср на Мр является симплектическим многообразием. [c.344]

Эта поверхность (рис. 265), вместе с поверхностью с = О приложенных на кривой элементов, образуют многообразие нерегулярных орбит группы отражений В . Это наблюдение привело к теории краевых особенностей (1978). [c.462]

Теорема Ляшко описывает многообразие нерегулярных орбит группы На как объединение касательных к пространственной кривой 1, ), а теорема Щербака — к кривой (i -Ь о ( ), о ( ), -I- о )). [c.463]

Теорема (О. С. Щербак, 1984). Для препятствия общего положения график функции времени локально диффеоморфен многообразию 2 нерегулярных орбит группы в фокальной для пучка точке асимптотической касательной к геодезической пучка в параболической точке поверхности. Явная параметризация 2 [c.464]

Соответствующее этому четырехмерному подпространству вложение локальной алгебры Вц в локальную алгебру 5 индуцирует на первой именно ту градуировку, которая задается сворачиванием инвариантов Я4. О. П. Щербак доказал, что эта связь доставляет еще одно описание многообразия нерегулярных орбит Н . [c.464]

Три типичных сечения многообразия нерегулярных орбит изображены на рис. 269. [c.465]

Пусть ЛГ = [0,1] и /(х)= 1 -X. Покажите, что многообразие гомеоморфно листу Мёбиуса. Поток надстройки обладает одной орбитой периода один и бесконечным множеством орбит периода два. Покажите, что орбита периода один не разделяет Мр а любая орбита периода два, за исключением той, которая образует границу, разбивает его на два фрагмента, один из которых гомеоморфен листу Мёбиуса, а второй — цилиндру [0,1 ] х 5. [c.27]

Возникающее в результате этой идентификации пространство — поверхность т рода 2. Так как сумма внутренних углов восьмиугольника Q равна 2тг, отображение отождествления является гладким в вершинах (которые склеиваются в одну точку), и можно, следовательно, перенести метрику из Q на т. Мы получим компактное многообразие, которое является локально изометричным Н. Топологически это многообразие гомеоморфно сфере с двумя ручками, т. е. поверхности кренделя . Можно также показать, что т — пространство, полученное отождествлением орбит группы Г, порожденной изометриями А , г = 1,..4, отображающими а,, в а. Другими словами, фундаментальная группа пространства т может быть отождествлена с дискретной группой Г гиперболических преобразований Мёбиуса. [c.221]

По теореме Адамара — Перрона для отображений / К" —> К" существу ют многообразия и (р) при всех р К". Если начальная орбит [c.266]

В случае потоков устойчивое и неустойчивое многообразия гиперболических неподвижных точек и периодических орбит могут быть определены с помощью соответствующей модификации теоремы Адамара — Перрона 6.2.8, как предложено в упражнении 6.2.5. Соответственно можно говорить о трансверсальности относительно этих многообразий. Заметим, что такие многообразия состоят из орбит потока, так что трансверсальное пересечение может возникнуть только при условии, что сумма их размерностей строго больше размерности многообразия. [c.301]

Отождествление многообразия орбит В с базой версальной деформации Л не однозначно и определено с точностью до диффеоморфизма В - -В , сохраняющего ласточкин хвост Е. Касательное пространство к грулпе таких диффеоморфизмов порождает из операции линеаризованного сворачиваний инвариантов Фо т Х.Т - Т семейство билинейных операций Ь>а Т ХТ - Т, где а Т следующим образом. Рассмотрим инвариант ф В ->-С, для которого <р=а. Линеаризация векторного поля с потенциалом ф (п. 5.4) определяет линейный [c.138]

Группа отражений в действует также на комплексном пространстве С . Орбиты этого комплексного действия образуют гладкое многообразие орбит В, диффеоморфное (это следует из обобщения теоремы о симметричных функциях). Отображение В, отправляющее точку в её орбиту, называется отображением Виета. [c.71]

Для типичной функции времени росток ф в нуле типичен, следовательно (по теореме 1) приводим к виду ф= Х + onst (где Ai есть инвариант наименьшей степени) диффеоморфизмом многообразия орбит, сохраняющим дискриминант. [c.78]

Фронт простой особенности биголоморфно эквивалентен дискриминанту конечной группы евклидовых отражений ( 3.1). Поэтому мы будем изучать голоморфные векторные поля на многообразии орбит, касающиеся дискриминанта (то есть множества нерегулярных орбит). [c.81]

Напомним некоторые обозначения. Группа отражений действует на евклидовом пространстве и на его комплексификации С . Многообразие орбит В диффеоморфно С . Обозначим через тг —) В [c.81]

Биголоморфный диффеоморфизм базы версальной деформации в многообразие орбит группы отражений, отождествляющий бифуркационную диаграмму с дискриминантом, не единствен. Такие диффеоморфизмы (точнее их ростки в нуле) будут называться допустимыми отождествлениями базы с многообразием орбит. [c.89]

В самом деле, рассмотрим допустимое отождествление базы версальной деформации с многообразием орбит (росток в нуле биголо-морфного отображения, переводящего росток бифуркационной диаграммы в росток многообразия нерегулярных орбит). Его производная в нуле отождествляет Т с касательным пространством к базе версальной деформации, а последнее естественно изоморфно пространству локальной алгебры Q (скорости деформации соответствует её класс [c.91]

При наличии перекрытия двух последовательных энергетических зон, из которых нижняя была бы полностью заполнена, происходит перетекание электронов из одной зоны в другую. При этом концентрация пустых (дырочных) состояний П2 в одной из зон совпадает с концентрацией заполненных (электронных) состояний щ в другой зоне. Такой металл принято называть компенсированным п.1 = п2). Дрейфовый ток в нем в нервом приближении отсутствует. В случае замкнутых ПФ можно с онределенностью говорить либо об электронном ее характере, если внутри находятся заполненные состояния, либо о дырочном, если она окружает пустые состояния. В этом случае, если ni=n , все компоненты тензора проводимости определяются диффузией центров орбит, т. е. ахх Оуу аа/(( ат) < В . (На незамкнутой, а также ыногосвязной ПФ возможны как дырочные, так и электронные орбиты.) Приведенные выражения для компонент тензора проводимости исчерпывающим образом описывают все многообразие возможных асимптотик Поведения гальваномагнитных свойств металлов. [c.737]

Рассмотрим окрестность автоквадратного отображения G в подходящем функциональном пространстве отображений области Dr в себя. Эта окрестность расслоена на орбиты действия группы аффинных замен переменных (точнее, разбита на классы аффинно эквивалентных отображений допуская вольность речи, будем называть эти классы орбитами , хотя они представляют лишь куски орбит). Орбита отображения G, как и близких к G отображений, — гладкое многообразие, размерность которого совпадает с размерностью аффинной группы пространства С". Поэтому окрестность отображения G факторизуется по действию аффинной группы пусть п — проектирование этой окрестности на соответствующее факторпространство. Оператор удвоения переставляет орбиты действия аффинной группы поэтому он опускается до оператора, действующего на факторпро-странстве. Точка яС является неподвижной для этого нового [c.84]

Это уравнение мы будем называть уравнением Эйлера для угловой скорости. Заметим, что орбиты конрисоединенного представления под действием оператора А переходят в инвариантные многообразия уравнения Эйлера для углювой скорости эти многообразия имеют симплектическую структуру и т. д. Однако, в отличие от орбит в д,, зти инвариантные лшогооб-разия не определяются самой группой Ли С, но зависят также и от выбора твердого тела (т. е. оператора инерции). [c.293]

И. Изозавихренные поля. Двумерная гидродинамика резко отличается от трехмерной. Сущность этого различия заключается в различии геометрии орбит коприсоединенного представления в двумерном и трехмерном случае. Именно, в двумерном случае орбиты в некотором смысле замкнуты и ведут себя, примерно, как семейство множеств уровня функции (точнее, нескольких функций в действительности даже бесконечного числа функций). В трехмерном же случае орбиты устроены сложнее, в частности, неограничены (а быть может и плотны). Орбиты коприсоединенного представления группы диффеоморфизмов трехмерного риманова многообразия можно описать следующим образом. Пусть [c.298]

На приведенном фазовом пространстве Рр имеется естественная симплектическая структура. А именно, рассмотрим какие-либо два вектора , ц, касательных к Рр ь точке /. Точка / является одной из орбит группы Ср на многообразии Мр. Пусть х — одна из точек этой орбиты. Векторы и т), касательные к Рр, получаются из некоторых векторов т), касательных к Мр в точке X, при проекщ1и п Мр Рр. [c.342]

Представители и ц определены с точностью до прибавления вектора из касательной плоскости к орбите группы Ср. Но эта касательная плоскость есть пересечение касательных плоскостей к орбите Сж и к многообразию Мр (по последней теореме пункта А). Следовательно добавление к % вектора из Т (Срх) не меняет кососкалярных произведений со всеми векторами ц из Т (Мр) (так как по лемме Т (Срх) косоортогонально Т (Мр)). Итак, независимость от выбора представителей т доказана. [c.343]

Теорема (1973). Ростки лежандровыл отображений общего положения многообразий размерности 5 в каждой точке просит и устойчивы. Простые устойчивые ростки лежандровых отображений классифицируются группами А, В, Е их фронты локально диффеоморфны (в комплексной области) многообразиям нерегулярных орбит соответствующих групп, порожденных отражениями. [c.452]

О. в. Ляшко многообразие 2 нерегулярных орбит группы Яд (группы симметрий икосаэдра). Гипотеза Гивенталя вскоре была доказана [c.463]

Все эти рассуждения приводят к полулокальному подходу, который находится между локальным анализом и глобальным изучением системы в целом. А именно, пусть М — гладкое многообразие (не обязательно компактное), и а М — открытое подмножество многообразия М и Ас и — компактное множество. Пусть, кроме того, и - М — гладкое отображение, которое оставляет множество Л инвариантным. Нас может интересовать поведение орбит системы на самом множестве Л или вблизи него. Локальный инструмент этого анализа—дифференциал П/, суженный на ограничение касательного расслоения Т М = у Т М. [c.29]

Таким образом, вообще говоря, наша процедура не определяет отображения (ни в каком направлении) между пространством X и подмножеством пространства последовательностей Чтобы мы могли получить приемлемую взаимосвязь между топологией фазового пространства и топологией пространства последовательностей, подмножества нашего разбиения должны быть замкнутыми. Таким образом, если, скажем, X — связное многообразие, то первой трудности избежать нельзя. Здесь нужно сделать две оговорки. Во-первых, в случае полулокального анализа иногда можно избежать перекрытий, как мы увидим позднее в этом параграфе. Во-вторых, наличие перекрытий, имеющих меру нуль, несущественно в случае, когда мы исследуем статистические свойства орбит, типичных в смысле некоторой меры, инвариантной для / (см. 4.1), так как тогда множествами нулевой меры можно просто пренебречь. [c.92]

Предупреждение. Построение и описание многообразий W ). и W ) , отличных от (W )o и (W )q, зависит от поведения точек, орбит которых покидают окрестность начала координат. Следовательно, они за висят от выбора продолжения по лемме 6.2.7 и не могут быть определен с помощью информации о поведении точек в окрестности начальной орбип на многообразии. [c.262]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...