Функция с компактным носителем

Теорема 5.3. Пусть выполнено (5.4.5), — гладкая функция с компактным носителем Uo тогда при [c.243]

Теорема 5.6 [33J. Если у о = (0), Що — гладкая функция с компактным носителем Uo = Uqo/g, то [c.246]

Доказательство. Сначала введем одно полезное во многих отношениях понятие. Функцией типа шапочки называется гладкая отличная от нуля функция с компактным носителем, определенная на открытом множестве. Примером на действительной прямой является функция [c.288]

Единственные обобщенные функции, не являющиеся функциями умеренного роста, с которыми мы встретимся в этой книге,— это элементы т. е. непрерывные линейные функционалы на пространстве Т) всех бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем ). Понятие сходимости в таково /п- / в если носители п лежат в каком-то фиксированном компактном множестве К и /п - / равномерно ъ К, а производные /п приближаются к производным / равномерно в К. [c.56]

Если f ж g — две основные функции с компактным носителем, то [c.207]

Шварца интегрируема, если f — бесконечно дифференцируемая функция с компактным носителем. Следовательно, мы можем воспользоваться теоремой, аналогичной теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, и получить, что [c.259]

Теорема 3.3. Пусть /бL2(IRЗ) - заданная функция с компактным носителем.Ищем функцию е иеУ (ж ), обладающую [c.435]

Здесь f)) — непрерывные функции с компактными носителями, не зависящими от к. Более того, функции непрерывно зависят от (см. обсуждение теоремы 26 в монографии Шварца 1191), так что [c.124]

Пространство обобщенных функций. Пусть 0(G)— пространство функций из °°(G) с компактным носителем в G, такое, что сходимость последовательности функций (fj D G) к нулю означает следующее [c.26]

Возьмем основную функцию g с компактным носителем, лежащим целиком вне Г. Тогда [c.89]

Говорят, что действительная функция /, определенная на локально компактном пространстве имеет компактный носитель, если существует компактное подмножество Е в пространстве такое, что / = О на — Е. Обозначим через о класс всех непрерывных функций f ->R с компактным носителем. [c.79]

Таким образом, в этом представлении из равенства лу(/)==0 следует, что свертка / Ф равна нулю для всех Ф е Я (С) [где (О) — множество всех непрерывных функций на О с компактным носителем]. Из равенства же / Ф = 0 следует, что / = 0. Таким образом, представление, ассоциированное с левым регулярным представлением группы О, инъективно. [c.222]

Пусть б и О такие же, каки в 1, / - функция из L Q) с компактным носителем. Ищем функцию и, определенную в Q к такую, [c.408]

Пусть 7 ( 1,. . ., ) — произвольная, но фиксированная вещественная функция из класса С°° с компактным носителем, причем выбранная так, что у = 1 в окрестности начала координат и 7 (х — х . . ., х — Хд) инвариантна относительно перестановок аргументов х, х . . ., х . Такие функции существуют. Например, можно образовать функцию [c.52]

Пусть функция fi (X, W) (т. е. и с компактным носителем), причем -ф = 1 в окрестности начала координат. Представим функцию F в виде суммы [c.109]

Одним из фундаментальных свойств интегральных операторов К с непрерывными ограниченными ядрами является то, что они любое множество ограниченных функций преобразуют в компактные множества непрерывных функций. Подчеркивая это обстоятельство, говорят, что оператор К с непрерывным ядром на множестве ограниченных функций Ф является компактным оператором. Из приведенного свойства оператора К следует одно чрезвычайно важное обстоятельство. Исходное множество Ф независимо от того, является ли оно подмножеством пространства С / ) всех непрерывных функций, заданных на или нет, его образ 5= Р=/(5, 5 Ф есть компактное множество непрерывных функций. Поскольку само по себе пространство непрерывных функций С, заданных на любом конечном носителе, не является компактом, то преобразование, осуществляемое интегральным оператором, приводит к сужению исходного функционального пространства. Естественно, что, обращая функции 3 из компактного подмножества В В а С), мы не можем получить решение 5, которое бы принадлежало более широкому классу функций, каковым, например, является множество С. Возникающая таким образом неопределенность зачастую интерпретируется как некорректность задач, связанных с решением операторных уравнений первого рода. Не будем усложнять изложение материала имеющимися многочисленными трактовками понятия некорректности, полагая, что приведенных выше рассуждений вполне достаточно для понимания подходов к конструированию вычислительных алгоритмов обращения, которые будут описаны ниже. Формальное изложение теории некорректных задач можно найти в работах [18, 48]. [c.41]

Определение П 3.2. Разбиением единицы называется совокупность V> ) j где 7j — локально конечное открытое покрытие, а функции 6 С°°(М) неотрицательны и обладают компактным носителем в U , причем S = 1. Разбиение единицы называется [c.703]

Но (ж + 1у) — последовательность голоморфных функций, и, как мы уже разъяснили в разделе 2-3, сходимость для всех g такой последовательности, размытой с помощью основных функций с носителем, лежащим в или на данном компактном множестве, влечет за собой равномерную сходимость последовательности к голоморфной функции 0 х + 1у). Поэтому Я(ж, г/) = С (ж-1-гг/) —голоморфная функция. Так как последовательность сходится на открытом множестве из к 7 1 и на открытом множестве из Ог к Рг, то она и дает требуемое аналитическое продолжение. I [c.118]

Главное свойство борелевских мер состоит в том, что они регулярны, т. е. для каждого В бВ мы имеем — inf fi(0)) В СО открыто = supifi(ii) К С В компактно . Кроме того, каждая непрерывная функция / X ->R измерима по Борелю, т. е. прообразы открытых множеств измеримы по Борелю, и для каждого компактного множества К имеется такая вложенная последовательность / еи неотрицательных непрерывных функций с компактным носителем, что / - Хк поточечно, где Хк характеристическая функция К. Из сепарабельности X следует сепарабельность меры для каждой точки х из счетного плотного подмножества рассмотрим счетную совокупность открытых окрестностей с такими компактными замыканиями 8,у, что П = xj . Тем самым определен базис. Кроме того, каждый атом является точкой, [c.716]

В ходе анализа измерений поля, проделанного для электромагнитного поля в квантовой электродинамике, давно уже установлено, что компоненты полей как функции точки пространства-времени, вообще говоря, более сингулярны, чем обычные функции. Это приводит к тому, что только размазанным (smeared) полям можно сопоставить хорошо определенные операторы. Напрпмер, в случае электрического поля Е (х, /) не есть хорошо определенный оператор, но dxdt f(x)E(x, t) = E f) — хорошо определенный. Здесь / — любая бесконечно дифференцируемая функция с компактным носителем, определенная в пространстве-времени. Существует еще один момент, который слелует отметить. Размазанное по.ле., такое как Е(/), в соответствующим образом подобранном состоянпп может достигать произвольно больших средних значений. Поэтому следует ожидать, что нам придется рассматривать неограниченные операторы. Известно, что неограниченный оператор вообще не может быть определен на каждом векторе сколько-нибудь естественным образом. Поэтому мы будем вынуждены сделать некоторые предположения об области в пространстве векторов состояния, на которой эти размазанные поля могут быть определены. Типичные состояния, на которых поля определить нельзя, — это состояния, в которых средние значения полей обращаются в бесконечность. Это — знакомая по элементарной квантовой механике ситуация, где оператор положения также нельзя определить на тех состояниях Ч (х), которые сами по себе [c.135]

Квантовая теория поля доставляет нам набор кандидатов для локальных измерений, наблюдаемых, которые соответствуют измерениям поля, осуществляемым в лаборатории конечных размеров и законченным в течение конечного промежутка времени. Это — операторы поля, размазанные по основным функциям с компактным носителем. В этом разделе мы займемся свойствами алгебры, связанной с такими величинами. Для простоты вновь обсуждается теория эрмитова скалярного поля. [c.192]

Впервые эта идея была реализована в работах Лэнфорда [82], [83], [85], положивших начало математическому изучению бесконечно частичной динамики. В них рассматривался одномерный случай (гладкой функцией с компактным носителем. При таких [c.254]

Пусть а - открытое множество в Л/-мерном евклидовом пространстве 1К (на1фимф,0=К ) и 3)(й) - множество бесжонечно дифференци-рушых функций с компактным носителем в 2 (т.е. тождествшно равных нулю вне некоторого компактного множества в 2). Определим топологию (или понятие сходимости) наф( 2). Если в ( = 1,2,. ..) и в -функции из Ф(0), то запись 6 - 6° в Ф( 2) означает, что носители всех в содержатся в одном компактном множестве из 2 и в вместе со-всеми своими производными равномерно сходится к и к соответствующим производным. [c.13]

Теорема 6.1. Если - кусочно-непрерывная функция с компактным носителем в по задача сопряжения ( определение 2.2, обозначения (2.4), (2.5)) обладаеп единстеенным классическим решением. [c.376]

Теорема 3.1. Пусть /eL (lR )- заданнал функция с компактным носителем. Рассматривается вопрос существования функции ы С (IR с5), такой что для достаточно большого х имеет место представление [c.432]

Докажем прежде всего, что представление в пространстве Фока допусказт лишь р = О и, следовательно, непригодно для описания в термодинамическом пределе даже столь простой системы, как свободный бозе-газ конечной плотности. С этой целью мы построим для любых функций fuge компактным носителем ) и для любой области Q, содержащей точные верхние грани функций fug, выражение [c.124]

См. ниже теорему 2 из гл. 3, 2 [154, гл. 3, предложение 1 136, гл. 5, теорема 1 362]. Доплихер и Пауэрс [88] показали, что аналогичное утверждение остается в силе и для алгебры всех квазилокальных наблюдаемых в случае свободного поля Ферми — Дирака, т. е. для С -алгебры, порожденной четными полиномами от операторов поля с пробными функциями, имеющими компактные носители. См. теорему 3 из гл. 4, 2 [381]. [c.141]

Для всякой бесконечно дифференцируемой функции f с компактным носителем по теореме Пэли — Винера — Шварца справедливо неравенство dt fy t) [c.258]

Наконец, на том основании, что любая отличная от тождественного нуля функция из 2"2(R) с компактным носителем не может иметь фурье-образ с компактным носителем, мы делаем важное заключение 0 — единственное подпространство пространства 2" (R), устойчивое относительно действия операторов Р и Q, вследствие чего рассматриваемое в данном пункте параграфа представление Шредингера неприводимо. [c.293]

Далее, предел (2.4) есть непрерывная функция К (так как шу -> равномерно по Л = на каждом конечном отрезке, в чем легко убедиться повторением доказательства теоремы 1.2). С другой стороны, те же рассмотрения справедливы и для отрицательного v (см. замечание 1.4).Можчо перейти к пределу под знаком интеграла и по-этому плавая часть в (2.2), как интеграл от непрерывной функции абсолютно непрерывна. Кроме того, множество функций geL с компактными носителями плотно в L 2. Тогда на основании предложимя [c.402]

Теорема ). Пусть < (х)—функция класса С°° с компактным носителем например, содержащимся в интервале (0,1)). Р — распределение, являющееся граничным значением функции 1 г), аналитической в комплексной полуокрестности интервала [О, 1], лежащей в верхней полуплоскости. Тогда функция [c.107]

Теория дифракции изучает решения уравнений Максвелла, зависимость от времени t для которых определяется множителем ехр (—iiat). Соответствующие решения описывают монохроматический процесс рассеяния, при котором векторы напряженности вторичного поля являются строго периодичными функциями времени. Несмотря на то что данная модельная ситуация, даже в простейших случаях, учитывает далеко не все детали реализуемых процессов, ее изучение необходимо для понимания и всестороннего исследования ряда важных проблем прикладной электродинамики. Основные задачи стационарной дифракции связаны с изучением пространственного распределения поля. В отличие от них основной проблемой теории рассеяния является изучение эволюции полей во времени. Здесь первичное поле определяется начальными данными с компактными (в полосе, соответствующей периоду структуры) пространственными носителями, а вторичное — существенно зависит как от пространственных, так и временного параметров. [c.10]

Напомним также следующие понятия. Пусть G С и состоит из таких точек х, что для любых х (х) = 0. Тогда множество supp(p = GVJdG, где OG —граница области G, называется носителем функции (р. Если G —замкнутое ограниченное множество, то supp 99 называется компактным, а функция ср с таким носителем финитной. [c.358]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...