Вейля представление циклическое

Далее, точно так же можно показать, что оператор р существует и вырождается в с-число, если мы рассмотрим циклическое представление алгебры Вейля с циклическим вектором таким, что [c.125]

Поскольку всякое невырожденное представление алгебры с инволюцией есть прямая сумма циклических представлений, только что доказанная лемма позволяет свести вопрос о представлениях Вейля к рассмотрению циклических представлений Вейля. [c.307]

Теорема 8 (теорема Хаага, часть I). Пусть ( с) — представление Вейля КПС с циклическим вектором Ф. Предположим, что состояние ф на (< с). соответствующее вектору Ф, О-ин-вариантно и является ц-кластером и что существует нормированный вектор 0,<= Ж, такой, что а (/) й = О для всех / е Тогда Ф = Ай, где Я е С и Я = 1. [c.318]

Вейля, полученное при сужении представления Шдс с) на Жд. Тогда О — циклический вектор для этого представления и if) = Q, 1 (/)0). Поскольку а(/)0 = 0 для всех /е< , из сказанного в конце предыдущего пункта (п. 3) следует, что й (/) = ехр — ДI / Р . Таким образом, и (/) = 6 ( [П ) для всех и всех Следовательно, состояние (ш Я) = [c.318]

А ехр (— I г р/4 для каждого 2 е С и, таким образом, заключить, что л 0. Подставляя 2 = О в полученный выше результат, находим, что А — ненулевой оператор проектирования. Следовательно, в Ж существует по крайней мере один нормированный вектор Ф, такой, что ЛФ = Ф. Так как по предположению 28зс (С) — неприводимое представление, вектор Ф циклический (см. лемму к теореме 7). Для этого вектора образуем отображение ф ) = (Ф, W г) Ф) = (Ф, АШ (г) ЛФ) = = (Ф, ЛФ) ехр —I 2 Р/4 == ехр —12 р/4 . Заметим, что в представлении Шредингера в пространстве 2" (К) для всех e2 (R) справедливо равенство (и (г) )( ) = ехр —/ ( — х)/2 Р( — л ). Вычисляя ф (г) = (Ф, (г) Ф) для вакуумного вектора Ф( ) = = Я" / ехр — 1 /2 , получаем ф (г) = ехр — 2 р/4 . На основании теоремы 7 мы заключаем, что всякое неприводимое представление канонических перестановочных соотношений в форме Вейля для системы с одной степенью свободы унитарно-эквивалентно представлению Шредингера. Если бы исходное представление не было неприводимым, то всякое подпространство гильбертова пространства Ж, натянутое на векторы (1 (г) Ф 2 е С , где Ф удовлетворяет соотношению ЛФ = Ф, было бы устойчиво относительно рассматриваемого представления и, следовательно, могло бы служить носителем для неприводимого представления, унитарно-эквивалентного представлению Шредингера. Рассматривая эту конструкцию для ортонормированного базиса Ф/ в подпространстве гильбертова пространства Ж, образованном всеми векторами, устойчивыми относительно действия оператора Л, мы получаем полное доказательство теоремы 6. Действительно, обобщение на случай л(<оо) степеней свободы тривиально, поскольку для получения его достаточно заменить меру ёц г) в начале доказательства теоремы гауссовой мерой = которая, кстати сказать, является [c.310]

Доказательство. В силу теоремы 7 представление Вейля унитарно-эквивалентно представлению ЗВф(< с), где Ф (/) = (Ф. (f) Ф). По лемме на стр. 306 представление 2Вф( с) допускает каноническое расширение до представления Лф С -алгебры А( с), где ф — естественное расширение состояния ф с Шзс с) на Д( с). Очевидно, что состояние ф О-ин-вариантно и является т1-кластером. На основании теоремы 8 из гл. 2, 2 можно заключить, что ф — единственный О-инва-рнантный вектор состояния на циклическом представлении я(Д(< с)). Но рассмотрим теперь замкнутое подпространство натянутое на множество Очевидно, что Жа устой- [c.318]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...