Алгебра Вейля

Наконец, обычная операторная норма вводит норму на многообразии Ж, которое тем самым становится нормированной -алгеброй. Назовем 258 алгеброй Вейля. Повторяя еще раз доказательство теорем и следствий, приведенных в данном параграфе и в конце предыдущей главы, читатель без труда убедится в том, что эта алгебра обладает структурой, необходимой для применения метода ГНС. Чтобы воспользоваться конструкцией ГНС ), заметим прежде всего, что состояние ф на 2В полностью определяется функционалом [c.123]

Определим формально для любого представления алгебры Вейля 23 (и, следовательно, для любого представления КПС) оператор числа частиц N (Q) и оператор плотности р (Q) для ограниченной области Q пространства соотношениями [c.124]

Далее, точно так же можно показать, что оператор р существует и вырождается в с-число, если мы рассмотрим циклическое представление алгебры Вейля с циклическим вектором таким, что [c.125]

Корневые системы и группа Вейля. Как отмечалось выше, структура алгебры Ли к) полностью определяется коммутационными соотношениями (2.8) для образующих и Л/, 1 г, порождающего подпространства к) и видом ее матрицы Картана к. Все остальные образующие алгебры к) получаются последовательной коммутацией операторов j, 1 г, не обращающейся в нуль на промежуточных этапах (что легко соблюсти при непосредственных расчетах учетом соотношений (2.13)). Вместе с тем, каноническая градуировка в общей постановке классифицирует подпространства а, 1, лишь по кратности вхождения любого из операторов в многократный коммутатор и не идентифицирует элементы внутри +а. [c.27]

Определим группу Вейля W ) алгебры к) как совокупность линейных преобразований пространства Ф, порожденных отражениями со,-, 1 г, относительно гиперплоскости а а(Ы) = 0 , [c.28]

Важным свойством преобразований из группы Вейля является инвариантность относительно них корневой системы / алгебры к) и билинейной симметричной формы на [c.28]

Задав определенным образом вложение (градуировку), требуется реализовать для него всю алгебру Ли. Обычно для параметризации элементов используется либо корневой базис Картана — Вейля, универсальный для всех простых алгебр Ли (однако, недостаточно распространенный и не всегда наглядный для физических приложений), либо довольно громоздкие тензорные обозначения (применимость которых ограничена классическими сериями). Используемая здесь классификация элементов алгебр Ли занимает в некотором смысле промежуточное положение, так как в ее рамках общность корневого языка дополняется наглядностью мультиплетной структуры, привычной и удобной для физиков. [c.40]

Таким образом, мультиплетная структура вложения полностью определяется собственными значениями /(/+ 1) матрицы Р, где Р1 = к к1], входящей в формулу (3.6). (Это, в свою очередь, позволяет выразить показатели группы Вейля непосредственно через матрицу Картана.) Матрица Р, как и матрица к, является, вообще говоря, несимметричной, и ее собственные векторы можно нормировать с помощью матрицы 9 такой, что 9 = Матрица 9 для всех простых алгебр Ли диаго- [c.45]

Д (< с). В дальнейшем нам нет необходимости различать между представлением яе=Р( с), рассматриваемым как представление нормированной С -алгебры Д ( с), банаховой алгебры с инволюцией Д1 (ё с) или С -алгебры А(ё с)- Попутно заметим, что С -алгебра Д (ё с) не слишком велика для того, чтобы изучать на ней множество всех представлений Вейля, удовлетворяюш,их лишь определяющим условиям I. Действительно, как мы видели ранее, множество До(< с), представляющее для нас основной интерес, порождает С -алгебру Д(< с) в смысле нормированных линейных пространств. [c.306]

Такая формулировка интересна для нас тем, что позволяет подойти к решению проблемы построения представлений Вейля канонических перестановочных соотнощений на основе процедуры, аналогичной конструкции ГНС представлений С -алгебры. [c.306]

Поскольку всякое невырожденное представление алгебры с инволюцией есть прямая сумма циклических представлений, только что доказанная лемма позволяет свести вопрос о представлениях Вейля к рассмотрению циклических представлений Вейля. [c.307]

Замечание. Мы сопоставили любой группе евклидовых отражений в -мерном пространстве (например, группе Вейля простой группы Ли ранга fl) алгебру Ли размерности fi. Соответствующая группа Ли есть группа линейных частей диффеоморфизмов, сохраняющих обобщённый ласточкин хвост . Такие линейные отображения сохраняют касательную гиперплоскость к ласточкину хвосту в его вершине, а также множество касательных пространств к различным стратам естественной стратификации обобщённого ласточкина хвоста (включая линию, соответствующую аннулятору максимального идеала). [c.94]

Каустики и волновые фронты систем лучей изучаются с давних пор. Но только совсем недавно было установлено, что особенностями систем лу-чей управляет теория групп евклидовых отражений и групп Вейля простых алгебр Ли. Это неожиданное и в чём-то загадочное соотношение между геометрической оптикой, вариационным исчислением и теорией оптимального управления, с одной стороны, и теорией инвариантов групп Ли и алгебр Ли, алгебраической топологией и дифференциальной геометрией, с другой стороны, привело к значительному прогрессу в развитии теории распространения волн. [c.341]

Установим вид операторов N4, входящих в ассоциированный с централизованной системой оператор (3.7) из гл. 5. Обозначим через матрицу с единственным ненулевым элементом на пересечении -й строки и /-Г0 столбца (базис Вейля алгебры (см. 4 гл. 4)). Матрицам в пространстве 58 ( 2,1) линейных операторов соответствуют операторы [c.209]

Эти соотношения говорят о том, что состояние ф нормировано к 1, что оно эрмитово и что оно положительно. В качестве иллюстра1щи (которая понадобится нам в последующем) отметим, что в представлении алгебры Вейля в пространстве Фока функционал ф (/, g), полученный из вакуума, имеет вид [c.124]

Оба они (или любая их линейная комбинация) эрмитовы и могзгг быть связаны с классической динамической функцией Ъ с. Следовательно, нам необходимо иметь однозначное правило, указывающее, как строить элементы алгебры. Необходимо отчетливо представлять себе, что подобное правило постулируется, и поэтому не имеет смысла пытаться доказать какие-либо утверждения относительно него. (Это не всегда достаточно ясно видно из литературы ) Наиболее часто используется правило, принадлежащее Г. Вейлю. Его можно сформулировать следующим образом [c.27]

Можно заметить, что определенная таким способом алгебра содержит как эрмитовы, так и неэрмитовы операторы, ибо, как было объяснено выше, произведение двух зрмитовых операторов не обязательно является эрмитовым. Для построения алгебры вместо обычного произведения можно попытаться использовать произведение, симметризованное по Вейлю. Эта идея, однако, не очень удачна, поскольку, как легко проверить, такая операция не ассоциативна. Значительно лучше построить более богатое множество, обладающее той же структурой, что и классическое множество 3) ). Просто следует добавить ограничение, согласно которому только эрмитовы операторы из SSq представляют наблюдаемые величины. [c.29]

Когерентные состояния, введенные в настоящем приложении, соответствуют так называемой алгебре Гайзенберга-Вейля с базисными операторами 6,, i. [c.145]

Прошло пятьдесят лет с тех пор, как в математике утвердились понятия группы и алгебры Ли. Термин алгебра Ли введен Г. Вейлем в 1934 г. [ 1, с. 467]. На языке групп Ли [ 2] и их инвариантов формулируется одна из основных задач аналитической механики, связанная с интегрированием уравнений движения. Понятие алгебраических инвариантов введено Дж. Сильвестром в 1851 г. и использовано Ф. Клейном для классификации различных геометрий. В работе [ 3], известной под названием Эрлангенской программы , Ф. Клейн предлагает любое многообразие задавать системой инвариантов относительно группы преобразований. В 1872—1876 гг. опубликована серия работ С. Ли [4], в которой устанавливается глубокая внутренняя связь симметрия — законы сохранения , свойственная задачам аналитической механики [5. 6]. С. Ли показал, что первые интегралы движения гамильтоновых систем являются следствием существования группы контактных преобразований фазовых переменных. [c.70]

Для операторно-неприводимых представлений эти операторы сводятся к числовым функциям их старших весов, которые будем в дальнейшем называть собственными значениями, являющимися полиномами от компонент веса. Важными свойствами операторов Казимира являются наличие для любой полупростой алгебры Ли ранга г ровно г независимых операторов Казимира и однозначность определения неприводимого представления их собственными значениями. В случае классических серий ввиду наличия матричной реализации соответствующие расчеты можно провести в тензорном базисе Картана — Вейля, тогда как для особых картановских эта возможность исключается. [c.84]

Обратим внимание на то, что любая перестановка функций Р+ с одновременной перестановкой Р , при которой сохраняется знак в правой части (1.26), также приводит к полному решению рассматриваемой системы и отражает инвариантность корневой системы алгебры Аг относительно ее группы Вейля. Такого рода инвариантность применительно к решениям уравнения Лиувилля впервые была отмечена Бьянки. [c.150]

Введение. Сначала мы рассмотрим различные формулировки канонических перестановочных соотношений для систем с конечным числом степеней свободы и проанализируем физический смысл формы Вейля КПС, Мы приведем теорему фон Неймана, но доказательство ее будет дано позже в этом же параграфе. Затем мы дадим определение общей С -алгебры канонических перестановочных соотношений. При этом мы введем математическое понятие С -индуктивного предела С -алгебр, которое будет играть главную роль в следующей главе. Пользуясь конструкцией ГНС, мы докажем теорему относительно общей структуры представлений этой алгебры и как частный случай докажем теорему фон Неймана. Каждую из двух частей теоремы Хаага мы подробно рассмотрим в отдельности. Затем, построив некоторые специальные представления, мы проиллюстрируем теорему об общей структуре представлений КПС. Кроме того, будут сделаны некоторые замечания относительно выбора пространства пробных функций, ассоциировано-ного с данным представлением. В заключение мы укажем пределы применимости некоторых представлений, которые использовались в качестве примеров. [c.290]

Мы начнем с формулировки представления Вейля, охватывающей любое (конечное или бесконечное) число степеней свободы. Затем, следуя Кастлеру и его ученикам [219, 254, 268, 269] 2), определим С -алгебру, которая является носителем некоторых основных свойств представления Вейля. В заключение в качестве элементарного примера мы рассмотрим доказа- [c.300]

Здесь можно задать один естественный и на первый взгляд невинный вопрос если задано пространство S, то как найти все классы унитарной эквивалентности представлений Вейля, удовлетворяющих условиям I — III В тех случаях, когда пространство S конечномерно, условие II оказывается излищним, а условие III становится несущественным, как показывается на эвристическом, но с физической точки зрения разумном основании в конце п. 3. Следовательно, в этом случае остается в силе лищь условие 1, и ответ на интересующий нас вопрос дается теоремой фон Неймана (сформулированной в п. 1 для одномерного случая как теорема 6 и доказываемой в конце данного пункта). В тех случаях, когда пространство S бесконечномерно, необходима известная осторожность. Принято считать, что в этом случае существует бесконечно много неэквивалентных представлений, которые в различных ситуациях могут оказаться полезными для физических приложений. Поэтому, прежде чем пытаться составить хоть какое-нибудь представление об этом случае, нам необходимо запастись стерильным инструментом. Первый щаг в этом направлении состоит в построении надлежащей С -алгебры, отвечающей всем требованиям условия I. [c.303]

Чтобы получить представление о том, какой должна быть норма на Д ( с) для того, чтобы нормированная -алгебра Л (< с) превратилась в С -алгебру, установим прежде всего связь между А( Гс) и формой Вейля канонических перестано вочных соотнощений, Для каждой функции /е Гсобра ем [c.304]

Доказательство. В силу теоремы 7 представление Вейля унитарно-эквивалентно представлению ЗВф(< с), где Ф (/) = (Ф. (f) Ф). По лемме на стр. 306 представление 2Вф( с) допускает каноническое расширение до представления Лф С -алгебры А( с), где ф — естественное расширение состояния ф с Шзс с) на Д( с). Очевидно, что состояние ф О-ин-вариантно и является т1-кластером. На основании теоремы 8 из гл. 2, 2 можно заключить, что ф — единственный О-инва-рнантный вектор состояния на циклическом представлении я(Д(< с)). Но рассмотрим теперь замкнутое подпространство натянутое на множество Очевидно, что Жа устой- [c.318]

Факторалгебра 107 Факторов классификация 175 Фока пространство 17 Фон Неймана алгебра 145 Форма Вейля КПС 123 Формфактор 36 [c.420]

Пусть О — дискретная группа, действующая на пространстве Лебега М, Ж, [х) с инвариантной мерой. Рассмотрим пространство ЛIXG и меру (яг—мера Хаара) на нем. В пространстве 2(МхС) рассмотрим слабо замкнутую алгебру операторов, порожденных операторами (х, g) = ср(х) (х, g) и (Uhf)(x,g)=f ThX,hg), где ф L (Лi), h,g G, 1 ЬЦМ Х.О). Эта алгебра ТГ(0, М) называется скрещенным произведением (М) и 1 0) относительно действия О на М, Именно эта конструкция содержится в [99]. Оказывается, что она траекторно инвариантна, т. е. если вместо С взять произвольную траекторно изоморфную ей группу О, то алгебра (С, М) не изменится. Более того, имеется способ строить эту алгебру прямо в инвариантных терминах, не используя действия (например, [69]). Поэтому алгебраические инварианты этой алгебры служат траекторными инвариантами. В настоящее время имеется развитая теория, обобщающая это построение на квазиинвариантные меры, на слоения, на С -алгебры, использующая когомологии я др. (см. обзоры [69], [97], [75], [65]). Много работ посвящено так называемой полной группе, лли группе Дая, состоящей из всех автоморфизмов Т, для которых х Т) более мелкое, чем данное траекторно1е разбиение, например, чем х(С). Полезна такая аналогия алгебра 51>1= М, фбЬ" (М) есть аналог алгебры Картана в W(G,M), а группа Дая, обозначаемая [С],— аналог группы Вейля в теории полупростых алгебр Ли. Эта аналогия [10], [69] оказалась очень шолезной для изз чения -алгебр. В свою очередь, многие продвижения в траекторной теории (например, теорема Фельдмана—Конна—Орнстейна— Вейсса (у нас — теорема 1.2)) были получены после аналогичных теорем теории 1 -алгебр (в данном случае, после теоремы Конна [643). [c.106]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...