Уравнения движения в тензорной форме

Здесь даны уравнения системы неразрывности, количества дви-жения, энергии и последнее — уравнение состояния. Уравнения записаны в тензорной форме, запятая внизу обозначает ковариантное дифференцирование. В уравнениях движения содержатся величины, обусловленные турбулентными пульсациями, и с ними связана проблема замыкания. [c.315]

Уравнения движения в проекциях на связанные оси. В тензорной форме записи система уравнений (2.20) — (2.25), включая и уравнение (2.26), принимает вид [c.31]

С учетом уравнений (1-3) тензорной форме записи уравнений движения (1-1) соответствуют уравнения в проекциях на прямоугольные координаты [c.7]

Известно, что упругие свойства материалов связаны с параметрами распространения упругих волн (скоростью) функциональной зависимостью. Действительно, при воздействии переменной силы на анизотропную среду в ней возникают упругие возмущения — волны. Уравнение движения этих волн в тензорной форме [c.98]

С суммированием по повторяющемуся (немому) индексу (индексу строки). В тензорной форме, когда для компонент напряжений и деформаций должны быть сохранены два индекса (как, например, в уравнении движения (1.11)), обобщенный закон Гука будет иметь вид [c.20]

Уравнения движения в криволинейных координатах. Мы хотим получить здесь уравнения неразрывности и движения в произвольной криволинейной системе координат. Для этой цели удобно воспользоваться методами элементарного тензорного анализа читатель, незнакомый с тензорным анализом, может обратиться к работ е [47], где дано ясное изложение этого предмета ), или может пропустить весь этот раздел без значительного ущерба для понимания остальной части статьи. Обозначим через (х, х , х ) координаты точки в произвольной криволинейной системе координат. Мы, как и раньше, положим х = (х, х , х ), однако х здесь нельзя рассматривать как вектор. Движение по-прежнему выражается уравнениями в форме (3.1). которые дают нам положение частицы в момент / в цилиндрической системе координат, например, движение задается при помощи уравнений [c.33]

Это те же уравнения движения (2.7), в которых вместо координат х, у, z записано х , х%, х соответственно, а вместо компонент перемещения и, v, w соответственно записано и , и , и . Таким образом, тензорная форма (пЛ) уравнений гораздо более компактна, чем декартова форма (2.7). [c.179]

Уравнения движения Лагранжа в форме (4.6), (4.7) допускают интересное и плодотворное истолкование в терминах тензорного анализа и римановой геометрии Начнем с рассмотрения простейшего случая — движения свободной материальной точки. Будет удобно ввести вместо декартовых координат х, у, 2 пропорциональные им величины [c.291]

Действительно, может быть так, что объемная сила рО Ф в уравнении (2.4.6) будет разрывна при переходе через поверхность а(/), так что мы должны учесть наличие источников на a(i), рассчитанных на единицу площади, которые мы обозначим в символической форме [pQ 0 ]. Кроме того, в уравнении может появиться член, аналогичный производной по времени от объемной величины в левой части (2.4.6), содержащий тензорное поле ф, соответствующее Ф, в расчете на единицу площади o(i), и испытывающее изменение во времени при движении o(i) (ср. с (3.2.64)). Используя обозначения 2.4, заменим уравнение (2.4.6) более общим интегральным балансным уравнением [c.194]

Тензорные уравнения замкнутости закрытых кинематических цепей в форме (3.21), (3.24) или открытых кинематических цепей в форме (3.20) содержат всю информацию о параметрах движения этих цепей. Для определения, например, абсолютных и относительных перемещений звеньев конкретной цепи необходимо заменить входящие в перечисленные уравнения тензоры отображающими их матрицами и после осуществления операций умножения матриц и приравнивания соответствующих элементов правой и левой частей получить систему алгебраических уравнений, решение которой даст возможность определить перемещения звеньев. Как известно, скорости и ускорения движения звеньев и их точек представляют собой соответственно первые и вторые производные по параметру времени от перемещений звеньев. Дифференцируя дважды по параметру времени полученную систему алгебраических уравнений, получим соответственно две системы уравнений одну для определения ускорений, другую для определения скоростей. Разумеется, первая система может иметь коэффициенты, зависящие от величины перемещений, которые следует считать известными после решения исходной системы уравнений. Аналогично коэффициенты системы линейных уравнений для определения ускорений могут содержать величины перемещений и скорости звеньев. Решение линейных систем не представляет принципиальных трудностей и может быть осуществлено по методам Крамера (при помощи определителей) или Гаусса (при последовательном исключении неизвестных). Иллюстрация изложенного дана на примерах (см. 3.4). [c.46]

При рассмотрении движения жидкости обычно используют прямоугольную систему координат. При этом оси координат обозначают ОХ, ОУ и 01, а проекции скорости их, иу, Ыг ИЛИ ы, V, ш. Иногда оси координат обозначают ОХи 0X2 и ОХъ, а компоненты скорости и, 2 и щ. Для упрощения записи основных уравнений используют тензорные индексные обозначения. Так, наименования трех осей координат сокращенно может быть записано в форме ОХ.-, а проекции скорости ц,-, где I принимает значения I, 2 и 3. [c.39]

Решая конкретные задачи, обычно интересуются результатами, которые не зависят от выбора системы координат. Поэтому естественно рассматривать уравнения движения в тензорной форме, позволяющей легко переходить от одной систсхмы координат к другой, и такие соотношения, которые не зависят от выбора системы координат, другими словами, являются инвариантными относительно преобразований системы координат. Простейший пример инвариантов — скалярные величины. Скалярная величина задается одним числом и относится к тензорам нулевого ранга. Вектор задается тремя компонентами в таком виде u= / Rг== /гR Найдем скалярное произведение (и-и) -и Эта величина (квад- [c.9]

Данное выражение опять нельзя отождествить с полной энергией. Однако в силу равенства (10.43) это обстоятельство не имеет большого значения. Таким образом, кова-риантная форма записи дает исключительно изящный метод для определения физически интересных величин (импульса и энергии) и равным образом уравнений движения. Если ее принять, то схема Ньютона почти полностью нарушается, так как понятие силы теперь совсем исчезает. Можно, конечно, определить компоненты силы, снова возвращаясь к уравнениям движения в обычных пространственно-временных обозначениях, но простых тензорных величин, которым эти компоненты соответствуют, нет. [c.149]

Идея написания настоящей книги возникла на семинаре А. А. Андронова в 1949/50 г. в связи с рассмотрением на нем вопросов составления уравнений движения разнообразных технических систем. Это рассмотрение помимо научных целей имело в виду цели преподавания, о чем А. А. Андронов неоднократно напоминал участникам семинара. Дискутировались понятия направленных связей и сервосвязей, способы составления уравнений электрических цепей, тензорные формы уравнений движения, уравнения движения механических систем, вариационные принципы теории поля и электродинамики, вопросы составления уравнений движения электрических машин и многие другие. По этим вопросам выступали с докладами Н. А. Железцов, М. Л. Левин, А. В. Гапонов, Ю. И. Неймарк, [c.5]

Центральное место в книге принадлежит аналитической механике, включающей различные формы уравнений движения, механику неголономных систем, теорию колебаний и устойчивости, классические методы интегрирования канонических уравнений динамики, включающие теорию интегральных инвариантов. В иеголономной механике получили дальнейшее развитие основные представления тензорного исчп-сления. Эти представления перенесены далее в механику сплошной среды. [c.2]

Система уравнений переноса при турбулентном течении теплоносителей состоит из уравнений неразрывности, движения и распространения тепла. Эти уравнения имеют более сложный вид, чем при ламинарном движении, из-за необходимости учета переноса субстанции турбулентными вихрями. Уравнения для турбулентного движения получены из уравнений для ламинарного движения посредством разделения мгновенной картины переноса на среднюю и пульсационнуга со-ставляющие (например, i =Г- -С СУ = И) + и р = р + р с = с 4-с ) и усреднения полученных уравнений по соответствующим правилам. В результате получается следующая система уравнений для несжимаемой среды с постоянными свойствами при отсутствии влияния внешних сил (тензорная форма записи) 1 уравнение неразрывности [c.13]

Таким образом, уравнения Пуанкаре и Пуанкаре - Четаева — это лишь удобный аппарат для записи в произвольной системе переменных, в том числе избыточной, уравнений движения системы в лагранжевой и гамильтоновой форме. При этом возможность такого представления связана с существованием у системы тензорного инварианта — пуассоновой структуры, координатная запись которой зависит от выбора переменных, причем для избыточных переменных пуассонова структура будет заведомо вырождена. Следует сказать, что лагранжева система, функция Лагранжа которой невырождена по скоростям, заведомо обладает этим тензорным инвариантом. [c.38]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...