Теорема о замкнутом обобщенная

Теорема о циркуляции сдвига (обобщение теоремы Бредта). Пусть С — произвольный замкнутый контур, целиком лежащий внутри сечения. Тогда [c.516]

Проблема. Якоби в [90] упомянул о том, что любая каустика семейства геодезических, стартующих в общей точке эллипсоида, имеет не менее четырёх точек возврата. Верно ли это для других римановых метрик на сфере (например, для типичных метрик, близких стандартной) Это свойство четырёх точек возврата, если оно имеет место, должно быть обобщением на симплектическую топологию теоремы о четырёх вершинах, согласно которой замкнутая плоская кривая имеет не менее четырёх точек точек экстремума кривизны (см. [91], [92]). [c.58]

Инвариантность фазового объема. Теорема Лиувилля. Выберем в фазовом пространстве q, р произвольную замкнутую область и рассмотрим какую-либо точку А этой области. Выбор точки фазового пространства предопределяет значения всех обобщенных координат и импульсов, и поэтому можно предположить, что начальные данные системы в некоторый момент времени /о задаются точкой А. Применим это рассуждение ко всем точкам Л,- области So, т. е. будем считать все точки этой области начальными в момент времени /о- [c.300]

Мы должны здесь сделать несколько подготовительных замечаний. В первоначальной форме этой теоремы речь идет о преобразовании Т двумерного кольца в самого себя. Для применения этой теоремы к какой-либо динамической проблеме необходимо было поэтому найти полную секущую поверхность S, ограниченную двумя периодическими кривыми движения. Но в случае многих степеней свободы такой секущей поверхности не существует, если нет замкнутого инвариантного семейства кривых движения. Однако существования такого семейства нельзя ожидать. Для возможности динамических приложений мы должны поэтому найти обобщение теоремы, относящееся лишь к преобразованию вблизи неподвижной точки. Такие преобразования всегда имеются. [c.324]

Если это предположение правильно, то действительное обобщение последней теоремы Пуанкаре должно в качестве эквивалента давать теорему о существовании других замкнутых геодезических линий вблизи данной замкнутой геодезической линии. Рассматриваемая замкнутая геодезическая линия, разумеется, должна быть здесь устойчивого тина. [c.325]

Таким образом, если Q wi t), W2 t)) обращается в нуль при i = О, то эта функция тождественный нуль для всех значений t. Следовательно, вихревые векторы замкнутой 2-формы fi вморожены в поток системы (6.5). Отсюда, в свою очередь, вытекает обобщенная теорема Гельмгольца—Томсона поток системы дифференциальных уравнений (6.5) переводит вихревые многообразия в вихревые многообразия. [c.144]

ЗАМЕЧАНИЕ Импульс Р — это обобщенный импульс, канонически сопряженный координате х именно он должен фигу рировать в таких образованиях, как функция Гамильтона, скобки Пуассона и т. п., и, если частица находится во внешнем поле не должен, конечно, сохраняться. Однако наши координаты л — декартовы поэтому если мы дополняем систему частиц в поле описываемую лагранжианом (46), до замкнутой системы (45) добавляя к ней действие поля 5рь, то Р будет как раз вкладом а-ой частицы в полный сохраняющийся 4-импульс, а Р,— вкладом в этот 4-импульс от всех частиц поэтому, чтобы получить сохраняющийся 4-импульс полной системы (45), надо добавить к (47.2) только 4-импульс, извлекаемый по теореме Нетер из одного лишь 5рь. Мы используем ниже это обстоятельство. I [c.210]

Теория псевдоаналитических функций и квазиконформных отображений в принципе позволяет обобщить изложенный метод на случай дозвукового течения сжимаемого газа. В монографии [66] О это достигнуто путем доказательства существования обобщенного решения задачи Гильберта (содержащей задачу Дирихле) для квазилинейного равномерно эллиптического уравнения, описывающего квазиконформное отображение. Это отображение позволяет найти скорость набегающего потока и профиль крыла по заданному распределению скорости (при условии выполнения двух условий разрешимости, обеспечивающих замкнутость контура). По-видимому, тот же результат, но уже для классического решения, может быть получен на основе принципа подобия для псевдоаналитических функций, аналогично теореме существования дозвукового обтекания заданного профиля потоком достаточно малой дозвуковой скорости (см. 2). Псевдоаналитическая функция, выражающая сопряженную комплексную скорость Ш = и — гу, допускает представление [c.146]

Положим, что F(t) является граничным значением какой-либо обобщенной аналитической функции Ф( ), которая регулярна в области D, ограниченной контуром L, и непрерывно продолжима на L. Тогда в силу обобщенной теоремы Коши W t) = О, когда t (при г = Im г 0) лежит вне замкнутой области D L. [c.264]

Цель этой главы — познакомить читателя с использованием вариационных методов в теории динамических систем, которые позволяют находить интересные орбиты некоторых динамических систем как критические точки некоторых функционалов, определенных на подходящих вспомогательных пространствах, образованных потенциально возможными орбитами. Эта идея восходит к идее использования вариационных принципов в задачах классической механики, которой мы обязаны Мопертюи, Даламберу, Лагранжу и другим. В классической ситуации, когда время непрерывно, источником определенных трудностей является уже то обстоятельство, что пространство потенциально возможных орбит бесконечномерно. Для того чтобы продемонстрировать существенные черты вариационного подхода, не останавливаясь на вышеупомянутых технических деталях, в 2 мы рассмотрим модельную геометрическую задачу описания движения материальной точки внутри выпуклой области. Затем в 3 будет рассмотрен более общий класс сохраняющих площадь двумерных динамических систем — закручивающих отображений, которые напоминают нашу модельную задачу во многих существенных чертах, но включают также множество других интересных ситуаций. Главный результат этого параграфа — теорема 9.3.7, которая гарантирует существование бесконечного множества периодических орбит специального вида для любого закручивающего отображения. Не менее, чем сам этот результат, важен метод, с помощью которого он получен. Этот метод, основанный на использовании функционала действия (9.3.7) для периодических орбит, будет обобщен в гл. 13, что даст возможность получить весьма замечательные результаты о непериодических орбитах. После этого, развив предварительно необходимую локальную теорию, мы переходим к изучению систем с непрерывным временем, хотя мы проделаем это только для геодезических потоков, для которых функционал действия имеет ясный геометрический смысл. При этом важной компонентой доказательства оказывается сведение глобальной задачи к соответствующей конечномерной задаче путем рассмотрения геодезических ломаных (см. доказательство теоремы 9.5.8). В 6 и 7 мы сосредоточим внимание на описании инвариантных множеств, состоящих из глобально минимальных геодезических, т. е. таких геодезических, поднятия которых на универсальное накрытие представляют собой кратчайшие кривые среди кривых, соединяющих любые две точки на геодезической. Главные утверждения этих параграфов — теорема 9.6.7, связывающая геометрическую сложность многообразия, измеряемую скоростью роста объема шаров на универсальном накрытии, с динамической сложностью геодезического потока, выражаемой его топологической энтропией, и теорема 9.7.2, позволяющая построить бесконечно много замкнутых геодезических на поверхности рода больше единицы с произвольной метрикой. Эти геодезические во многом аналогичны биркгофовым минимальным периодическим орбитам из теоремы 9.3.7. [c.341]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...