Теорема о характерах групп

Далее, в силу теоремы о характерах групп ) имеем [c.516]

Приведенные доказательство и формулировка я-теоремы имеют общефизический характер. Имея в виду приложения этой теоремы к задачам прикладной гидромеханики, можно конкретизировать встречающиеся в этих задачах механические величины и их безразмерные комбинации. Так, в задачах о движении вязкой упругой жидкости мы встречаем три группы величин [c.138]

Мы ограничили себя, предположив, что случаи, когда взаимодействуют более чем две молекулы, не играют роли. Понятно, однако, что это ограничение было сделано только для упрощения доказательства, правильность которого от него совершенно не зависит. Точно так же, как мы рассматривали вероятность появления определенных пар молекул, мы могли бы вычислить и вероятность появления групп из трех и более молекул тогда получилось бы, что возможное взаимодействие трех и более молекул не нарушает теоремы о том, что распределение состояний, представленное формулой, аналогичной формуле (123), является стационарным. Не должно нарушать стационарный характер этого распределения состояний также и не рассмотренное до сих пор влияние стенок в случае, когда молекулы отскакивают от [c.381]

Связь между силой взаимодействия и характером симметрии имеет место не только для симметрий, описываемых непрерывными группами, но и для симметрий, отвечающих дискретным группам. В теории Э. ч. важное значение имеют 3 типа дискретных преобразований, генерируемых заменой частицы на античастицу [зарядовое сопряжение С), заменой г на —г (инверсия пространства Р) и заменой г на — I (ин- версия времени Т) [см. Четность]. Локальная теория поля инвариантна относительно произведения преобразований С, Р и Т (т. н. С/Т-теорема, илн Людерса — Паули теорема) [8]. [c.526]

Всякое представление конечной группы приводимо (теорема Машке), поэтому (17.2) можно разложить на. сумму неприводимых представлений. Используя определение характера или следа (15.6) и вычисляя след от (17.2), получаем [c.59]

Так как выражение (62.15) дает полную систему характеров для прямой суммы допустимых неприводимых представлений группы к ), то, согласно теореме Машке, эта система характеров приводима. Чтобы подчеркнуть отличие этого случая от рассматривавшихся ранее случаев разложения прямого произведения полных представлений, мы введем специальное обозначение + й, тт I к"т") для коэффициентов приведения для подгрупп. Их определение следует из (62.15) [c.164]

Движения 3-го класса. Их общая классификация с подразделением на группы. Теперь я постараюсь познакомить читателя с результатами изучения этих, как мы увидим, чрезвычайно важных и для общей теории гироскопа Ковалевской движений. Эти результаты были получены мною в 1910—11 годах. Здесь я займусь как возможно детальным разъяснением особенностей этих движений, так и изложением результатов более глубокого анализа зависимости движения от времен , обращая при этом преимущественное внимание на подробное и возможно наглядное разъяснение тех их законов, которые имеют характер периодичности и, как мы увидим, как бы связывают совершенно своеобразную теорию гироскопа Ковалевской с классическими теориями движений Эйлера — Пуансо и Лагранжа—Пуассона. Для общей характеристики движений данного класса может служить следующая теорема [c.93]

Действуя правой и левой частью этого равенства на вектор Ф и учитывая, что Уф( ) Ф = Ф = СФ, мы получаем равенство Си,1, д)С=и д), выполняющееся для всех элементов д группы С. Тем самым доказана первая часть утверждения теоремы. Напомним теперь одно определение. Мы говорим, что характер х на С (т. е. унитарное одномерное непрерывное представление группы О в С) является дискретной точкой спектра представления Уф (С) или принадлежит дискретному спектру представления Уф (С), если в существует вектор Ч , для которого /ф(0) = х( ) 1 при всех элементах д группы О. Предположим, что характер % принадлежит дискретному спектру представления /ф(0). Тогда [c.269]

Трансляционная инвариантность необходима для того, чтобы имела место теорема Блоха. На абстрактном языке это означает, что конечная абелева группа преобразований (1.1) имеет N одномерных представлений, причем характер каждого из них равен [c.16]

Укажем две группы важных теорем об этих пространствах, правда, вспомогательного характера для данной книги. Одна группа характеризуется неравенством Соболева (стр. 92, 170) и отвечает иа вопрос принадлежат ли производные порядка 2 пространству 1р если производные порядка (целого или нет) принадлежат 1 Иными словами, какое функциональное пространство содержит другое функциональное пространство (Соболев 5 содержит тогда и только тогда, когда 5 — д> п/2.) Вторую группу теорем составляют теоремы о следах пусть и — функция в 2/6 , насколько гладки ее граничные значения, рассматриваемые как функция на Г Грубо говоря, эта функция принадлежит (Г). Поэтому — подходящее [c.337]

Материал этой главы расположен по следующему плану. Разд. 2,1 посвящен свойствам решений однородных дифференциальных уравнений различного типа. По характеру зависимости коэффициентов этих уравнений от времени они подразделяются на уравнения с постоянными, периодическими, квазипериодическими коэффициентами, а также на уравнения более общего типа. В разд. 2.2 мы покажем, как применить понятие инвариантности относительно групповых операций к уравнениям двух первых типов. В разд. 2.3 мы познакомимся с неоднородными дифференциальными уравнениями. Некоторые общие теоремы из алгебры и теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (связанные системы) приведены в разд. 2.4. В разд. 2.5 вводятся пространства дуальных решений. Общий вид решений для случая постоянных и периодических матриц коэффициентов рассмотрен соответственно в разд. 2.6—2.8. В разд. 2.8 и в начале разд. 2.7 мы затрагиваем некоторые аспекты теории групп, а из разд. 2.8 читатель сможет почерпнуть начальные сведения по теории представлений. В разд. 2.9 мы излагаем теорию возмущений, позволяющую получить явные решения для случая матриц периодических коэффициентов. [c.91]

Принцип относительности Галилея дает нам группу преобразований, которая не изменяет характер движения, а значит, не меняет и функцию Лагранжа и интеграл от этой функции, т.е. не меняет действие по Гамильтону. Эти преобразования координат и времени включают 1) сдвиг системы отсчета в пространстве 2) изменение начала отсчета времени 3) поворот системы координат в пространстве 4) равномерное прямолинейное движение системы отсчета. По теореме Нетер каждое из этих преобразований приводит к определенному закону сохранения. [c.292]

I рода можно было бы, конечно, продолжить. Они существуют, например, и в жидкостях, где к таковым относится переход из -жидкой фазы в жидкокристаллическую. Характерные черты переходов II рода, наблюдающиеся во всех случаях, — непрерывность, -Я-образный характер температурных зависимостей вторых произ-гводных G, отсутствие температурных гистерезисов. Вследствие непрерывности этого перехода между симметрией более и менее симметричных фаз существует определенное соответствие пространственная группа одной из этих фаз должна быть подгруппой пространственной группы другой фазы (часть элементов симметрии исчезает при переходе в менее симметричную фазу). Доказана теорема о том, что фазовый переход II рода может существовать для всякого изменения структуры, связанного с уменьшением вдвое числа преобразований симметрии. При этом периоды элементарной ячейки могут меняться в несколько раз (2—4). [c.262]

Цель, которая должна быть поставлена перед квантовыми теориями, посвященными обоснованию статистики, по существу совпадает с той, которая ставилась в работах, исходивших из классических представлений. Эта цель заключается в том, чтобы дать интерпретацию не только некоторым частным проблемам — эргодичности илп ZT-теоремы, как обычно ставилась задача, но и всей совокупности принципов, лежащих в основании физической статистики. Эти принципы — эргодический характер временных средних, равномерная (относительно начальных состояний и относительно выбора той или иной величины заданной группы величин) сходимость к пределу временных средних, существование релаксации п /f-теорема — были охарактеризованы нами в 1 главы I. До сих пор обычно оставлялись в стороне утверждения о равномерной сходимости и о релаксации (в том смысле, что после некоторого времени — времени релаксации — вероятности состояний должны определяться флюктуационной формулой). Мы будем различать в дальнейшем две части проблемы необратимости проблему монотонного возрастания энтропии, которую будем называть ЛГ-теоремой, и проблему релаксации, имеющую только что определенный смысл. Совокупность указанных принципов лежит в основании как классической, так и квантовых статистик. В квантовых статистиках эти утверждения выражаются лишь на квантовом языке, так же как и понятия состояний системы, вероятностных распределешш, эргодических средних и т. д. [c.135]

Строго говоря, бесконечномерная группа диффеоморфизмов не является многообразием. Поэтому точная формулировка предыдущего определения требует дополнительной работы нужно выбрать подходящие функциональные пространства, доказать теоремы существования и единственности решений и т. д. До сих пор это удалось сделать только в случае, когда размерность области течения D равна 2. Мы, однако, будем действовать так, как если бы этих трудностей, связанных с бесконечномерностью, не существовало. Таким образом, дальнейшие рассуждения носят эвристический характер. Впрочем, многие результаты можно обосновать строго, независимо от теории бесконечномерных многообразий. [c.296]

Теорема ([279]). Пусть < —конечная подгруппа в 802, ц — ее естественное двумерное представление. Тогда соответствующий ему граф Г является пополненным графом Дынкина соответствующей группы Вейля, ее матрица Картана С=2Е—М, собственные значения матрицы Картана являются значениями характера представления / . [c.141]

Теорема 2.1 в сочетании с этим утверждением означает, что всякий эргодический автоморфизм пространства Лебега с чисто точечным спектром метрически изоморфен групповому сдвигу на группе характеров спектра. В случае непрерывного времени (для потоков) имеет место аналогичное зтверждение. [c.38]

Унитарное представление группы О имеет по определению чисто точечный, или дискретный, спектр, если оно есть прямая сумма конечномерных неприводимых представлений. Для группы 2 это определение совпадает с обычным определением чисто точечного спектра (ограничение на конечность кратности отсутствует). Теорема Неймана утверждает, что для 0 = 2 и эргодического действия собственные числа (спектр) образуют счетную подгруппу в 5, кроме того, по спектру действие восстанавливается однозначно с точностью до метрического изоморфизма и может быть реализовано сдвигом на коммутативной компактной группе, а именно, на группе характеров спектра. Тем самьш любая счетная подгруппа может быть спектром некоторой динамической системы (см. гл. 2, 2). Обобщение Макки состоит в следующем. [c.84]

В случае, когда потенциал и имеет конечный радиус дейст- ВИЯ, удается проверить кластерный характер равновесной динамической системы. Точнее, в размерности й = [35] и в размерности >2 при малых значениях г [36] (ср. с теоремой 2.2) типичная (по отношению к соответствующему распределенин> Гиббса) точка х обладает следующим свойством. Частицы (<7,/7)6х можно разбить на конечные попарно непересекающие-ся группы (кластеры) таким образом, что при движении на заданном ограниченном интервале времени частицы из разных кластеров не вступают во взаимодействие друг с другом. Затем происходит перераспределение частиц по новым кластерам, которые снова движутся независимо, и т. д. [c.258]

Возвращаясь к нашей задаче, мы можем сказать, что характер представления группы перестановок, по которому преобразуется рассматриваемая волновая функция, определяется формулой (18.10), а разложение этого представления на неприводимые можно найти с помошз>ю теоремы Фробениуса. [c.202]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...