Борновский ряд

Каждый член этого ряда имеет правильные аналитические свойства по энергетическим переменным и эрмитов. Поэтому, в отличие, например, от обычного борновского ряда мы приходим к матрице рассеяния, которая унитарна и причинна на каждом этапе последовательных приближений. С другой стороны, более высокие члены итерационного ряда отвечают более далеким особенностям матрицы рассеяния, которые вносят прогрессивно уменьшающийся вклад. Поэтому, как уже подчеркивалось, ЭКС-метод ведет к сравнительно быстро сходящемуся ряду итераций для матрицы рассеяния. [c.289]

Величина есть параметр теории возмущений (разложение в борновский ряд), а р — газовый параметр. Формально теория возмущений есть разложение по степеням ниже мы будем, однако, полагать только р< 1. [c.296]

При у — 1 это разложение представляет борновский ряд ). Исследуем, при каких условиях такое разложение законно. [c.223]

Борновский ряд также называют рядом Неймана. [c.223]

Сходимость борновского ряда. Вопрос о сходимости борновского ряда для функции Грина У (Е) при фиксированной энергии Е может быть теперь решен просто в зависимости от того, имеет ли оператор К (Е) какие-либо собственные значения а Е) вне круга единичного радиуса. Если нет, то радиус сходимости ряда (9.3) больше единицы и борновский ряд сходится. Если вне круга единичного радиуса есть собственные значения а, то радиус сходимости [c.227]

При положительной энергии ситуация сложнее, так как собственные значения а ( ) оператора К могут выходить из единичного круга и возвращаться в него. Конечно, если Яо + Я или Яо — Я имеет связанные состояния, то должна существовать область энергий, больших нуля (включая точку = = 0), в которой борновский ряд расходится. Аналогичным образом, если Яо Я или Яо — Я приводит к появлению острого резонанса при Е > О, то должна быть область энергий вблизи Е = Ед (обычно выше точки Е ), в которой борновский ряд расходится. В этом случае одинаково важны как отрицательные, так и положительные собственные значения, и нужно исследовать, имеются ли резонансы (в том числе и широкие) у обоих операторов Яо Ч Я и Яо — Я. [c.228]

Подчеркнем, что нет никаких экспериментальных способов, при помощи которых можно было бы ответить на вопрос о сходимости, т. е. путем простого отыскания связанных состояний и резонансов оператора Я нельзя решить вопрос о сходимости ряда. Даже если Я не имеет ни связанных состояний, ни резонансов, борновский ряд может расходиться. Последнее может происходить либо потому, что точка а при своем движении пересекает единичную окружность слишком далеко от действительной оси, чтобы мог появиться наблюдаемый резонанс, либо потому, что связанные состояния или резонансы имеет экспериментально ненаблюдаемый гамильтониан Яо — Я. [c.228]

Если при -> оо собственные значения а ( ) равномерно стремятся к нулю, то должно существовать значение энергии, выше которого борновский ряд равномерно сходится. Как было отмечено выше, такой случай имеет место для локальных сферически симметричных потенциалов, имеющих достаточно хорошее поведение. [c.228]

Ответ на вопрос о том, сходится ли борновский ряд равномерно для всех значений энергии, можно дать, если установить, выходит или нет траектория какого-либо собственного значения а за пределы единичного круга. Сходимость является равномерной по при энергиях в интервале от Е — оо до = -1- оо тогда и только тогда, когда ни одна из указанных траекторий не выходит за пределы единичного круга. В гл. 10, 3 будет выведено простое достаточное условие равномерной сходимости борновского ряда для локального сферически симметричного потенциала V (г), состоящее в том, что потенциал — V не должен приводить к появлению связанных -состояний (и 5-резонансов с нулевой энергией). Если потенциал во всем пространстве либо всюду положителен, либо всюду отрицателен, то это условие, конечно, является также и необходимым. Пока не ясно, как данное условие связано с условием равномерной сходимости, выраженным через поведение траекторий собственных значений а. Однако можно высказать предположение (до сих пор еще строго не доказанное), что в случае локального сферически симметричного потенциала ни одна из траекторий а ( ), соответствующих угловому моменту больше нуля, не люжет пересекать ведущей х-траектории. [c.228]

Борновский ряд естественно приводит к построению приближений. Если оставить только первый член по у, то получим так называемое первое борновское приближение, или просто борновское приближение. Если положить у равным единице, то это приближение для Т-матрицы дает [c.232]

Если предположить, что взаимодействие Н таково, что функцию, 91 можно найти точно, то разложение по степеням Я оказывается столь же полезным, как и борновский ряд. Если, кроме того, Н[ включает в себя почти все взаимодействие, так что взаимодействие Н является слабым, то это разложение, конечно, сходится значительно быстрее, чем борновский ряд. [c.233]

То обстоятельство, что борновский ряд для оператора Т начинает расходиться, когда энергия проходит через значение, соответствующее первому связанному состоянию, можно использовать для вычисления энергии связи. Рассмотрим борновское разложение для Т-матрицы [c.234]

Можно утверждать, что при значениях энергии, превышающих энергию связанного состояния, не для всех матричных элементов оператора Т борновский ряд расходится. Действительно, если только нет вырождения, то подпространство, на котором Т имеет полюс и, следовательно, в котором ряд расходится, является одномерным. Однако какой-либо из векторов состояния свободной частицы о, используемый для вычисления Т-матрицы, только случайно может оказаться ортогональным собственному вектору связанного состояния. Поэтому можно ожидать, что для всех искомых матричных элемен- [c.234]

Если существует собственное значение а ядра К, определяемого формулой (9.2), величина которого больше единицы, то, как мы знаем, борновский ряд расходится. Ниже мы обсудим способ преодоления этой трудности. [c.235]

Метод обеспечения сходимости борновского ряда. Если теперь все собственные значения оператора К = GH по величине меньше единицы, кроме одного собственного значения а, величина которого превышает единицу, то его собственные векторы можно выбрать для замены оператора Н по формулам (9.38), (9.50) и (9.51). Значение величины р можно контролировать при помош,и числа b (если только а (Е) не окажется точкой пересечения двух траекторий], причем можно сделать так, чтобы величина ар была меньше единицы, ар < 1. При этом борновский ряд для Т или y будет сходиться и формулы (9.43) или (9.46) будут определять Т через Г, а формула (9.47) — У через. Ясно, что в каком-то смысле оптимальный выбор параметра р соответствует значению р = 0. Можно ожидать, что при таком р борновский ряд будет сходиться быстрее всего, поскольку в этом случае величина Н будет наименьшей . При этом для Т нужно использовать выражение (9.46), а не (9.43). [c.239]

Если вне круга единичного радиуса имеется более одного собственного значения а, то методика должна основываться на соотношениях (9.38а) — 9.48а). Поскольку мы знаем, что при каждом значении энергии число собственных значений а вне единичного круга является конечным, то борновский ряд всегда можно сделать сходящимся путем конечного числа соответствующих операций. Если К Е) О при ->- + оо, то фактически это число является равномерно ограниченным. Более того, в этом случае для каждого Eq число собственных значений а [Е), которые при Е < Е расположены вне единичного круга, равномерно ограничено. Следовательно, путем конечного числа операций борновский ряд можно сделать равномерно сходящимся для всех энергий. [c.239]

Ускорение сходимости. Ту же процедуру можно использовать для ускорения сходимости борновского ряда, если только он вообще сходится. Если вблизи окружности единичного радиуса имеется лишь небольшое число собственных значений а, то можно сместить их к началу координат, причем следует ожидать, что остающийся ряд будет сходиться более быстро. Действительно, мы можем перейти к пределу, когда все собственные значения сдвигаются [c.239]

При сравнении (9.79) с (9.73) следует помнить, что, хотя выражение (9.79) записано в более подробном виде и кажется более полезным, однако ряд в (9.79) сходится при более жестких условиях, чем в (9.73). Действительно, ряд (9.79) расходится, как только у становится по величине больше наименьшего нуля функции А (у), в то время как сходимость ряда (9.73) не зависит от величины у. Если учесть замечания, которые сделаны ниже относительно смысла нулей функции А, то из сказанного выше следует, что ряд (9.79) сходится тогда и только тогда, когда сходится борновский ряд для М. [c.244]

К I, п. 1. Оригинальной работой, в которой были введены борновский ряд и борновское приближение, является статья Борна [91 ]. Последними работами, посвященными исследованию условий их сходимости и аналитичности, являются [462, 463, 496, 497,486, 937, 1, 197, 410, 590, 738, 891, 892, 162, 545, 752, 823]. [c.250]

Перестройке борновского ряда для улучшения его сходимости посвящены работы [738, 897, 894]. [c.250]

К 1, п. 2. Члены борновского ряда более высоких порядков рассмотрены в статье ]193]. Второе борновское приближение для рассеяния релятивистских частиц в кулонов- ском поле рассмотрено в работе [561]. Исследование борновского приближения при низких энергиях проведено в [815] см. также [132]. [c.250]

Формулы (10.30) и (10.33), записанные явно, можно использовать для иллюстрации ряда общих результатов. Например, борновский ряд получается путем разложения величины 1/А+ (Е) в ряд по степеням входящего в А+ инте- [c.259]

Если взаимодействие является достаточно слабым, так что оператор 2 (Е) не имеет ни одного собственного значения а (Е) вне единичного круга, то борновский ряд [c.265]

Ряд по степеням у, получаемый подстановкой в (12.76) соответствующего ряда для т. е. борновский ряд для S, необязательно сходится при всех значениях к при заданном значении у. Из соотношения (12.71) видно, почему это происходит. Чтобы разложение 1/f сходилось при данном значении к и у = 1, функция f не должна иметь нулей при у С 1. Для борновского разложения [c.326]

Из этого неравенства непосредственно следует, что при —> -f- оо все а равномерно стремятся к нулю и, следовательно, борновский ряд должен сходиться при [c.343]

Таким образом, чем больше /, тем меньшее значение Е необходимо взять для того, чтобы все [а] были меньше заданного числа. Борновский ряд [c.353]

ТО НИ одна из траекторий а не может выйти за пределы единичного круга и, следовательно, борновский ряд для полной амплитуды рассеяния сходится это обусловлено тем, что спектр ядра полного трехмерного уравнения Липпмана — Швингера оказывается суммой спектров ядер радиальных уравнений Липпмана — Швингера. [c.363]

Частицы с массой 170 Мэе разгоняются до скорости 10 см/сек и рассеиваются на первоначально покоящихся частицах с массой 285 Мзв. Взаимодействие описывается потенциалом Юкавы V = где Y = 10 Мэв-см. Можно ли ожидать, что первое борновское приближение для амплитуды рассеяния будет хорошим Сходится ли борновский ряд Что будет, если скорость частиц в пучке 10 см/сек [c.372]

Следует сказать несколько слов о борновском приближении. Из соотношения (14.27) видно, что абсолютная величина амплитуды Л с пропорциональна е . Следовательно, абсолютная величина амплитуды в точности совпадает со своим первым борновским приближением. Напротив, фаза амплитуды не дается борновским приближением. Кроме того, асимптотическая формула (14.26) для волновой функции содержит дополнительные множители вида ехр (—in In 2kr). Допустим теперь, что нам удалось построить борновский ряд для и определить по нему асимптотический вид предполагая, что он определяется обычной формулой (10.11). Тогда в амплитуду должен войти множитель ехр (—in In 2kr), т. е. фаза должна обращаться в бесконечность в пределе г- оо. Этим объясняется, почему амплитуда, вычисленная стандартным способом, содержит бесконечный фазовый множитель. Более того, так как абсолютная величина амплитуды совпадает со своим первым борновским приближением, бесконечность появится, только начиная со второго борновского приближения, которое содержит величину —in In 2kr, возникающую при разложении в ряд фазового множителя. [c.395]

Уравнение (14), конечно, не может быть решено точно. Однако ряд его последовательных итераций, начинающийся со свободного члена, оказывается быстро сходящимся, причем уже пулевая итерация неплохо согласуется с опытом в задаче рассеяния нейтрона на дейтроне [12]. Это и неудивительно, поскольку в отличие от обычного борновского ряда (и ряда последовательных итераций уравнений Фаддеева) на каждом этапе последовательных приближений точно выполняются условия унитарности и причинности матрицы рассеяния. Первое связано с сохранением свойства эрмитовости матрицы Угпп (см. (7)), или, на другом языке, с разложением не амплитуды, а фазы рассеяния (см. (8)) второе вытекает из правил обхода в энергетическом знаменателе (14). [c.274]

Для систематического представления членов, возникающих в борновском ряде, п их возможного комбивированвя в частичные суммы оправдывает ожидания диаграммная техника. [c.164]

Каждый член борновского ряда содержит, таким образои, корреляционщтю функцию 2)(р1,. .., р г), которая завпсит от усредненного пространственного распределения п атомов. Для периодической решетки с узлами В она првнн-мает внд [c.166]

Подобные рассмотрения важны, когда долткно быть выполнено частичное суммирование борновского ряда. Диаграммами, отасывающими многократное рассеяние на атоме или группе атомов, нельзя, например, пренебрегать, когда собираются описывать связанные, еаедовательио, локализованные состояния. [c.167]

Вопрос о том, является ли первый член борновского ряда хорошим приближением или нет, конечно, тесно связан с вопросом о сходимости ряда, но не эквивалентен ему. Может иметь место не только такая ситуация, когда ряд сходится, а первый член далеко не совпадает со всей суммой, но и такая, когда ряд расходится, но тем не менее первый член (или сумма нескольких первых членов) дает хорошее приближение. Вообще говоря, соответствующий критерий, очевидно, должен быть связан со слабостью взаимодействия. В координатном представлении первый борновский член всегда содержит лишь интеграл от взаимодействия. Следовательно, он представляет собой произведение величины, характеризующей некоторую область Н, на некоторое усредненное значение взаимодействия Я. Кроме того, если /С ( ) стремится к нулю при -Н оо (это имеет место во многих важных случаях), то независимо от ееуг чм ы Я борновское приближение будет хорошим при условии, что энергия достаточно высока. В этом смысле оно по своей природе является высокоэнергетическим приближением. [c.232]

Использование метода квазичастиц для построения приближений. Очевидно, что в данном случае точный путь решения также позволяет естественным образом строить приближения. Можно ожидать, что если исключены все собственные значения а оператора К, кроме тех, величина которых мала по сравнению с единицей, то оставпшйся борновский ряд для У или V сходится быстро. С практической точки зрения главная проблема состоит в том, каким [c.240]

Легко видеть, что оба уравнения (9.63) и (9.64) идентичны уравнениям (9.37). В низшем порядке аппроксимация связанных состояний, основанная на методе Шлшдта, совпадает с приближением, получаемым с помощью борновского ряда. [c.241]

Из полученного результата вытекает, что все собственные значения оператора и, следовательно, все собственные значения а (Е) оператора К должны равножрно стремиться к нулю при Е оо. Следовательно, существует энергия Е(,, выше которой борновский ряд равномерно сходится более того, если энергия Е достаточно велика, то первое борновское приближение должно быть хорошим. [c.268]

Рассмотрим, однако, второе борновское приближение. Действительная часть стремится к нулю при 7 оо, но, поскольку при этом /-> кх, мнимая часть обращается в бесконечность. Как будет показано в гл. 14, 6, этот факт объясняется тем, что вследствие медленного убывания кулоновского потенциала при г оо амплитуда рассеяния не может быть определена обыч-НЫЛ1 образом. Ее фаза была бы бесконечной. Однако ее модуль конечен, причем он оказывается в точности равным значению амплитуды в первом борновском приближении. Если с помощью борновского ряда разложить абсолютную величину амплитуды рассеяния и ее фазу по степеням у, то будет видно, что к трудностям приводит именно разложение фазы, которое не дает вклада в сечение. Определитель Фредгольма (10.109) при 7 оо стремится к бесконечности. [c.278]

К 3, п. 1. Метод использования выражения (10.63) для полярных ядер принадлежит Гарбе [319]. Применениям этого метода посвящена работа Меетца [590]. Метод, изложенный в настоящем параграфе, в некоторой степени основан на этой работе. В частности, Меетцу принадлежит аналитическое продолжение условия полноты. Однако произведенное им обобщение формулы (10.73) и сделанные на основе этого выводы неправильны. Достаточное условие равномерной сходимости борновского ряда, приведенное после формулы (10.73), является незначительным обобщением условия, впервые доказанного несколько другим путем Дэвисом [197]. См. также статьи [398, 399]-, в последней из них показано, что приведенное достаточное условие сходимости борновского ряда для всех значений энергии, вообще говоря, не является необходимым. [c.278]

Как мы только что видели, полюсы S-матрицы играют особую роль. Если на потенциал наложить достаточно сильные требования, чтобы все полюсы функции 5 на физическом листе определялись только нулями функции f, то эти полюсы обозначают связанные состояния. Полюсы на втором листе функции 5, если они расположены достаточно близко к положительной действительной полуоси, могут интерпретироваться как наблюдаемые резонансы. Оставшиеся полюсы функции 5 на втором листе, если они находятся на отрицательной действительной полуоси, иногда называют виртуальными, или же антисвязанными, состояниями. Согласно (12.74), каждому полюсу 5 на втором листе соответствует свой нуль функции S на первом листе. Поэтому, вообще говоря, лшжно ограничиться изучением функции S, заданной только на физическом листе, обращая при этом, конечно, внимание и на ее полюсы, и на нули. Допуская, что константа взаимодействия у может принимать комплексные значения, видим, что нули функции f являются характеристическими значениями ядра радиального уравнения Липпмана — Швингера и, следовательно, они определяют свойства сходимости борновского ряда для S. [c.332]

Траектории собственных значений а. Чтобы установить свойства сходимости борновского ряда для 5, при заданной энергии в функции от I, расслют-рим зависимость от I собственных значений а, ядра (12.149) радиального уравнения Липпмана — Швингера. С изменением I собственные значения а, движутся по некоторым траекториям в комплексной а-плоскости. При значениях I, для которых все собственные значения а находятся внутри единичного круга, борновский ряд для функции 5, сходится. Если при данной энергии ни одна из траекторий а не выходит за пределы единичного круга, то борновский ряд для любого 5 сходится. Предположим, что потенциал аналитичен (с индексом а = /оп) и подчиняется условию (12.118). Тогда, согласно неравенству (12.170), всегда существует конечный угловой момент [c.362]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...