Отображение для колебаний вынужденных

Рис. 3.14. Отображение Пуанкаре вынужденных хаотических колебаний в цепи типа Ваи дер Поля по результатам аналоговых численных расчетов [199].

В данной главе излагаются начальные сведения о методе точечных отображений вводятся основные понятия и приемы исследования, которые позволяют изучать поведение фазовых траекторий в двумерном и трехмерном фазовом пространстве. На конкретных примерах простейших кусочно-линейных систем рассматриваются автоколебания, вынужденные и параметрические колебания, а также скользящие движения, возможные в этих системах. [c.70]

Точечное отображение сдвига и его применение к изучению вынужденных и параметрических колебаний динамической системы [c.87]

Исторически метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний вырос из так называемого метода припасовывания или сшивания, состоящего в замене нелинейных характеристик кусочно-линейными и последующей припасовке явных решений, соответствующих разным линейным уравнениям. Метод припасовывания использовался еще в 1911 г. Н. Д. Папалекси в задаче о выпрямителе, в 1914 г. А. Зоммерфельдом в теории вынужденных колебаний электрической дуги и затем многими другими. [c.138]

Практическая важность нелинейных демпферов уже давно сделала их объектом внимания теоретических работ. В этих работах используются различные методы расчета и получен ряд ценных результатов. Однако они носят выборочный и весьма неполный характер (как правило, остается открытым вопрос об областях параметров, в которых применимо то или иное утверждение ни в одной из этих работ не рассмотрена устойчивость находимых вынужденных колебаний). Применение метода точечных отображений к исследованию движений нелинейных демпферов, осуществленное в ряде работ М. И. Фейгина, позволило продвинуться в изучении их динамических закономерностей. [c.149]

Пример (вынужденные колебания). Рассмотрим нестационарное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка относительно циклической координаты хе S вида х = h(x, t), или, что то же самое, систему уравнений x = v, г) = Л(х, i), где h 5 х R —> М — ограниченная непрерывно дифференцируемая функция. Тогда для достаточно малых значений V — t отображение /,,, S х R—+ S" х R, определяемое решениями данного обыкновенного дифференциального уравнения на интервале времени (t, t ), является закручивающим. Поэтому отображение /,,, является произведением закручивающих отображений для любых i, t. [c.357]

В 7.3 рассматриваются двумерные обратимые отображения и связанные с ними потоки. Показывается, что последовательность бифуркаций удвоения периода, приводящая к хаотическому движению, аналогична найденной для одномерных отображений. Далее описывается метод Мельникова для определения перехода от регулярного движения к стохастическому. Метод иллюстрируется на примере вынужденных колебаний нелинейного осциллятора с затуханием. Описан метод вычисления инвариантных распределений с помощью уравнения ФПК. [c.410]

Отображение Пуанкаре для систем с вынужденными колебаниями. Когда присутствует вынуждающее движение с периодом Т, для получения отображения Пуанкаре естественно выделить выбор-ку с = л7 + т . Это позволяет отличить периодические движе- [c.57]

Определение отображения Пуанкаре распространяется и на случай, когда на систему действует периодическая внешняя сила. В качестве примера рассмотрим вынужденные нелинейные колебания, описываемые уравнениями движения [c.62]

Метод вспомогательных оторЗажений. Опнсанные выше критерии существования неподвижной точки и особенно критерий, основанный на принципе сжимающих отображений, в тех случаях, когда его удается применить, дает значительные, а ииогд ) и исчерпывающие сведения о поведении изучаемой системы. В качестве примера можно привести произвольную механическую систему с взаимными и собственными комбинированными трениями без падающих участков характеристик трения. К такой системе возможно применение принципа сжимающих отображений, позволяющее установить глобальную устойчивость многообразия состояний равновесия или периодических движений при воздействии на такую систему внешней периодической силы. Применение принципа сжимающих отображений позволяет установить существование и единственность вынужденных колебаний в системе с т 1к называемым конструкционным демпфированием. Соответствующие примеры могут быть продолжены, но все же они не очень многочисленны, поскольку далеко не всегда имеется сжимаемость. В настоящем разделе излагается метод вспомогательных отображений, позволяющий расширить применение критерия о существовании и единственности неподвижной точки на несжимающие отображения. Ради геометрической наглядности это изложение, как и относящиеся к нему примеры, будет ограничено двумерными точечными отображениями. [c.301]

Метод точечных отображений до сих пор не удается сколь-либо эффективно применять к системам, порядок которых выше трех. Это привлекло внимание и силы к решению более частных задач при этом центральной стала проблема определения периодических решений автоколебаний — в автономных системах и вынужденных колебаний в полосе захватывания — в системах, подверженных внешним периодическим воздействиям. Был предложен частотный метод, позволяющий точно в форме полных (без пренебрежения гармониками) рядов Фурье определять периодические движения релейных систем и их устойчивость по отношению к малым возмущениям. Первоначально казалось, что метод этот принципиально пригоден лишь в тех случаях, когда нелинейная характеристика состоит из кусков горизонтальных прямых, и поэтому форма выходных колебаний нелинейного элемента может быть заранее нредоиределена с точностью до неизвестных времен движения по отдельным участкам нелинейной характеристики. Однако позже было показано, что это не так, и был разработан метод определения периодических решений в форме полных рядов Фурье, пригодный для системы, содержащей нелинейные элементы, характеристики которых состоят из кусков двух произвольных прямых. Это последнее ограничение через некоторое время было снято, и таким образом указанная серия работ была завершена разработкой общего метода точного (без пренебрежения гармониками) оиределения периодических движений в системах, содержащих нелинейный элемент с произвольной кусочно-линейной характеристикой. [c.268]

Применение метода точечных отображений к неавтономным системам начинается обстоятельной работой Н. А. Железцова (1949), в которой рассмотрена задача о вынужденных колебаниях осциллятора с сухим и вязким (комбинированным) трением, описываемого неавтономной системой дифференциальных уравнений второго порядка вида [c.147]

Метод построения периодических решений с фиксированной частотой и фазой был разработан Хеллеманом, Эминицером и сотр. Этот метод использовался во многих задачах, например вынужденные колебания ангармонического осциллятора [116], модель Хенона и Хейлеса [183] (см. п. 1.4а) и отображение Хенона [178] (см. п. 3.2г). Авторы называют свой метод обратным ввиду отмеченной выше необычной последовательности действий — от частоты к начальным условиям. [c.168]

Мы уже видели, что хаотическое движение может возникать в диссипативных потоках с размерностью фазового пространства не меньше трех, или в соответствующих этим потокам обратимых отображениях Пуанкаре, размерность которых не менее двух. В общем случае хаотическое движение имеет место лишь для узких интервалов параметров. В этом существенное отличие от гамильтоновых систем, где хаотическое движение сохраняется, как правило, в широком диапазоне параметров. Ниже описаны два критерия локальной стохастичности для диссипативных систем. В п. 7.3а метод квадратичной ренормализации применяется к двумерным обратимым отображениям и показывается сходимость последовательности бифуркаций удвоения периода и возникновение локального хаотического движения. В п. 7.36 получен критерий перехода к хаотическому движению вблизи сепаратрисы на примере вынужденных колебаний осциллятора с затуханием. Наконец, в п. 7.3в pa ютpeнa модель ускорения Ферми с диссипацией и используется описание хаотического движения с помощью уравнения ФПК. Это уравнение позволяет получить первое приближение для инвариантного распределения на странном аттракторе. [c.453]

Нет лучщего примера теории, новые модели и парадигмы которой обещают значительные перемены в естественнонаучном и математическом мышлении, чем нелинейная динамика, испытывающая сейчас революционные изменения. Двумя главными парадигмами здесь являются аттрактор Лоренца (см. уравнения (1.3.9)) и логистическое уравнение (1.3.6). Эти два примера заключают в себе многие особенности хаотической динамики, такие, как разбегающиеся траектории, субгармонические бифуркации, удвоение периода, отображения Пуанкаре и фрактальные размерности. Как для освоения теории линейных колебаний необходимо изучить все тонкости модели из массы с пружиной, без которых нельзя понять колебания сложных систем, так же и каждому, кто ищет свой путь в современной нелинейной динамике, не обойтись без понимания явлений, скрытых в модели Лоренца и логистическом уравнении. Другие, менее яркие парадигмы также важны для понимания и развития теории динамических систем. Среди них вынужденные движения осциллятора Ван дер Поля (уравнение (1.2.5)), модели осциллятора [c.74]

Рис. 3.7. Отображение Пуанкаре для хаотического решения уравнения (3.2.10), описывающего вынужденные колебания в двух потенш1альных ямах на рисунке 15 ООО точек.

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...