Теорема Колмогорова

II е в m т а д т А. И, Оценки в теореме Колмогорова о сохранении условно-периодических двин ений.— ПММ, 1981, 45, вып. 6, с. 1016—1025. [c.250]

П.З. Теорема Колмогорова — Арнольда — Мозера [c.361]

П.З. ТЕОРЕМА КОЛМОГОРОВА — АРНОЛЬДА — МОЗЕРА 363 [c.363]

Однако не все решения системы (5.76) имеют вид, близкий к решениям (5.78) линеаризованной системы. Мы уже отмечали выше связь этой проблемы с проблемой малых знаменателей в механике. Ясно поэтому, что исследование этой проблемы лежит в круге идей КАМ-теоремы (теоремы Колмогорова Арнольда Мозера). Согласно этим идеям [148], при поворотах обш его эллиптического типа, к которым принадлежит и преобразование (5.76), между решениями типа [c.294]

Замечание. С помощью теоремы Колмогорова-Арнольда [9] [c.96]

А. П. Колмогоров [109] доказал, что при малых е ряд (10.5) сходится для всех J е при фиксированном . Доказательство теоремы Колмогорова использует процедуру последовательных приближений ньютоновского типа, впервые предложенную С. Пью-комом в небесной механике прямое доказательство сходимости, основанное на оценке коэффициентов, пока не найдено. [c.124]

Различные варианты теоремы Колмогорова о сохранении условно-периодических движений получены В. И. Арнольдом и Ю. Мозером. Обзор результатов теории KAM (Колмогорова — Арнольда— Мозера) содержится в книге [12, гл. 5]. [c.124]

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ И ТЕОРЕМА КОЛМОГОРОВА [c.365]

Формулируемая ниже теорема Колмогорова доставляет одно из оправданий приведенного вывода нестрогой теории возмущений об отсутствии эволюции переменных действия. [c.372]

Следовательно, условие невырожденности в нашей задаче не выполняется, но условие изоэнергетической невырожденности выполняется. Итак, теорема Колмогорова применима, и мы заключаем, что большинство инвариантных торов с иррациональным отношением частот сохраняется в случае, когда масса возмущающей планеты (Юпитера) отлична от нуля, но достаточно мала. [c.383]

Сформулируем теперь основной результат проблемы устойчивости, который составляет содержание теоремы Колмогорова — Арнольда — Мозера (KAM). Рассмотрим систему с гамильтонианом [c.25]

Хотя работы Пуанкаре и Биркгофа продемонстрировали чрезвычайную сложность топологии фазового пространства, вопрос об эргодичности движения, т. е. о том, покрывает ли траектория всю энергетически доступную область фазового пространства или же она ограничена какими-то интегралами движения, оставался до недавнего времени без ответа. Теорема Колмогорова [229], доказанная при различных ограничениях Арнольдом [10] и Мозером [308] (теорема KAM), утверждает, что при возмущении интегрируемых систем инвариантные поверхности сохраняются для большинства начальных условий. Хотя движение вблизи сепаратрисы каждого резонанса и является стохастическим, оно ограничено соседними инвариантными поверхностями и не является эргодическим. В гл. 3 мы рассмотрим теорию KAM и связанные с ней топологические результаты, которые служат обоснованием многих методов, описанных в этой книге. [c.15]

Имеет место теорема Колмогорова [21], согласно которой по заданным функциям распределения (2.12), удовлетворяющим условиям (2.13)-(2.16), можно восстановить вероятностную меру в бесконечном функциональном пространстве реализаций (х). [c.45]

В последнее время появились некоторые новые результаты, которые серьезно активизировали исследования в этой области. Прежде всего надо назвать чисто аналитические результаты. Они содержатся в теореме, сформулированной Колмогоровым в 1954 г. и доказанной Арнольдом и независимо Мозером в 1963 г., поэтому обычно эту теорему кратко называют КАМ-теоремой ). Речь идет о результате теории возмущений, относящемся к следующей задаче. Рассмотрим интегрируемую систему, описываемую гамильтонианом Нд (/). Она характеризуется набором торов, покрытых эргодическими траекториями. Попытаемся ответить на вопрос, что произойдет, если вводится малое возмущение, т. е. если теперь рассматривается система с модифицированным гамильтонианом [c.363]

НИИ теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении сильно нерезонансных инвариантных торов и геометрической теоремы Пуанкаре о неподвижных точках отображения кольца. При этом остается неясным вопрос об аналитической зависимости этих решений от параметра е, а также ничего определенного нельзя сказать об их устойчивости. [c.242]

Укажем на одну нерешенную задачу верно ли, что в предположениях теорем 3-5 при малых фиксированных значениях параметра ф О гамильтоновы системы не имеют однозначных интегралов соответствующей гладкости В связи с этой задачей интересно отметить, что при малых значениях е гамильтонова система (1,15) с полутора степенями свободы (п = 1) всегда имеет непостоянный непрерывный интеграл. Это вытекает из теоремы А, И, Колмогорова о сохранении условно-периодических движений (см. [12, гл. 5], а также Ю гл, П) при малых значениях е колмогоровские торы образуют совершенное нигде не плотное множество, причем при п = 1 эти торы делят фазовое пространство на связ- [c.185]

По концепции групповое производство является многоканальной системой массового обслуживания (СМО), причем N подсистем (маршрут заготовок) функционируют как независимые. На основе применения метода исследования многоканальных СМО, базирующихся на преобразовании прямых дифференциально-разностных уравнений Колмогорова, теоремы разбиения графа О общего вида (теорема Джексона) и математического аппарата линейных стохастических сетей, получим выражение для средней длительности прохождения комплексных (групповых) деталей [c.704]

Теорема об устойчивости и идеи ее доказательства были сформулированы Колмогоровым [28] в 1954 г. Доказательство этой теоремы было проведено Арнольдом [29 — 31]. Независимо, теорема устойчивости (но при несколько иных исходных предположениях) была доказана Мозером [32, 33]. Различные приложения теории KAM содержатся в обзорах [14,15,24,25,34]. [c.40]

Кинетическое уравнение 103 Когерентные состояния 164 Колмогорова — Арнольда — Мозера теорема 25, 26, 40 [c.270]

С помощью результатов КАМ-теории (Колмогорова — Арнольда—Мозера) в предположении теоремы 4 В. Ф. Лазуткин доказал существование бесконечного семейства каустик, имеющих положительную суммарную меру в М и накапливающихся у границы дМ. При этом мера точек двумерного тора T , отвечающих траекториям, касающимся каустик, также положительна. Отсюда вытекает, в частности, отсутствие слабой эргодичности (и тем более эргодичности). [c.147]

Рассмотрим теперь некоторый класс методов теории возмущений, предложенных Колмогоровым 1229] и играющих, как показано в гл. 3, фундаментальную роль при доказательстве теоремы KAM. Их основной чертой является чрезвычайно быстрая сходимость последовательных приближений. Во всех до сих пор рассмотренных в этой главе методах гамильтониан Я = Яо -г еЯ подвергался таким последовательным каноническим преобразованиям, при которых порядок возмущения по 8 изменялся на единицу на каждом шаге [c.162]

Теорема Пуанкаре о несуществовании дополнительных аналитических интегралов служила в течение длительного времени источником различных недоразумений, в частности, из нее делался неправильный вывод об эргодичности движения. Вопрос был выяснен Колмогоровым [559] в связи с созданием новой теории устойчивости, которая впоследствии получила название теории KAM.— Прим. ред. [c.487]

Теорема Радона — Никодима утверждает, что счетно аддитивная функция множества представима в виде интеграла по соответствующему множеству. Эту теорему можно найти,- например, в книге А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина Элементы теории функций и функционального анализа ( Наука , 1972). Поучительное для механиков изложение теоремы имеется в книге Я- С. Дубнова Основы векторного исчисления (ГИТТЛ, 1952).— Прим. ред. [c.84]

Теорема 12.26 Колмогорова . Если а — образующее разбиение относительно (р, то к (р) = Н а (р). [c.47]

Теорема 13. (Теорема Колмогорова). Если невозмущенная гамильтонова система невырождена нли изоэнергетически невырождена, то при достаточно малом гамильтоновом возмущении большинство нерезонансных инвариантных торов не исчезнет, а лишь немного деформируется, так что в фазовом пространстве возмущенной системы также имеются инвариантные торы, заполненные всюду плотно фазовыми кривыми, обматывающими их условно-периодически с числом частот равным числу степеней свободы. Указанные инвариантные торы образуют большинство в том смысле, что мера дополнения к их объединению мала вместе с возмущением. В случае изоэнергетической невырожденности инвариантные торы образуют большинство на каждом многообразии уровня энергии. [c.198]

Система с гамильтонианом Яо интегрируема, движение в ней происходит по инвариантным торам т=соп51. Система с гамильтонианом Я, следовательно, близка к интегрируемой в достаточно малой окрестности положения равновесия. Ситуация похожа на ситуацию теоремы Колмогорова. [c.207]

При малых фиксированных значениях параметра е О теорема 4 гарантирует существование большого (но конечного) числа различных изолированных периодических решений. Поэтому из этой теоремы нельзя вывести неинтегрируемость возмущенной системы при фиксированных значениях 6=9 0. Правда, в случае двух степеней свободы, который мы как раз рассматриваем, справедливо следующее утверждение если невозмущенная система невырождена, то при фиксированных малых значениях е 0 возмущенная гамильтонова система имеет бесконечно много различных периодических решений. К сожалению, они могут быть не изолированы. Существование бесконечного числа периодических решений выводится из теоремы Колмогорова о сохранении условно-периодических движений (гл. 5, п. 3.2) и геометрической теоремы Пуанкаре — Биркгофа (см. [6]). [c.232]

Каданова теория критический явлений I 371 КАМ (Колмогорова — Арнольда — Мозера) теорема II 361 Канонические преобразования I 24, 30, 55, 65 Канонический ансамбль I 140 Канонически сопряженные переменные I 20 Каца потенциал I 336 Кинетический оператор эволюции II 178, 192 [c.392]

После работ А. Пуанкаре в XX в. постепенно сложилось отчетливое понимание того, что невозможность продолжить локально существующие интегралы до интегралов в целом связана со сложным поведением фазовых траекторий на уровнях тех интегралов (вроде интеграла энергии), которые известны, но имеются в недостаточном числе. Попросту говоря, на интегральном уровне должны существовать траектории, всюду плотные в некоторой области на нем. Системы, обладающие т, но не т+ интегралами в целом , Леви-Чивита предложил называть т-импримитивными. Здесь проблемы интегрируемости смыкаются с задачами эргоди-ческой теории. Примером служит доказанная в 1939 г. теорема Э. Хопфа об эргодичности геодезического потока на любой компактной поверхности отрицательной кривизны. Для исследования геодезических на поверхностях отрицательной кривизны Биркгоф, Морс и Хедлунд создали символическую динамику, позволяющую описывать сложное поведение траекторий в вероятностных терминах. Однако, как отмечает Пуанкаре [147], ...траектории задачи трех тел ) сопоставимы не с геодезическими линиями на поверхностях отрицательной кривизны, а наоборот, с геодезическими линиями на выпуклых поверхностях... К сожалению, эта задача значительно сложнее... . Здесь уже зоны квазислучайного поведения фазовых траекторий чередуются и сосуществуют с областями, составленными из траекторий регулярного вида. Обсуждение этих вопросов можно найти в докладе А. Н. Колмогорова [Ш] и книге Мозера [221]. Непосредственное приложение к проблеме интегрируемости задачи трех тел идея сложного поведения фазовых траекторий нашла в работе В. М. Алексеева [2]. [c.17]

Доказателы тво этой теоремы А. Н. Колмогорова основано на следующих его двух замечаниях. [c.372]

Работа Колмогорова об энтропии положила начало строгому анализу динамических систем в предельном случае, который является обратным условием теоремы KAM, т. е. в случае максимального разрушения инвариантных торов. Развитие этого анализа нашло отражение в работах Аносова, Рохлина п Синая [47 — 51] (см. также обзоры [37 — 39, 52, 53]). Связь A-энтро-пии с различными физическими понятиями и, в том числе, с обычной энтропией рассматривалась Чириковым [24]. [c.33]

Заканчивая обсуждение аналитических моделей микроструктуры аэрозоля, можно согласиться с мнением автора монографии [20] о том, что причина, по которой логарифмические нормальные распределения наиболее адекватно описывают реальные спектры аэрозольных частиц, заключается в следствиях центральной предельной теоремы. Как показано Колмогоровым [16], если статистичес1Йя переменная есть результат процесса, в котором выход пропорционален уже достигнутой величине переменной, то ее статистическое распределение должно быть логарифмически нормальным. Поскольку процессы, определяющие трансформацию состояния частиц в атмосфере, действительно являются функцией приобретенного ею размера, то логнормальное распределение является, по-видимому, естественным свойством этой системы. По этой же причине реальную кривую распределения счетной или массовой концентрации любой конфигурации можно аппроксимировать суперпозицией логнормальных распределений, количество которых соответствует числу независимых конкурирующих источников [20]. [c.47]

Эта теорема была доказана Арнольдом [10] для аналитического возмущения на основе работы Колмогорова [229] н Мозером [308] при условии супл,ествования достаточно большого числа не- [c.186]

Максвелл, Больцман, Гиббс и Пуанкаре впервые предложили статистическое изучение сложных динамических систем, которое известно сейчас как эргодическая теория . Однако математические определения и первые важные теоремы появились благодаря Дж. фон Нейману, Дж. Д. Биркгофу, Э.Хопфу и П.Р. Халмошу, да и то в тридцатых годах нашего столетия. В последние годы появилось новое направление, основанное на теории информации Шеннона. Основной результат, полученный Колмогоровым, Рохлиным, Синаем и Аносовым основан на глубоком исследовании класса сильно стохастических динамических систем. В этот класс включаются все достаточно неустойчивые классические системы. Среди этих систем особую роль играют геодезические потоки на пространствах отрицательной кривизны. Этот случай изучался Ада-маром, Морсом, Хедлундом, Хопфом, Гельфандом, Фоминым. С другой стороны. Синай доказал, что модель Больцмана-Гиббса, которая является системой жестких сфер с упругими столкновениями, принадлежит также к этому классу, что доказывает эргодическую гипотезу . [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...