Алгебра функций Гамильтона

АЛГЕБРА ЛИ ФУНКЦИЙ ГАМИЛЬТОНА 187 [c.187]

Алгебра Ли функции Гамильтона [c.187]

Гамильтоновы векторные поля на симплектическом многообразии образуют подалгебру алгебры Ли всех полей. Функции Гамильтона также образуют алгебру Ли операция в этой алгебре называется скобкой Пуассона функций. Первые интегралы гамильтонова фазового потока образуют подалгебру алгебры Ли функций Гамильтона. [c.187]

В. Алгебры Ли гамильтоновых полей, функций Гамильтона и первых интегралов. Линейное подпространство алгебры Ли называется подалгеброй, если коммутатор двух любых элементов подпространства ему принадлежит. Подалгебра алгебры Ли сама является алгеброй Ли. Предыдущее следствие содержит, в частности. [c.190]

Теперь мы предположим, что задано такое симплектическое действие группы Ли С на связном симплектическом многообразии М, что каждому элементу а алгебры Ли группы С соответствует однопараметрическая группа симплектических диффеоморфизмов с однозначным гамильтонианом Н . Эти гамильтонианы определены с точностью до постоянных слагаемых, которые можно выбрать так, чтобы зависимость Н от а была линейной. Для этого достаточно как угодно выбрать константы в функциях Гамильтона для каких-нибудь базисных векторов алгебры Ли группы С и затем определить функцию Гамильтона для любого элемента алгебры как линейную комбинацию базисных. [c.338]

Итак, симплектическое действие группы С, при котором существуют, однозначные гамильтонианы, задает двумерный класс когомологий алгебры Ли группы С. Этот класс когомологий измеряет отклонение действия от такого, при котором функцию Гамильтона коммутатора можно выбрать равной скобке Пуассона функций Гамильтона. [c.339]

Определение. Действие связной группы Ли на симплектическом многообразии называется пуассоновским, если функции Гамильтона для однопараметрических групп однозначны и выбраны так, что функция Гамильтона линейно зависит от элемента алгебры Ли и функция Гамильтона коммутатора равна скобке Пуассона функций Гамильтона [c.339]

Теорема 6. 1. Пусть на алгебре е(3) задана интегрируемая при L,s) =0 система с функцией Гамильтона [c.228]

Как показано в гл. 1, уравнения движения могут быть записаны в гамильтоновой форме на алгебре е(3) с функцией Гамильтона [c.252]

Замечание 2. Уравнения движения для динамики твердого тела в жидкости в потенциальном поле записываются на алгебре е(3) s и приведены в гл. 1, 4 (5.8). В этом случае к функции Гамильтона (2.18) необходимо добавить потенциальную энергию U = U a, 7, х), где а, у — направляющие косинусы, X — радиус-вектор центра масс. Существует два наиболее важных случая динамики твердого тела в жидкости в потенциальных полях, указанных С. А. Чаплыгиным [175, 177], для которых уравнения движения так же могут быть записаны на алгебре е(3). (При этом отделяется система уравнений для вектора кинетического момента М и орта вертикали 7). [c.269]

Теперь мы предположим, что на М задано симплектическое действие группы Ли О такое, что каждому элементу X из ее алгебры соответствует однопараметрическая подгруппа с однозначной функцией Гамильтона. Эти гамильтонианы определены с точностью до постоянных слагаемых. [c.98]

Сведение к приведенной системе задачи (ЛГ — 1) вихрей. Существует частный случай задачи N вихрей на плоскости и сфере, для которого возможно сведение приведенной системе задачи (iV — 1) вихрей с приведенной функцией Гамильтона, но с той же скобкой Пуассона (1.10) для плоскости, (2.17) для сферы определяемой вихревой алгеброй задачи (iV - 1) вихрей. Для плоскости этот случай определяется условиями [c.87]

Мы видим, что Гамильтон рассматривает вводимую им функцию как результат индукции в оптической науке. Эта функция охватывает всю геометрическую оптику. Но важно и другое. Гамильтон ун е здесь отмечает в общем виде родство принципа Ферма и принципа наименьшего действия. Конечно, отсюда еще довольно далеко до построения такой математической схемы, в которой оптика лучей совпала бы с механикой материальной точки. Здесь еще нет ничего принципиально нового, ибо родство принципа Ферма и принципа наименьшего действия отмечалось и ранее. Лишь в последующее время, когда в разработанной Гамильтоном математической теории совпадут формы уравнений лучевой оптики и механики, определится то, что мы называем оптико-механической аналогией. Но уже в 1827 г. Гамильтон прекрасно сознает математическую новизну своего метода, подчеркивая, что благодаря этому методу математическая оптика представляется... в совершенно новом виде, аналогичном тому, в каком Декарт представил применение алгебры к геометрии Рассмотрим теперь математический метод Гамильтона, с помощью которого он исследовал законы систем лучей. [c.207]

А именно, зафиксируем точку а из Л/ и рассмотрим функцию на алгебре Ли, сопоставляющую каждому элементу а алгебры Ли значение гамильтониана в фиксированной точке х [c.340]

Алгебру Ли функций Гамильтона можно естественно отобразить на алгебру Ли гамильтоновых векторных полей. Для этого каждой функции Н сопоставим гамильтоново векторное поле Н с функ-гщей Гамильтона Н. [c.190]

Задача 8. Докажите, что локально гамильтоновы векторные поля образуют подалгебру алгебры Ли всех полей. При втом скобка Пуассона двуж локально гамильтоновых полей — это настоящее гамильтоново поле, его функция Гамильтона однозначно ) определена данными поля.чи %, 1) по формуле [c.191]

Итак, по симплектическому действию труппы Ли С с однозначными на М гамильтонианами можно построить линейное отображение алгебры Ли группы С в алгебру Ли функций Гамильтона на М. При этом коммутатору двух элементов алгебры Ли сопоставляется функцияь], равная скобке Пуассона На, Н ) или же отличающаяся от этой скобки Пуассона на постоянную [c.338]

Иными словами, пусссоновское действие группы задает гомоморфизм алгебры Ли этой группы в алгебру Ли функций Гамильтона. [c.339]

Пример. Пусть V — трехмерное евклидово пространство, а С — шестимерная группа его движений. Базис алгебры Ли образуют шесть однопараметрических групп сдвиги со скоростью 1 вдоль координатных осей и вращения с угловой скоростью 1 вокруг этих осей. Соответствующие функции Гамильтона, согласно формуле (1), равны (в обычных обозначениях) Рг, Р2. Рз Мх, М , М , где = д р — д р и т. д. Доказанная теорема означает, что попарные, скобки Пуассона этих шести функций равны функциям Гамильтона коммутаторов соответствующих однопарамвтрических групп. [c.339]

Уравнения (2.37) являются уравнениями Гамильтона на алгебре во(4) в стандартном матричном представлении (см. 2). При выборе системы координат, связанной с телом, для которой Л = с11а (Ао, А1, Аг, Аз), функция Гамильтона свободного твердого тела в переменных М,р получается при [c.276]

Метод основан на комбинации принципов вариационного исчисления-с частными производными и может рассматриваться математиками как особая ветвь алгебры, которая может быть названа исчислением главной функции, потому что во всех важных приложениях алгебры к физике и в очень широком классе чисто математических вопросов этот метод сводит определение многих взаимно связанных функций к отысканию и изучению главного или центрального соотношения. В приложениях этого метода к динамике (прежде этот метод был применен к оптике) профессор Гамильтон открыл существование главной функции, которая, если ее форма полностью известна, дает по определении ее частных производных все первые и все конечные интегралы известных уравнений движения. Профессор Гамильтон придерживается мнения, что математическое объяснение всех явлений материи, отличных от жизненных явлений, будет окончательно найдено в зависимости от свойств системы отталкивающихся или притягивающихся точек. И он думает, что те,, кто не одобряет его мнения во всей его общности, могут все же признать при современном состоянии науки свойства таких систем более важными, чем какая-либо другая область приложения математики к физике. Он, таким образом, считает фундаментальной проблемой динамики определить Зп прямоугольных координат или других характеристик положения свободной системы притягивающихся и отталкивающихся точек как функции времени , включающих, следовательно, 6п начальных постоянных, которые зависят от начальных условий движения, и включающих, кроме того, п других констант, называемых массами, которые измеряют на стандартном расстоянии притягательные и отталкивательные действия (energies). Обозначая эти п масс через т , т ,..., т и их Зп прямоугольных координат — через Xi,y ,Zi,. .., х , у , и, следовательно, 3 компонентов ускорения или вторых производных этих координат по времени — через х , У , . .. [c.284]

Конструкция пуассоновой структуры на пространстве, дуальном алгебре Ли, приводит опять к алгебре Ли. Поэтому эту конструкцию можно повторять, получая все новые (бесконечномерные) пуассоновы структуры. Более общим образом, пусть дана какая-нибудь пуассонова структура на многообразии. Тогда пространство функций на этом многообразии получает структуру алгебры Ли. Значит, пространство, дуальное к пространству функций, наделяется пуассоновой структурой (как дуальное пространство этой алгебры Ли функций). Элементы пространства, дуального к пространству функций, интерпретируются как распределения на исходном многообразии. Таким образом, пространство распределений на пуассоновом многообразии (например, на сиьшлекти-ческом фазовом пространстве) имеет естественную пуассонову структуру. Эта структура позволяет применять гамильтонов формализм к уравнениям типа Власова, описывающим эволюцию распределения частиц в фазовом пространстве под действием поля, созданного самими частицами. [c.424]

Систематическое исследование уравнений движения тяжелого гироскопа твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона (а также Кэли-Клейна) развивается в замечательной книге Ф. Клейна, А. Зоммерфельда Теория волчка [238] (разумеется, что основные результаты в этом вопросе принадлежат Ф. Клейну, см. также [237]). В то время еще не была известна гамильтонова структура этих уравнений (как уравнений на алгебре Ли), тем не менее эти параметры оказались удобными как для явного интегрирования в эллиптических функциях, так и для анализа различных частных решений. Близкую к кватернионам систему избыточных переменных (типа плюккеровых координат) в своей книге Геометрия динамы исследовал Э. Штуди. Он также вычислил в этих координатах кинетическую энергию твердого тела. [c.47]

Очень важно здесь и в дальнейшем при обсуждении теории групп четко различать преобразования симметрии и квантовомеханические операторы. Символ Н может означать или квантовомеха-нпческий оператор, или классический гамильтониан. Преобразования симметрии подобны преобразованиям координат, и их можно прилагать как к гамильтонианам, так и к волновым функциям. Мы сейчас займемся построением алгебры преобразований симметрии, которая не имеет ничего общего с действием гамильтониана на волновую функцию. [c.25]

Этот метод понижения порядка гамильтоновых систем принадлежит Пуанкаре, который применял его в различных задачах небесной механики. По существу — это гамильтонов вариант понижения порядка по Раусу. Если алгебра интегралов некоммутативна, то метод Пуанкаре использует известные интегралы не полностью. Этот недостаток метода Пуавкаре устранил Картан (Е. artan), изучивший общий случай бесконе.чио-мерной алгебры Ли первых интегралов (см. [23]). Более точно, Картан рассматривает гамильтонову систему (М, Я) с первыми ичтегралами Л,...,fn такими, что Fn.Fj =aij Fi.....Fk). Набор интегралов Fi,...,Fk задает естественное отображение F AI- -/ . В общем случае функции ац / - -/ нелинейны. [c.105]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...