Каноническая замкнутая кривая

Каноническая замкнутая кривая вокруг состояния равповесия. [c.349]

Выберем Г() > О настолько малым, чтобы условия 1) и 2) выполнялись, и построим каноническую замкнутую кривую Е состояния равновесия О, проходящую через точки Р ,. . ., Рп (рис. 345). При этом в качестве седловых дуг без контакта возьмем достаточно малые дуги окружности Сд. Существование кривой Е, удовлетворяющей указанным условиям, показано в 19, п. 2. [c.560]

Для любой замкнутой кривой в фазовом пространстве. можно записать циркуляцию Г, и эта циркуляция инвариантна при произвольном каноническом преобразовании. [c.242]

Уравнение (7.5.2) характеризует каноническое преобразование с помощью интегрального инварианта. Покажем теперь, как этот интегральный инвариант может быть преобразован в дифференциальный инвариант. С этой целью будем считать заданную замкнутую кривую L границей какой-то двумерной области К- Предположим, что в каждой точке этой области задан вектор pi и что каждую точку мы аналитически характеризуем при помощи двух гауссовых криволинейных координат и и v q, = q, и, v), [c.243]

Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана. Другим интегральным инвариантом канонических уравнений Гамильтона распространенным на замкнутую кривую в 2й+1-мерном пространстве, является интегральный инвариант Пуанкаре — Картана [c.522]

В частности, если 7 — замкнутая кривая на М и — фазовый поток гамильтоновой системы, то интеграл от 1-формы ydx по замкнутой кривой 5 (7) не зависит от t. Отсюда выводится основная теорема гамильтоновой механики фазовый поток уравнений Гамильтона является семейством канонических преобразований. [c.21]

Используя указанное выше разделение круга С на криволинейные секторы различных типов, мы построим некоторую область вокруг состояния равновесия, которую будем называть его канонической окрестностью. Граница этой окрестности является простой замкнутой кривой, состоящей из конечного чис.ла дуг траекторий и дуг без контакта, и называется канонической кривой. [c.349]

Доказательство. Пусть в случае а) существуют две входящие в состав континуума К - простые замкнутые кривые и 8 , из которых одна—5 , — лежит внутри другой — 8- . Так как по условию континуум лежит внутри канонической кривой С, то кривая 8 лежит внутри кривой С, а точки всякой канонической окрестности континуума К - очевидно, лежат вне кривой х- Но точки кривой 5 , лежащей внутри 5 ., не могут быть ни ю (ни соответственно а)-предельными для траекторий, лежащих вне кривой ни граничными для ячейки, заполненной замкнутыми траекториями, точки которой лежат вне кривой 8 . [c.439]

Лемма 9. Пусть предельный континуум Ю состоит более чем из одной простой замкнутой кривой 5 . Тогда а) если все простые замкнутые кривые г лежат одна вне другой, то каноническая кривая С содержит континуум АГ внутри себя б) если среди простых замкнутых кривых одна, например 8 , содержит внутри себя остальные, то каноническая кривая С лежит внутри кривой 8 и вне всех остальных кривых 81 г ф 1). [c.440]

Замечание. Пусть 5 — простая замкнутая кривая, состоящая из витка траектории, отличной от траекторий ЬР (т. е. не особой) и дуги без контакта, целиком лежащая в какой-нибудь канонической окрестности континуума К - . Очевидно, все полутраектории Lt пересекают дугу без контакта, входящую в состав этой кривой. При этом циклический порядок этих точек пересечения на кривой 5 тот же, что II циклический порядок этих точек на любом цикле без контакта континуума [c.442]

Элементарные дуги и свободные циклы без контакта. Предположим, что выбрана некоторая правильная система канонических окрестностей. Всюду в дальнейшем будем обозначать канонические окрестности через (у) и g), канонические кривые зтой правильной системы канонических окрестностей — через (С), (а) и через (I) — параболические дуги канонических кривых (а). Кроме того, в согласии с введенным выше обозначением будем через (Г) обозначать граничные простые замкнутые кривые и через (к) — граничные дуги без контакта, и через (Хс) — седловые дуги, т. е. дуги без контакта, входящие в границы гиперболических секторов (см. 18, п. 3). При этом, как и выше, (см. 19, п. 2) седловую дугу будем называть со-седловой, если в точках этой дуги, отличных от концов, траектории входят внутрь седловой области, и а-седловой дугой, если в точках этой дуги, отличных от концов, траектории выходят из этой области. Очевидно, каждая седловая область g имеет одну граничную со-седловую дугу и одну а-седловую дугу без контакта. Так как выбранная система канонических окрестностей правильная, то только один конец всякой седловой дуги принадлежит особой полутраектории. Конец а-седловой дуги, граничной для седловой области g , одновременно является и концом а-сепаратрисы, входящей в границу области g , а конец ы-седловой дуги — концом ы-сепаратрисы, входящей в границу этой области. [c.458]

После этих предварительных общих замечаний перейдем к подробному доказательству основной теоремы. Отметим прежде всего, что топологическая тождественность разбиения на траектории соответствующих друг другу по схеме канонических окрестностей доказана в теореме 72, а топологическая тождественность областей типа Наш и Sa , оо и после элементарного проведения вспомогательных дуг (в случае областей Еаю этими дугами являются дуги траекторий, соединяющие циклы без контакта, а в случае Zoo эти дуги являются дугами без контакта, соединяющими граничные замкнутые кривые, существующие в силу леммы 7 19) сводится к лемме 8 18 (о топологической тождественности разбиений элементарных четырехугольников). [c.490]

Отметим, что рассматриваемая поверхность сечения (pi, как раз и является сокращенным фазовым пространством исходной гамильтоновой системы, э последовательные пересечения получаются друг из друга путем канонического преобразования, определяемого уравнениями Гамильтона. Поэтому площадь, ограниченная замкнутой кривой, на поверхности сечения сохраняется. Это важное свойство можно получить и непосредственно следующим образом. Запишем общие дис еренциальные соотношения [c.33]

Теорема П31.2 . Отображение А — каноническое, т. е. для любой замкнутой кривой 7 на [c.228]

На поверхности Г имеется система канонических разрезов, т. е. система простых гладких ориентированных замкнутых кривых а ,. .., а , р ,. .Р ( = (Г)) таких, что пересекаются только ау с Ру (1 < / < ), причем пересечение—только в одной точке, в которой репер из касательных векторов к ау и Ру определяет ориентацию Г. В пространстве всех д. п. р. на Г существует единственный базис 0)1,. .., (0 такой, что [c.343]

Будем рассматривать обобщенно-консервативные системы, т. е. такие системы, у которых функция Гамильтона не зависит явно от времени и, следовательно, существует обобщенный (или обычный) интеграл энергии ). Кроме того, предположим, что существует хотя бы одна система обобщенных координат, при которой переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются. Относительно движения самой системы материальных точек и тел предположим, что оно условно-периодическое. Это означает, что при финитном изменении координат каждая пара канонически сопряженных переменных 9 -, изменяется периодически с одним и тем же периодом, следовательно, траектория изображающей точки в каждой плоскости ( 1, р1) будет замкнутой кривой. И если [c.348]

Случай равенства периодов всех пар канонических переменных называют случаем полного вырождения — пространственное движение вырождается в движение по замкнутой кривой линии в фазовом пространстве. В случае вырождения возможны различные системы разделяющихся переменных. [c.349]

Здесь при а = 0 и а = / имеем одну и ту же точку кривой Со. Из каждой точки кривой Со, как из начальной, проведем соответствующий прямой путь. Такой путь однозначно определяется (после задания начальной точки) из системы канонических уравнений Гамильтона. Получим замкнутую трубку прямых путей (см. рис. 33, я=1) [c.115]

Рассмотрим замкнутую каноническую окрестность Й состояния равновесия О и ограничивающую ее каноническую кривую Е. [c.358]

Рассмотрим канонические кривые С и С континуумов и K , т. е. либо циклы без контакта, либо замкнутые траектории в зависимости от того, являются ли Ю и К О)-, а- или О-предельными. Пусть у и у — канонические окрестности этих континуумов, ограниченные соответственно кривыми С и С. [c.446]

Будем область между двумя сопряженными циклами без контакта обозначать через Ней, а область между двумя сопряженными каноническими кривыми, являющимися замкнутыми траекториями,— через Zoo- [c.480]

Кроме того, при достаточно малом е точки г (р, е) образуют замкнутую аналитическую кривую близкую к Г. Напомним, что отображение — каноническое, следовательно, оно сохраняет площадь. Это [c.88]

Кривая Е называется канонической замкнутой кривой состояния раеновесия О, а область Н внутри этой кривой—канонической окрестностью состояния равновесия О. В дальнейшем мы В основном будем 2од рассматривать замкнутую каноническую окрестность Н (рис. 209). [c.351]

Резюме. Условие того, что преобразование является каноническим, может быть сфомулировано без помощи производящей функции S. Характерным свойством канонических преобразований является инвариантность циркуляции вдоль любой замкнутой кривой в фазовом пространстве. Это же самое свойство может быть представлено в дифференциальной форме. Мы получаем определенное дифференциальное выражение, билинейную дифференциальную форму , инвариантную относительно канонических преобразований. Эта билинейная дифференциальная форма аналогична величине ds в метрической геометрии. Однако в то время, как линейный элемент соответствует одному бесконечно малому перемещению, билинейный дифференциал соответствует двум бесконечно малым перемещениям. Поэтому он скорее подобен элементу площади, а не элементу расстояния. [c.245]

Поскольку инвариантность циркуляции, взятой вдоль любой замкнутой кривой L, является характерным свойством канонических преобразований, это же свойство может быть выражено как инвариантность скобок Лагранжа [и, v] каноническими яв.шотся те преобразования от переменных <7/. Pi Qi Pi которые оставляют инвариантными скобки Лагранжа, независимо от того, как qi, pi зависят от и и V. Смысл этой инвариантности состоит в том, что, заменив координаты qi, pi в результате канонического преобразования координатами Q,-, Pi и образовав затем скобки Лагранжа в новой системе координат, мы получим то же самое значение, что и раньше. [c.246]

Резюме. Делоне предложил замечательный метод изучения систем с разделяющимися переменными, удовлетворяющих дополнительному условию, согласно которому линии тока на разделившихся фазовых плоскостях (7, pii) — замкнутые кривые. Он ввел каноническое преобразование, позиционными координатами которого являются переменные действия Jk, определенные как площади, ограниченные линиями тока. Для движения, осуществляющегося в действительности, Jk являются константами, а сопряженные импульсы, взятые с обратным знаком,— угловые переменные со — линейно меняются со временем /. Частные производные Е по У,- дают п новых констант, являющихся частотами движения v,-. Каждое qk может быть записано в виде кратного ряда Фурье, содержащего все частоты V,- и все их гармоники. Поэтому такие системы называются многопериодными. [c.291]

В дальнейшем мы преимущественно будем рассматривать замкнутую каноническую окрестность уг,- Будем в дальнейшем называть канонической кривой со-, а- или 0-предельного континуума Ю простую замкнутую кривую С, входящую в грашщу канонической окрестностп этого континуума и являющуюся циклом без контакта — в случае, когда [c.426]

Пусть С — какой-нибудь цикл без контакта континуу.ма А т п у — ограниченная им каноническая окрестность. Пусть 1— одиа пз входящих в континуум АГи траекторий и 1 — та из простых замкнутых кривых, составляющих континуум АГ , в которую входит траектория Ь . Возьмем на траектории четыре точки А, Ах, А и Аз, соответствующие ири [c.440]

Рассмотрим теперь предельный континуум К , не являющийся состоянием равновесия. Ни одна точка границы области пли угловой дуги не может быть точкой предельного континуума, за исключением лишь одного случая, когда граничная замкнутая кривая является орбитно-устойчивой замкнутой траекторией и когда состоящая из граничных и угловых дуг замкнутая траектория является граничным континуумом некоторой ячейки т, заполненной замкнутыми траекториями (см. 24, п. 1). Но в зтом случае канонической кривой континуума К является любая замкнутая траектория ячейки т, а такая траектория, а также соответствующая каноническая окрестность, состоящая из точек ячейки ш, очевидно, не имеет общпх точек с множеством Е. Во всех же других случаях предельный континуум К состоит из орбитно-неустойчивых траекторий и находится на неравном нулю расстоянии от множества Е. А тогда, очевидно, всякая каноническая окрестность этого континуума К 1, лежащая вместе с ограничивающей ее канонической кривой в 11 при достаточно малом е > О не имеет общих точек с множеством Е. [c.455]

Рассмотрим а) все простые замкнутые кривые (С), (о), (Г), являющиеся несвободными циклами без контакта в) все параболические дуги без контакта (/), входящие в канонические кривые (а) состояган равновесия, не являющихся узлами в) все граничные дуги без контакта (X). [c.459]

Принимая во внимание, что каноническая кривая состояния равновесия может быть циклом без контакта лишь в случае, когда состояние равновесия есть узел, а также в силу леммы 1 25 нетрудно видеть, что 1) внутренний континуум Кы является либо узлом, либо простой замкнутой кривой (в частности — замкнутой траекторией), либо составлен из нескольких простых замкнутых кривых легкащих одна вне другой (если не считать их общих точек) 2) внешний континуум К К а) либо является простой замкнутой кривой (в частности — замкнутой траекторией), либо состоит из нескольких простых замкнутых кривых и тогда одна из этих замкнутых кривых, о, содержит внутри нее остальные, лежащие одна вне другой. Если К - и К - — два сопряженных предельных континуума, то, очевидно, внутренний континуум К лежит внутри кривой о внешнего континуума К - [c.465]

Доказательство. Утверждение для граничной кривой Г очевидно. В самом деле, если Г есть граничная кривая, лежащая внутри "о и содержащая внутри себя, то точки области С существуют как внутри, так и вне кривой Г, что противоречит определению граничной кривой. Предположим теперь, что существует простая кривая входящая в состав какого-нибудь предельного континуума лежащая внутри кривой "ц и содержащая внутри себя. Предположим для определенности, что есть со- или а-предельный континуум, состоящий из кривой 8 и расположенных внутри нее и вне друг друга простых замкнутых кривых "а,. . . , 8р, а соответственно а- или со-предельный континуум, состоящий из расположенных вне друг друга простых замкнутых кривых "1, 5 2, -, "д. Пусть С и у и соответственно С ш у — каноническая кривая и окрестность континуума К - и Кривая 5 не может лежать внутри какой-нибудь из кривых 8, . . ., 8 р или 8г,. . . , 8д, так как тогда и континуум лежал бы внутри тако11 кривой, что, очевидно, невозможно. Кривая не может также иметь общих точек с окрестностями у и у, так как внутри этих окрестностей нет точек особых траекторий. Следовательно, кривая 5 должна быть целиком расположена в области i , ограниченной кривыми С и С. Но это невозможно (см. лемму 16 3). Аналогично доказывается утверждение леммы в случае, когда и являются соиряженными 0-нредель-ными континуумами и когда один из них или оба являются граничными циклами без контакта. Лемма доказана. [c.467]

Теорема 74. Пусть Ю и К — два предельных континуума, С и С — их канонические кривые и у и у — канонические окрестности, ограниченные каноническими кривыми С и С. Если полные схемы континуумов Ю и тождественны, то 1) континуумы К и К одинаково расположены относительно своих канонических кривых С и С 2) существует топологическое отображение замкнутых канонических областей у и у друг в друга, переводящее траектории в траектории, при котором особые траектории и особые полут,раектории в случае несвободных континуумов), соответствующие друг другу по схеме, отображаются друг в друга. [c.446]

Замечание. В случае свободных коптинуумоп Ю п А топологическое отображение замкнутых канонических областей у и у всегда может быть взято таким, чтобы при этом осуществилось любое заданное соответствие между точками циклов без контакта С и С (сохраняющее согласованное с направлением но I направление обхода кривых С и С ). [c.447]

Пусть, далее, К . . ., АУ (К) — все (односторонние) предельные континуумы динамической системы D, отличные от состояний равновесия, расположенные в G, Yj, Ysi > (y) — их канонические окрестности, i, С2, - - -, jf (С) — соответствующие канонические кривые континуумов (К) каждая кривая Сг является либо циклом без контакта, либо замкнутой траекторией и вместе с предельным континуу-мом Ki составляет границу канонической окрестности уг- [c.454]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...