Проецирование Проекции окружности

Окружность. Совокупностью прямых, проецирующих точки окружности, является эллиптическая цилиндрическая поверхность. Сечением такой поверхности плоскостью (проекций) может быть эллипс или в частном случае окружность, две параллельные прямые или одна прямая. Два последних случая возможны при проецировании параллельно плоскости проекций естественно, что в практике они не встречаются. В зависимости от расположения плоскости проекций и направления проецирования окружность может спроецироваться также в окружность (плоскость проекций П =П параллельна плоскости окружности при прямоугольном проецировании проекция окружности а, при косоугольном — а", рис. 476), в [c.331]

Профильную проекцию/сtF точки находят обычным проецированием. В случаях задания горизонтальной проекции точки Кн проводят на горизонтальной проекции окружность радиусом ОКн = и отмечают горизонтальную проекцию точки пересечения окружности с горизонтальной проекцией левой образующей конуса. [c.122]

Постройте криволинейные проекции прямой I, окружности т, эллипса к на плоскость уровня Д проходящую через ось j, и на проецирующую плоскость А, параллельную оси j, проецированием множеством окружностей, центры которых принадлежат оси J, а их плоскости перпендикулярны оси ] Убедитесь, что криволинейные проекции данных линий являются алгебраическими кривыми, порядки которых в 2 раза больше порядков данных линий. Докажите справедливость этого результата. [c.191]

Очевидно, если плоскость Ф перпендикулярна оси i конической поверхности, то в сечении получаем окружность. Поэтому часто говорят, что центральной проекцией окружности (центр проецирования— вершина конической поверхности) может быть любая кривая второго порядка, вид которой зависит от выбора плоскости проекций. [c.70]

В какие фигуры проецируются во фронтальной диметрической проекции окружности, вписанные в грани куба Как это влияет на выбор положения детали для проецирования [c.52]

Прямоугольная аксонометрия. Если плоскость аксонометрических проекций при прямоугольном проецировании наклонена ко всем плоскостям координат под одним и тем же углом, то треугольник следов становится равносторонним. Высоты такого треугольника представляют собой и биссектрисы углов, следовательно, наклонены друг к другу под углом 120°. Показатели искажения по всем осям одинаковы и составляют примерно 0,82 (рис. 512) ы = у = ш = 0,82. Такая аксонометрия называется прямоугольной изометрией. Рекомендуется пользоваться приведенными показателями искажения ц = V = ы) — . Коэффициент приведения равен 1,22 (единица, деленная на 0,82). В этом случае диаметр сферы, изображенной в аксонометрии, должен быть увеличен в 1,22 раза длина большой оси эллипса (аксонометрической проекции окружности, плоскость которой параллельна одной из координатных плоскостей) составит 1,220, где О — диаметр окружности в натуре, а малая ось — 0,7 О. Если аксонометрия строится с учетом показателей искажения 0,82, то длина большой оси эллипса должна быть равна диаметру окружности (почему ), малая ось составит 0,580. [c.359]

Для того чтобы получить неискаженную проекцию окружности, необходимо, чтобы соответствующие плоскости оригинала были плоскостями уровня. Нетрудно убедиться, например, взяв куб, что если его расположить относительно плоскости проекций так, чтобы две грани были бы плоскостями уровня, то при прямоугольном проецировании аксонометрического изображения не получить. [c.133]

Для каждого направления проецирования (т. е. для каждого положения центра проекций) будет своя проецирующая поверхность, свой контур видимости и свой очерк проекции одной и той же поверхности Ф На черт. 6.4.3, а представлена сфера (замкнутая поверхность) и ее проекции. Очерком горизонтальной проекции сферы будет окружность 1, являющаяся проекцией окружности - линии / контура видимости относительно плоскости проекций П ( -1-П )- Очерком фронтальной проекции сферы является окружность II — проекция окружности — контура видимости относительно [c.84]

Этот чертеж точки и прямой необходимо преобразовать дважды. При первом преобразовании прямая ef, e f представляется параллельной плоскости проекций И. При втором преобразовании она перпендикулярна к плоскости проекций Hi. На плоскость Я эту прямую (ось вращения) проецируем в точку < 1 =/i. Проекция Ai точки кк на плоскости Н перемещается по дуге окружности. Проекция к перемещается по следу плоскости S v — прямой, перпендикулярной к направлению проецирования. Поворачивая точку к на заданный угол вокруг центра (ei = f ) в заданном направлении, находим ее смещенную проекцию kj. [c.90]

При ортогональном проецировании окружности на плоскость Н диаметр аЬ, а Ь этой окружности является большой осью эллипса. Малой осью эллипса d является ортогональная проекция диаметра d, d окружности на плоскость Н, т. е. [c.148]

Известно, что при прямоугольном проецировании сфера на любую плоскость проекций проецируется в окружность. [c.118]

Профильные проекции 4w, 5w точек находят обычным проецированием. Для нахождения промежуточной точки, например 6, принадлежащей кривой пересечения, проводят через 6у вспомогательную секущую горизонтальную плоскость Г—Г. Эта плоскость пересечет цилиндр диаметра по окружности такого же диаметра, а цилиндр диаметра — по образующим (на горизонтальной проекции они проведены тонкими линиями). Эти линии, пересекаясь с окружностью диаметра d , отл е ают горизонтальные проекции 6н точек, принадлежащих линиям сечения. Профильные проекции 6ц7 точек находят на горизонтальной линии связи 6v — 6 г, если по ней от оси тела в профильной проекции отложить расстояние от точки 6н до фронтальной плоскости симметрии тела. [c.121]

При вращении вокруг линий уровня (черт. 196) точка описывает окружность, лежащую в проецирующей плоскости. Ее проекцией на плоскости, параллельной линии уровня, является прямая. На другую плоскость окружность проецируется эллипсом, поэтому требуется введение дополнительной Плоскости проекций лз, на которую окружность проецировалась бы окружностью. Вращение вокруг линий уровня по существу является комплексным преобразованием, состоящим из дополнительного проецирования и преобразования вращением вокруг проецирующей оси. [c.53]

Поверхности имеют общую плоскость симметрии б, в которой располагаются высшая Ki и низшая К точки кривой. Они являются точками пересечения меридиана ез сферы с образующей /з конической поверхности, лежащих в плоскости 6. Поскольку этот меридиан проецируется на фронтальную плоскость эллипсом, используют дополнительную плоскость проекций яз, параллельную плоскости б, на которую он проецируется окружностью. Найденные третьи проекции точек Ki и Ка позволяют определить горизонтальные и фронтальные их проекции. (Вместо дополнительного проецирования можно применить преобразование вращением, см. черт. 262.) [c.89]

Чтобы решить вопрос о том, как изображается в аксонометрии окружность, вспомним, что при параллельном проецировании, в том числе и ортогональном, окружность проецируется в общем случае эллипсом. При ортогональном проецировании большая ось эллипса имеет направление линии уровня плоскости окружности, а малая — направление проекции перпендикуляра к этой плоскости. [c.128]

Этих данных достаточно, чтобы определить те направления проецирования, при которых эллипс изображается в виде окружности на плоскостях, перпендикулярных этим направлениям. Известно, что эллипс ортогонально проецируется на плоскость в виде окружности, если плоскость проекций перпендикулярна малой оси эллипса, а с большой осью эллипса составляет угол, косинус которого равен отношению малой оси эллипса к большой его оси. Оба эти направления проецирования лежат в плоскости, проходящей через большую ось эллипса [c.98]

На рис. 4.2в показана косоугольная (фронтальная) диметрия с такими же коэффициентами искажения, как и у прямоугольной (1 - по осям X и Z и 0,5 - по оси Y ). Ее оси Х и Z расположены взаимно перпендикулярно, а ось Y под углом 45° к оси X. Отрезки, расположенные на осях X и Z, не искажаются при проецировании, а отрезки, расположенные на оси У", проецируются с уменьшением вдвое. Эту аксонометрию применяют для изображения предметов с окружностями во фронтальных плоскостях, так как они на аксонометрическую проекцию проецируются без искажения (рис. 4.3). [c.87]

Чтобы иметь более наглядное представление о расположении и величине осей эллипсов, в которые проецируются окружности, последние вписаны в грани куба. На рис. 313,а показана проекция куба в изометрии, а на рис. 313,6 — в диметрии. Окружность, вписанная в грань куба, касается его ребер в их середине. Так как касание является инвариантом параллельного проецирования, то в аксонометрических проекциях точки касания эллипсов, в которые преобразуются окружности, будут находиться так же в серединах ребер куба. Кроме Этих четырех точек можно указать еще четыре точки, принадлежащие концам большого и малого диаметров эллипса. В прямоугольных изометрических и диметрических проекциях направления больших осей эллипсов перпендикулярны свободным аксонометрическим осям, а малые оси эллипсов совпадают по направлению со свободными аксонометрическими осями. [c.217]

КОСТИ Q при заданном направлении проецирования. Проекцией окружности на плоскости Q является эллипс. Окружность и эллипс являются центральносимметричными кривыми. Каждый из диаметров окружности и эллипса в середине пересекает любой другой их диаметр. Точки Оно пересечения диаметров окружности и эллипса являются центрами их симметрии. [c.147]

Для построения проекций точки, например Т, взятой на поверхнос-т.ч конуса (при данной фронтальной проекции Tv этой точки), проводят через Tv горизонтальную плоскость В—В и найденным радиусом Rb окружности сечения описывают на горизонтальной проекции окружность. Проекция Тн находится в точке пересечения горизонтальной проекции окружности сечения с вертикальной линией связи, проведенной через Tv. Профильную проекцию Tw точки находят обычным проецированием. Если дана горизонтальная проекция точки Тн, то через нее проводят дугу окружности радиусом Rb до точки пересечения с горизонтальной про екцией левой образующей конуса На фронтальной проекции этой об разующей находят проекцию точ ки и проводят через нее след го ризонтальь ой плоскости В—В Проекция Tv является точкой пересечения вертикальной линии связи, проведенной из точки Тн со следом В—Б. [c.116]

Горизонтальные проекции 1ц, 5н точек находят обычным проецированием при помощи горизонтальных сечений. Горизонтальную проекцию 2н точки находят в точке пересечения горизонтальной проекции окружности диаметра dew с вертикальной линией связи 2у2н-Горизонтальные проекции других промежуточных точек находят аналогично. [c.117]

Чтобы найти горизонтальную проекцию Кн, используют проведенную уже плоскость сечения А— А] полученным радиусом Ra проводят в горизонтальной проекции окружность, которая в пересечении с вертикальной линией связи KvKh даст точку Кн- Фронтальные проекции точек S и Т находят обычным проецированием. [c.119]

Чтобы найти проекции линий пересечения цилиндра диаметра dr с поверхностью пирамиды, строят профильную проекцию цилиндра диаметра dj, которая спрсецирует-ся в окружность. На нее спроецн-руются и профильные проекции линий пересечения цилиндра с пирамидой, так как боковая поверхность цилиндра является профиль-но-проецирующей. Отмечают на профильной проекции окружности профильные проекции 5w и 6w точек и обычным проецированием находят фронтальные 5у и 6у а горизонтальные 5и и вн проекции точек излома кривой пересечения цилиндра с пирамидон. [c.124]

Как бы ни была направлена секуищя плоскость, она всегда рассекает сферу по окружности, которая проецируется в виде отрезка прямой, в виде эллипса или в виде окружности в зависимости от положения секущей плоскости по отношению к плоскости проекции (рис. 381). Большая ось (3—4) эллипса — горизонтальной проекции окружности сечения — равняется диаметру этой окружности 3— = = 1 2 У, малая ось 1—2 получается проецированием. Точки 5 и 6 на фронтальной проекции экватора дают возможность найти точки [c.253]

В проецируемых окружностях всегда можно выделить два сопряженных диаметра, параллельных соответствующим координатным осям. На основании четвертого свойства проецирования (см. п. 2.4) такие сопряженные диаметры будут проецироваться на аксонометрическую плйекость проекций в натуральную вели- [c.113]

При изображении зацепления коническими зубчатыми колесами с пересечением осей под углом больше или меньше 90 коническое колесо, ось которого наклонена к плоскости проекций, параллельной оси napfioro колеса, изображают окружностью большого основания начального конуса, совмещенного с плоскостью чертежа то же колесо, проецируемое на плоскость, перпендикулярную к осп парного колеса, изображают треугольником, вершина и основание которого получаются проецированием вершины и диаметра больпюго основания начального конуса (рис. 465). [c.316]

Линии пересечения цилиндров диаметров d к проецируются на фронтальную плоскость проекций в виде окружности диаметра d , так как этот цилиндр является фрон-тально-проецирующей поверхностью, а на горизонтальную плоскость проекций — в виде отрезков окружности диаметра d, являющейся горизонтальной проекцией цилиндра этого диаметра. Профильные проекции линий пересечения STHX цилиндров находят обычным проецированием. [c.113]

Для нахождения проекций промежуточных точек, например точки /7 (между точками 9 н 10), проводят через // 7 вспомогательную секущую плоскость Д—Д, которая пересекает цилиндр диаметра dj по образующим, а цилиндр диаметра ds — по окружности. Горизонтальные проекции 11н точек находят обычным проецированием, а фронтальные проекции 11у находят в точке пересечения горизонтальной линии связи llwllv с вертикальной линией связи ИнПу- [c.125]

Для построения нескольких квадратов, лежащих в одной плоскости, следует обратить внимание на изображение прямого угла. При параллельном проецировании прямой угол искажается его значение является функцией нанравления стороны или диаго(нали квадрата. Это можно видеть при задании плоскости окружностью (эллипсом). Изобразив эталонный эллипс, задающий в параллельной проекции плоскость, мы по существу получаем график функциональной зависимости направления стороны прямого угла и его значения на изображении (см. рис. 3.5.28). Воспользовавшись данным несложным построением, мы сможем поворачивать квадраты и прямоугольники в плоскости любым желаемым образом. В машиностроительном формообразовании цилиндрические и конические поверхности, как правило, используются в простых композиционных сочетаниях. [c.140]

При параллельном проецировании эллипс и окружность проецируются в эллипс (черт. 212) или, в частном случае, в окружность проекция параболы — парабола, а гиперболы — гипербола. Объясняется это тем, что несобственные точки при этом проецируются только в несобственные, например две несобственные точки гипербо лы- проецируются двумя несобственными точками ее проекции, которая вследствие этого должна быть тоже 1ипер6о. 1ой. Пары сопряженных диаметров кривых проецируются парами сопряженных диаметров их проекций. [c.57]

Плоскость р проецируется линией р, совпадающей с гори.юнтальным следом плоскости окружность основания конуса, лежащая в плоскости Л2, проецируется отрезком [3 —4 , лежащим на оси х, а вершина конуса — точкой V По дополнительной проекции можно заключить, что сечение представляет собой эллипс, так как все образующие конической поверхности пересекаются плоскостью При этом эллипс проецируется отрезком прямой линии [К з — К - В результате того, что проецирование производилось фронтальными линиями, расстояние точек сечения от плоскости Л2 равно расстоянию их дополнительных проекций от этой плоскости. Поэтому, очевидно, точка Кз является ближайшей к наблюдателю [c.78]

СОсозф Как известно, взаимно перпендикулярные диаметры окружности обладают свойством сопряженности (каждый сопряженный диаметр делит пополам хорды, параллельные другому диаметру), это свойство при параллельном проецировании сохраняется, следовательно, диаметры A B и С]0) будут сопряженными диаметрами эллипса. Но, с другой стороны, эти диаметры взаимно перпендикулярны, так как являются проекциями взаимно перпендикулярных диаметров, один из которых параллелен плоскости проекций, поэтому они являются осями эллипса, причем Л1В1— большая ось, а O — малая ось. [c.120]

Для построения эллипса, являющегося фронтальной проекцией сечения, следует построить фронтальные проекции взаимно перпендикулярных диаметров АВ и СО окружности сечения, что легко сделать из условия сохранения высот точек при замене плоскости Пг на П . Проекции ЛгБ и С2О2 этих диаметров будут сопряженными диаметрами эллипса, так как взаимно перпендикулярные диаметры окружности обладают свойством сопряженности (каждый сопряженный диаметр делит пополам хорды, параллельные другому диаметру). Это свойство при параллельном проецировании окружности в эллипсе сохраняется. Имея сопряженные диаметры эллипса, можно его вычертить известным способом (с помощью описанного параллелограмма). [c.159]

Сопряженные диаметры эллипса являются проекциями двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности, проекцией которой является эллипс. Сопряженные диаметры эллипса можно определить, пользуясь такими операциями построения, которые не противоречат основным инвариантам параллельного проецирования [5, 9]. На рис. 2 для окружности и на рис. 3 для эллипса выполнены эти построения. Для построения двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности и пары сопряженных диаметров эллипса проводим в произвольном направлении две параллельные хорды АВ и D для окружности и A B и jDj для эллипса делим их соответственно в точках /, 2 и t, 2 пополам через точки деления проводим прямые, одна из которых [c.7]

Для получения этого заменим фронтальную плоскость проекций V (см. рис. 88 и 91) новой плоскостью проекций Vi, определяемой новой осью X], перпендикулярной к горизонтальной проекции I—е ма- лой оси эллипса. Тогда фронтальные проекции d g и d k искомых направлений проецирования на плоскости Vi найдутся, если из фронтальной проекции 1 =е центра эллипса (рис. 91) описать окружность радиусом, равным малой полуоси 1—е эллипса, а из фронтальной проекции d конечной точки большой оси провести касательные d g и d k к этой окружности. Горизонтальные проекции dg и dk искомых направлений проецирования совпадут с большой dl полуосью эллипса (см. рис. 88 и 89) в совмещенном положении а ЬуСу данного треугольника. [c.99]

Итак, точки D, G и К, определяющие искомые направления проецирования, лежат точка D — в плоскости треугольника ЛВС, точки G и К — на перпендикуляре, восставленном из точки I к плоскости треугольника AB по разные стороны от этой плоскости и на расстоянии от нее g I = k l (см. рис. 88 и 91). Но эти точки найдены в совмещенном положении плоскости треугольника AB . Построим эти точки в исходном положении плоскости треугольника ЛВС. Проекции точек D и I займут соответственно места di, d/ и Ji, Ji (см. рис. 89). Затем из точки /], // восставляем к плоскости треугольника аЬс,а Ь с перпендикуляр gi—h—ku g] —I/—k/ (при помощи горизонтали h], hi и фронтали f, f плоскости треугольника AB ). На этом перпендикуляре от точки J], h откладываем в обе стороны отрезки li—gu 1 —g и 1 —k, 1 —ki, равные отрезкам 1 —g и Г—k. Проведя, наконец, через точку du d/ и точки 8 и fej, к/ прямые digi, d gi и d]ki, d ki, получим искомые направления проецирования, при каждом из которых эллипс плоскости Р проецируется в родственную ему окружность плоскости Q и, следовательно, треугольник AB плоскости Р — в родственный ему треугольник, подобный треугольнику ЛоЯоСо, лежащий в искомой плоскости Q, перпендикулярной любому из найденных направлений проецирования. [c.99]

Для решения задачи необходимо в искомую плоскость Q, в которой должен лежать равносторонний треугольник — ортогональная проекция на эту плоскость данного треугольника AB ,—вписать какую-нибуД Ь окружность. Для этого мысленно совместим плоскость Q с плоскостью чертежа (рис. 94). Все равносторонние треугольники, как и все окружности, подобны между собою. Поэтому в плоскость Q, совмещенную с плоскостью чертежа, вписываем какой-нибудь равносторонний треугольник AqBo q (рис. 94) и вспомогательную окружность ( катализатор ), определив ее какими-нибудь двумя взаимно перпендикулярными радиусами произвольной длины, например B Iq и /о—//о-Чтобы вписать в плоскость Р данного треугольника аЬс, а Ь с эллипс (рис. 95), соответствующий окружности, вписанной в плоскость Q, необходимо определить натуральную величину даного треугольника. Последнее можно сделать, совместив его плоскость с горизонтальной плоскостью проекций, путем вращения этой плоскости вокруг ее горизонтального следа Рк. Вписываем в совмещенное положение плоскости Р эллипс, родственный окружности, определив его двумя сопряженными полудиаметрами bil и 1—2. Точку 2 находим на прямой ась как внешне делящую отрезок ас в том же отношении, в каком точка //о внешне делит отрезок ЛоСо. Точку 1 на стороне ас треугольника abi находим как середину отрезка ас. По сопряженным полудиаметрам эллипса строим большую 1—d и малую 1—е его полуоси. Переходим к построению тех направлений проецирования, при которых эллипс изображается на плоскостях, перпендикулярных этим направлениям, в виде окружности. Для этого заменяем фронтальную плоскость проекций V (см. рис. 93 и 96) новой плоскостью Vi, определяемой новой [c.100]

Поэтому первое, что необходимо сделать, — это определить натуральную величину афаСо треугольника AB по его проекциям аЬс, а Ь с. Затем, пользуясь одним из изложенных выше способов (на рис. 100 принят второй способ), с помощью вспомогательной окружности ( катализатора ), лежащей в плоскости треугольника AoBq o, родственной эллипсу, лежащему в плоскости треугольника а Ь Со, надо определить искомое направление проецирования для треугольника аЬс, а Ь с, а следовательно, и для данной криволинейной фигуры. Одним из двух таких направлений проецирования, преобразующих эллипс в окружность, будет построенное па чертеже направление dik, d ki, определяющее положение одного из двух семейств искомых параллельных между собой плоскостей. [c.110]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...