Функция бесконечно дифференцируемые

Рассмотрим для определенности решение вблизи правого конца разреза. Обозначим через г г) срезающую функцию , бесконечно дифференцируемую, равную единице вблизи вершины разреза и нулю в остальной части Q. Подставляя в уравнения (3.1.19), (3.1.10) вместо и, у, со функции иц, vr, о)Т], обозначая затем иг, г г , сог) снова через 1 , у, со и отбрасывая слабые слагаемые, получаем задачу па плоскости с разрезом Г(—1] [c.107]

С ) (р) — произвольные функции . Если функция / бесконечно дифференцируема и закон движения кривой St х = хо = Р2(/ , t) (/ — параметр) таков, что у pi [c.299]

Из свойств аналитических функций можно выводить соответствующие свойства функций гармонических (при желании можно поступать и наоборот). Так, мы може.м утверждать, что каждая гармоническая функция бесконечно дифференцируема.. Из формулы (19) предыдущего параграфа отделением действительных частей мы получаем теорему о среднем для гармонических функций [c.81]

Эта функция бесконечно дифференцируема при всех значениях х, но не является аналитической. Ее график изображен на рис. 14. Движение с двусторонней связью у= Рис. 14 = (х) описывается уравнениями (1.2) [c.36]

Поскольку щ [/ ] II = II II, эта функция ограничена. Поскольку же элемент Я принадлежит Й и, следовательно, области 0°° (А), эта функция бесконечно дифференцируема. Следовательно, мы можем рассматривать ее как быстро убывающую обобщенную функцию и определить ее фурье-образ соотношением [c.254]

В теории обобщенных функций доказывается, что дельта - функция бесконечно дифференцируема, а п-я производная определяется выражением [c.6]

Нетрудно проверить, что уравнение (2.85) инвариантно к замене i на, то есть обратимо во времени. Общее решение (2.95) также справедливо при 1>1 и при I < ig, то есть при времени, текущем как в будущее, так и в прошлое. В обоих этих случаях, поскольку спектр собственных значений X непрерывен, при ig со по теореме Римана-Лебега вклад от однородного решения исчезает. Предельный переход при со понимается в слабом смысле, то есть он совершается после умножения (2.95) на произвольную бесконечно дифференцируемую функцию (f> x), обращающуюся в нуль вне фиксированной конечной области координатного пространства, и интегрирования по х. Отметим, что эта функция бесконечно дифференцируема, но не аналитична, иначе она была бы тождественно равна нулю. [c.59]

Отметим ряд свойств гармонических функций. Прежде всего, они бесконечно дифференцируемы. Среднее значение функции, гармонической в шаре и непрерывной в нем вплоть до границы, равно ее значению в центре шара. Справедливо и обратное утверждение функция, определенная в некоторой области и обладающая тем свойством, что ее среднее значение по объему [c.91]

Очевидно, что любое решение задачи (12.60), (12.84) — (12.86) удовлетворяет неравенству (12.90). Покажем, что и, наоборот, если функция удовлетворяет неравенству (12.90) (и при этом имеет вторые производные), то она является решением исходной задачи. Для этого введем в рассмотрение функцию ф, бесконечно дифференцируемую в области и имеющую в окрестности 5 равные нулю производные всех порядков. Подставляя в (12.90 ) функции п = и ф, приходим к неравенствам [c.158]

Из теории эллиптических уравнений (а к таковым принадлежат уравнения Ламе) известно, что решение является бесконечно дифференцируемой функцией во всех внутренних точках, если этим свойством обладает и правая часть. Более того, если потребовать, чтобы сама граничная поверхность была бесконечно дифференцируемой, краевые условия обладали достаточной гладкостью и, что очень важно, их характер не был различным на разных участках поверхности, то решение будет бесконечно дифференцируемым вплоть до граничной поверхности. Естественно, что при нарушении этих условий есть основания полагать, что решение в граничных точках будет обладать особенностью (например, его производная может оказаться неограниченной и т. д.). [c.305]

Наиболее просто решается вопрос в том случае, когда особенность решения обусловлена структурой краевых условий (например, когда какая-либо линия является линией разрыва краевых условий в напряжениях или когда приложена сосредоточенная сила или сосредоточенный момент). В этом случае особенность в решении возникает, даже если само уравнение граничной поверхности будет бесконечно дифференцируемой функцией. Приведем менее тривиальный пример. Допустим, что в плоском случае в окрестности неко орой точки граничный контур представим в виде двух дуг, пересекающихся под прямым углом. На одной стороне задано постоянное касательное напряжение, на другой оно тождественно равно нулю. Краевые условия здесь подобраны так, чтобы в угловой точке нарушался закон парности касательных напряжений. Естественно, что предположения, при которых закон парности выводился (имеется в виду дифференцируемость напряжений, о чем см. 1 гл. II), здесь не выполняются, что и приводит к неограниченности производных от смещений. [c.305]

Представляется естественным к точкам, в которых нарушается регулярность решения, относить и те точки, в которых происходит изменение характера краевых условий (даже, если сама граница гладкая). Указанные особенности нельзя выявить заранее, однако весьма важные сведения могут быть все же получены. В работе [122], относящейся к поведению решения общих эллиптических краевых задач (и, следовательно, задач теории упругости) в окрестности нерегулярных точек границы, установлены следующие результаты. Показано, что решение в окрестности этих точек представляется в виде асимптотического ряда и бесконечного дифференцируемой функции. Слагаемые этого ряда содержат специальные решения однородных краевых задач для модельных областей (для конуса, если на поверхности коническая точка, для клина, если угловая линия). Эти решения зависят только от локальных характеристик (величины телесного или плоского угла и типа краевых условий). В ряде случаев (они далее будут подробно рассмотрены) построение этих решений сводится к трансцендентным уравнениям. Величины же коэффициентов при них зависят от задачи в целом. [c.306]

Первые два свойства тривиальны. Третье доказывается прямой, но длинной выкладкой позднее будет указан короткий вывод. Перечисленные свойства означают, что бесконечно дифференцируемые функции переменных р, q образуют алгебру Ли. [c.233]

Пусть f(x)—бесконечно дифференцируемая функция в окрестности точки Хо [а, Ь Ряд [c.102]

Рассмотрим устойчивость безмоментного напряженного состояния, определяемого начальными усилиями 7 , S . Определяющие функции (усилия 7 , S , метрические коэффициенты Ау кривизны ky толщину h и упругие характеристики материала , у) считаем зависящими от криволинейных координат а , и бесконечно дифференцируемыми по ним (здесь величины Д В, а, Э обозначены через а , а ). [c.111]

Функции (л , ), /г (х, ), у (х, у), t x, у), k y) предполагаются бесконечно дифференцируемыми. [c.123]

Функции k((p)>0, s. (p), t. s,(p), d(s,(p), g(s,[c.133]

Замечание 7.1. Требование бесконечной дифференцируемости коэффициентов системы (2) оказывается необходимым для построения всех членов асимптотического ряда (2.3). Для построения лишь нескольких первых членов этого ряда требуется существование вполне определенного числа производных у этих функций. [c.133]

Очевидно, такое представление возможно лишь в случае бесконечно дифференцируемой функции ц> р, X) в окрестности точки р = Ра. При этом предположении будем иметь [c.365]

Теперь выберем специально вид функции F z). Пусть w r) — бесконечно дифференцируемая функция положительной действительной переменной г, принимающая значение 1 при и обращающаяся в нуль при г 2р. Теперь для любой точки t в круге — 2д <р(но не на 2/) и для любого по- [c.234]

В бесконечно дифференцируемом случае теорема 1, вообще говоря, не справедлива для любой гладкой поверхности М можно указать такой натуральный гамильтониан Н = Т + V, что уравнения Гамильтона (1.1) на Т М имеют дополнительный бесконечно дифференцируемый интеграл, независимый (точнее, не всюду зависимый) с функцией Н. Действительно, рассмотрим стандартную сферу в пусть поверхность М получается из приклеиванием любого числа ручек к некоторой малой области N на S . Пусть Н — функция Гамильтона задачи о движении точки по инерции V = 0) по поверхности М, вложенной в Вне области N точка будет двигаться, очевидно, по большим кругам сферы S . Следовательно, в фазовом пространстве Т М существует инвариантная область, диффеоморфная прямому произведению D х Т , расслоенная на двумерные инвариантные торы. Точки из области D нумеруют эти торы. Пусть f D К — гладкая функция, обращающаяся в нуль вне некоторой подобласти G, целиком лежащей в D. Функции / соответствует гладкая функция F на D х Т , постоянная на инвариантных торах из х Т. Она продолжается до гладкой функции на всем Т М, если положить F = О вне множества С X Т . Очевидно, что F — первый интеграл канонических уравнений (1.1), и функции Н и F (при подходящем выборе /) не всюду зависимы. [c.134]

Более общо, если компактная ориентируемая гладкая поверхность М не гомеоморфна сфере и тору, то уравнения движения не имеют нового интеграла Г[р,д), являющегося бесконечно дифференцируемой функцией на Т М, аналитической при фиксированных д Е М на кокасательных плоскостях Т М и имеющей конечное число различных критических значений. Полиномиальные гю скоростям функции представляют распространенный пример интегралов, аналитических по импульсам р. Количество различных критических значений гладкой функции на компактном многообразии конечно, если, например, все критические точки изолированы или критические точки образуют невырожденные критические многообразия. [c.135]

Здесь / - бесконечно дифференцируемая функция, 0 = 1 при с > 1 и = О при с < О, (с) - дельта-функция. [c.366]

Умножив левую и правую части (2.3) на произвольную бесконечно дифференцируемую функцию получим после интегрирования по [c.373]

При B(r)= 0(r ) будет содержать лишь члены до N—4)-го порядка включительно, за которыми будет следовать остаточный член порядка к Чп k (в случае когда / = /, все члены ряда (5.54) нечетного порядка, очевидно, будут равны нулю). Для того же, чтобы спектр Fn k) был бесконечно дифференцируемым, функция В,7 (к) должна убывать на бесконечности быстрее любой конечной отрицательной степени г аналогично для бесконечной дифференцируемости функции Bji r) нужно подобное же убывание на бесконечности спектра Fjt(k). [c.220]

Другими словами, если известно аксиальное распределение и (г) вращательно-симметричного электростатического или магнитного поля и это распределение является бесконечно дифференцируемой функцией, то можно определить поле во всем пространстве с помощью разложения в степенной ряд (3.20). Единственно, что для этого необходимо знать — аксиальное распределение потенциала. Это очень важный момент, и мы еще не раз к нему вернемся. Детальное обсуждение будет проведено в разд. 9.8. [c.68]

Спрямление профиля в классе бесконечно дифференцируемых функций может быть выполнено так малый криволинейный участок профиля заменяется хордой полученный негладкий контур в непересекающихся [c.173]

Теория обобщенных функпдй полагает, что дифференцирование распределений всегда возможно, т.е. обобщенная функция бесконечно дифференцируема, а п-я производная определяется выражениями [c.14]

Опишем теперь энергетическое пространство в задачах Дирихле и Неймана. Для этого потребуется использовать понятие обобщенных производных. Пусть и р) и щ(р) —две функции, суммируемые в П, и пусть функция ф(р)—бесконечно дифференцируемая в области О, равная нулю в окрестности границы. Допустим, что для любой функции ф (при введенных ограничениях) имеет место равенство [c.139]

Но если X г —бесконечно дифференцируемые функции, то это уравнение, очевидно, удо-ялетворяется рядом [c.407]

Формула Тейлора, и в частности формула (4.8), используется в практике приближенных вычислений, нахождения пределов, асимптотики f(x) и т. д. Если функция f(x) бесконечно дифференцируема и при п- оо, то формула Тейлора переходит в ряд Тейлора (см. п. 4.3.3). Вопрос поведения ftn+i при ->-00 решается для каждой функции [(х) конкретно. [c.98]

Обозначим через D пространство финитных бесконечно дифференцируемых функций ф(х) на всей оси R со следующей сходимостью последовательность v=l, 2,..., сходится к нулю в D (х)0), есии выполнены следующие условия [c.117]

Формула Тейлора и, в частности, формула (4.9) используются в практике приближенных вычислений, нахождения пределов, асимптотики /(х) и т.д. Если функция fix) — бесконечно дифференцируема и i +, (х) О при л оо то формула Тейлора переходит в ряд Тейлора (см. и. 4.3.3). Вопрос поведения Д + i (х) решается для каждой функции /(х) конкретно. [c.95]

Здесь xiGe) и % Gi) — характеристические функции областей Gг И Gi] Г](г, а) — срезающая, бесконечно дифференцируемая функция, равная нулю при г > а/2. [c.194]

Соотношение (2.3) представляет собой тождество по переменным /3 и t. Будем диф ференцировать тождество (2.3) по t и полагать t = О, предполагая, что все функции, входящие в (2.3) и (2.4), бесконечно дифференцируемы. Соответствующие частные про изводные от функций г и находятся после дифференцирования равенств (2.4). В результате проведения этой процедуры получим цепочку уравнений, из которой после довательно находятся все функции (f) для s О при условиях, что нормальное [c.316]

Начнем с аксиоматического определения скобки Пуассона, идея которого восходит, по-видимому, к Дираку [193]. Пусть М — четномерное многообразие. Множество всех бесконечно дифференцируемых функций f М R обозначим С М). Симплекти-ческой (канонической) структурой Е М называется билинейное отображение , С М) х С М) —> С М), удовлетворяющее следующим условиям [c.19]

Шварц определил О. ф. как непрерывный линсшшй фцнк-vuo-цал (F, ф), заданный в пространстве К всех бесконечно дифференцируемых финитных ф-ций [ф-ция ф(х) паз. фи н и т н о й, если есть такое а, что ф(х) = О прп 1ж >а]. т. обр., О. ф. F считается заданной, если лк.бой ф-ции ф(х) из пространства К сопоставлено число (F, ф), причем (F, аф + = а (F, ф) -1- e(F,i )) и ( ,ф ) —> О, если Ф (ж) — 0 в К. Напр., в-функции соответствует функционал (б, ф) = ф (0), каждой непрерывной ф-ции /(ж) — функ- [c.462]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...