Функция напряжений в полярных координатах

ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЯ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ [c.73]

Тогда, учитывая (6), напряжения, соответствующие функции Ф в полярных координатах р и 0, представятся так [c.234]

Подставим теперь найденные значения для функций напряжения, согласно равенствам (293) и (294), в формулы (167). Тогда для компонентов напряжений в полярных координатах получим следующие выражения для области 5 п , 2.....,т) [c.162]

На основании уравнений (296) — (297) можно выписать значения для функций ipi z) и области 5i, а по известным формулам [13] и компоненты напряжений в полярных координатах для внутреннего кольца [c.165]

Итак, имеем следующая соотношения между компонентами напряжения в полярных координатах и функцией напряжений [c.163]

При наличии круглого отверстия (с центром в начале полярных координат г, ф) ищем функцию напряжений в виде [c.74]

Выражение в скобках представляет собой оператор Лапласа, записанный в полярных координатах. Уравнение совместности деформаций, выраженное через функцию напряжений, примет вид [c.34]

Плоская задача в полярных координатах. В координатах г, 9 функция напряжений должна удовлетворять условию [c.41]

Решение плоской задачи в полярных координатах в напряжениях заключается в отыскании трех функций 0,.(г, 0), т, (т, 0) и +д(/-, 0) с помощью трех уравнений двух уравнений равновесия (6.1) н уравнения сплошности (6.2), удовлетворяющих условиям на поверхности. [c.98]

Если при решении плоской задачи в полярных координатах для функции напряжений принять такое начертание [c.80]

Для составления основного уравнения плоской задачи в полярных координатах с помощью функции напряжений воспользуемся выражениями уравнения совместности деформаций через функцию ф (бигармоническое уравнение) и преобразуем его из декартовых в полярные координаты. При этом мы воспользуемся соотношениями (5.1), (5.3). [c.94]

Следовательно, если использовать функцию напряжений, то для решения плоской задачи в полярных координатах необходимо подобрать такое выражение функции ср, которое бы удовлетворяло уравнению (5.17) и граничным условиям. При этом уравнения равновесия будут удовлетворяться тождественно. [c.95]

Ясно, что функция напряжений (7.27), которую в полярных координатах можно записать в виде [c.368]

Аналогично тому, как было сделано при решении плоской задачи в декартовых координатах (см. 3, гл. VI), решение в полярных координатах можно свести к отысканию одной функции напряжений Ф (г, 0). Выберем эту функцию так, чтобы напряжения выражались через нее следующим образом [c.102]

Таким образом, функция напряжений q. (л, 0) для плоской задачи в полярных координатах также должна быть би гармони ческой. [c.103]

Уравнение, определяющее функцию напряжения, может быть получено, если воспользоваться уравнением сплошности (1.6.13) и обобщенным законом Гука в полярных координатах [c.73]

Лишний слой атомов в зоне краевой дислокации искажает кристаллическую решетку и вызывает поле внутренних напряжений. Вблизи кромки этого слоя (ядра дислокации) искажения решетки настолько велики, что расположение атомов можно рассчитать только с учетом их энергии взаимодействия [29]. В области за пределами нескольких межатомных расстояний от ядра дислокации поле напряжений можно определить методами теории упругости. Если считать кристалл неограниченным и упруго изотропным, то функция напряжений ф (см. 1.4), удовлетворяющая бигармоническому уравнению (1.143), записанному в полярных координатах г, 0, будет ф = —Вг X X (In/-) sin 6, а компоненты напряжений (рис. 2.10) [c.83]

Для определения величин напряженно-деформированного состояния в координатах (р, 7) /-е приближение преобразуем следующим образом левые части формул (10.20) выразим, использовав формулы преобразования при повороте на угол i 3, через составляющие в системе координат г, 0) и функции угла г затем, учитывая (3.38) и (10.19), представим левые части как функции р и 7. Раскладывая таким образом вычисленные левые части выражений (10.20) в ряды по е и собирая коэффициенты при 8 , получаем выражения, аналогичные (3.42). Эти выражения подставляем в условия (10.22) и получаем граничные условия /-Г0 приближения. При этом общее решение уравнений (10.21) в полярных координатах с учетом условий затухания на бесконечности имеет вид [c.233]

Из ЭТИХ выкладок можно заключить, что в случае изгиба пластинки, приводящего к плоскому распределению напряжения, прогибы ее w [см. уравнение (п)] строго удовлетворяют уравнению (103), а также уравнениям (101) и (102), определяющим изгибающие и крутящий моменты. Если решение уравнения (к) принимается в виде функции второй степени от л и у, то изогнутая поверхность (п) получится второго порядка, также в соответствии со случаем чистого изгиба. Вообще мы можем заключить из уравнения (к), что прогиб пластинки в случае плоского напряженного состояния будет тот же, что и для равномерно растянутой, равномерно нагруженной мембраны. Пластинка, изображенная на рис. 57, представляет собой частный случай такого изгиба, а именно случай, для которого решение уравнения (к) имеет в полярных координатах следующий вид [c.120]

Особенно просто решается плоская задача в полярных координатах в том случае когда распределение напряжений не зависит от угла 0. Функция напряжений ф будет при этом условии зависеть только от г и основное [c.93]

Этим приемом мы воспользуемся дальше при исследовании напряжений вблизи I круглых отверстий и при определении напряжений в круглом кольце, здесь жр приведем общее решение дифференциального уравнения плоской задачи в полярных координатах Выражение для функции напряжений представится так [c.100]

С. П. Тимошенко (1878—1972) (О влиянии круглых отверстий на распределение напряжений в пластинках.—Изв. Киевского политехи, ни-та, 1907, год 7, книга 3, с. 95—113. Отд. оттиск Киев, 1907, 21 с. статья перепечатана на с. 106—123 сборника Тимошенко С. П. Прочность и колебания элементов конструкций. — М. Физматгиз, 1975, 704 с.) приводит общий интеграл для функции напряжений в полярных координатах, удовлетворяющий бигармоии-ческому уравнению задачи, и для пластины с круговым вырезом рассматривает растяжение или сжатие в одном нли в двух направлениях, а также совместное действие двустороннего растяжения и равномерных касательных сил изучается также случай пластины конечной ширины. [c.327]

Функция напряжений в полярных координатах. Осесиммб тричное напряженное состояние. В этом случае [c.38]

Выразить напряжения а , Стфф, Огф при плоской деформации (в полярных координатах г, ф) в виде производных от функции напряжений. [c.37]

Таким образом, функция напряжений ф (г, 0) для плоской задачи в полярных координатах должна быть функцией бигармони-ческой. [c.99]

Исслсдовав несколько частных случаев двумерных задач в полярных координатах, мы можем теперь выписать более общую функцию напряжений ф в виде следующего ряда ) [c.145]

Следовательно, выбранные выражения для панряженш Ог, Ов, Хгв через функцию напряжений ср действительно удовлетворяют уравнениям равновесия плоской задачи в полярных координатах. [c.94]

Изучению упрочнения частицами посвящены исследования Дерунца и Хоффмана [3.6], а также исследования Онооки и др. [3.7]. Представляет интерес работа [3.8], в которой расчетным путем получено распределение напряжений при помощи использования функции напряжений для осесимметричного случая в полярных координатах, как ранее предлагали Гудьер и др. Следует отметить, что по сравнению с исследованиями, посвященны.ми упрочнению волокнами, исследования упрочнения частицами не являются столь многочисленными, несмотря на то что в настоящее время на практике находят широкое применение материалы, армированные частицами. К таким материалам следует отнести спеченные алюминиевые [c.61]

Вернемся к обш.им уравнениям плоской задачи в полярных координатах и рассмотрим тот случай, когда объемные нагрузки gr gtgQ равны нулю. В 2.1 было показано, что решение плоской задачи в прямоугольной декартовой системе координат сводится к решению бигармонического уравнения (2.8) при этом напряжения выражаются через функцию напряжений ф по формулам (2.6). Вывод этих соотношений можно повторить и в полярных координатах, но делать это не обязательно достаточно преобразовать формально окончательные зависимости при переходе к полярной системе координат. При этом внешний вид бигармонического уравнения (2.8) сохраняется, но в полярной системе координат оператор Лапласа запишется так [c.52]

Нетрудно проверить, что выбранная функция удовлетворяет, бигармоннче-скому уравнению в полярных координатах. Согласно зависимостям (2.33) этой функции соответствует поле напряжений [c.52]

Затем в качестве кривой возьмем окружность радиуса г и устремим г — О, откуда станет ясно, что важны только напряжения и деформации в вершине трещины (см. гл. III, раздел 7). В полярных координатах для определения Xi, принятого на рис. 90, имеем Xi = г sin 0. Следовательно, dx = г os Q dQ я ds = г dQ. Так как J не зависит от пути, то он не зависит и от г, поэтому величины dxi и ds должны быть пропорциональны 1/г. Для линейноупругого поведения напряжение линейно связано с деформацией и так как их произведение пропорционально 1/г, напряжение в вершине трещины должно быть пропорционально как следует из результатов расчета с помощью функций напряжений [см. уравнение (113)]. [c.158]

Здесь r, в — полярные координаты с центром в точке О 2, -упругие постоянные ftk gik — некоторые определенные функции, вычисленные практически для всех возможных случаев [1] Ki — коэффициент интенсивности напряжений, который является некоторой функцией внешних нагрузок, длины трещины, формы тела и трещины. Кз условия нормировки принято, что/22 = 1 при 0=0. Формулы (1.21) являются следствием физичесю очевидного факта, что все твердые тела при достаточно малых нагрузках и достаточно малых временах нагружения линейно-упруги. [c.16]

Если упругая среда находится в условиях плоской деформации в плоскости OXiX , то U -е = О и векторный потенциал Ф представляется в виде Ф =, где Ч = (xj, х , t) — скалярная функция. Тогда вместо уравнений (1.8) получим систему двух скалярных уравнений (3.62). В полярных координатах г, 0 компоненты вектора перемещений и тензора напряжений выражаются через потенциалы Ф, посредством формул [c.71]

Исследуем поле напряжений в случае винтовой дислокации. Пусть направления сдвига и дислокации совпадают с осью z, а плоскость скольжения с координатной плоскостью xz. По осям ж, у переме-гцения = г = О, а по оси z — равно w и будет функцией положения точки (х,у). Записывая перемегцение w в полярных координатах через вектор Бюргерса и координаты рассматриваемой точки, а также используя уравнения теории упругости, можно показать, что компоненты напряжений, за исключением tqz-, равны нулю. Следовательно, поле напряжений у винтовой дислокации содержит касательную компоненту вдоль линии дислокации (оси винта) [c.28]

В этих формулах г, в — полярные координаты точки с полюсом в вершине треш,ины fij 9) — известные функции, принимаюш,ие значение единицы или нуля при в = К — коэффициент интенсивности напряжений, не зависяш,ий от координат г и его размерность сила/длина в степени 3/2. [c.90]

Функция напряжений Эри задана в полярных координатах Ф = = r ( os20— os 2а), где С и а — постоянные. Найти величину С, если 000 = = О, а 0 = т при 0 = а и Ogg = О, = — т при 0 = — а. [c.227]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...