Линейные пространства функций

Множества U я V могут быть, вообще говоря, произвольными, но должны обладать двумя естественными свойствами. Во-иер-вых, сумма двух функций из заданного множества также должна принадлежать этому множеству, и, во-вторых, умножение любой функции на произвольное вещественное число не должно выводить ее из этого множества. Множества функций, обладающих этими свойствами, т. е. замкнутые относительно операций сложения функций н умножения их на вещественные числа, называются линейными пространствами. Перечислим некоторые простые линейные пространства функций 1) пространство кусочно-непрерывных на заданном промежутке О, to функций обозначается /С[0, о] и состоит из всех заданных на [О, <о] функций, имеющих [c.41]

Лежандра полиномы 109 Линейные пространства функций 41, [c.299]

Пусть X — линейное пространство функций, Fk, — [c.213]

Рассмотрим линейное пространство функций, непрерывных на интервале [О, 1], определяемое естественными операциями сложения функций и умножения функции на число, и определим в нем скалярное произведение как интеграл от произведения функций на интервале [О, 1]. Как известно из анализа, пределом последовательности таких функций может быть и разрывная функция, что и показывает-неверность обратного утверждения. [c.22]

Последовательность функций называется минимальной, если исключение одного из них сужает пространство, натянутое на это множество. Если число элементов конечно, то сильная минимальность обозначает просто линейную независимость функций. Под сильно минимальной системой понимают такую систему функций, для которой собственные числа матрицы [c.155]

Нетрудно проверить, что эти множества функций замкнуты относительно операций сложения и умножения на вещественное число, т. е. действительно являются линейными пространствами. Так, если на промежутке [О, <о] заданы кусочно-непрерывные функции f(t) и g(t), т. е. f(t) е K[0,toj, g(t) е К[0, tol, то и функции h(t) = f(t) -j- g(t), zi(t)=af(t) и Z2 t)=a,g t) при любом вещественном а являются кусочно-непрерывными и, значит, принадлежат множеству /С [О, о]. [c.41]

СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ линейного оператора А, отвечающее собственному вектору (собственной функции) / нз линейного пространства (векторного пространства) Ь, — комплексное либо вещественное число Я, такое, что [c.567]

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ФУНКЦИОНАЛ случайной линейной функции <рб —функционал F(v >) ка линейном пространстве Е, обобщающий понятие характеристической функции одной случайной величины. [c.403]

D есть линейное пространство. Действительно, пусть f(x) D и t —число. Тогда (xf(x) по определению есть обобщенная функция, действующая по правилу [c.118]

Таким образом, функция (х) принимает для точек диагноза D, наибольшие значения по сравнению со всеми другими дискриминантными функциями. Обозначение fi (х) в краткой форме указывает зависимость функции от всех координат пространства Xi, fi (д ) = Д Xj,. ....Хд ). Пример линейной дискриминантной функции для t-ro диагноза [c.47]

Линейная разделяющая функция в дополненном пространстве признаков имеет простой геометрический смысл f xj = — = h, где h — проекции вектора на направление весового вектора что вытекает из смысла скалярного произведения. Абсолютная величина h равна расстоянию точки до разделяющей плоскости = 0. Значение /г положительно, если точка х [c.50]

Построение разделяющей функции. Разделяющая функция будет построена, если определены коэффициенты Эти коэффициенты могут быть найдены в процессе обучения с помощью показа образцов из обучающей последовательности. Наиболее простой способ — использование алгоритмов для линейной разделяющей функции в диагностическом пространстве. Эти алгоритмы были указаны в предыдущем параграфе. [c.63]

Если в правой части равенства (8.18) оставить только первый член, получаем обычную линейную разделяющую функцию. Можно использовать размерность диагностического пространства v большую, чем размерность пространства признаков N. Тогда первая группа признаков представляет функции вида (8.18), вторая [c.64]

Аналогично при f (г) > О г D , при f (z) < О z D . Таким образом, алгоритм Кора может быть отнесен к алгоритмам с линейной разделяющей функцией в диагностическом пространстве. [c.66]

Контактная задача (задача С) а) бесконечное упругое полупространство > О имеет любое число нагруженных участков оси д , концы этих участков, имеющие координаты перемещаются с постоянными скоростями, так что х = v t б) в начальный момент времени = О пространство покоится в) на нагруженных участках поставлены граничные условия одного из трех типов 1) нормальное и касательное смещения заданы как некоторые произвольные линейные комбинации из функции вида (351), (352) (шероховатый штамп) 2) касательное напряжение равно нулю, а нормальное смещение является линейной комбинацией функции вида (351), (352) (гладкий штамп) 3) касательное напряжение прямо пропорционально нормальному напряжению (т. е. задается кулонов закон сухого трения х у = k< y), а нормальное смещение — линейная комбинация функции вида (351), (352). [c.116]

Множество функций и(х) можно считать линейным пространством (см. Приложение 1), если определить на нем обычным образом операции сложения и умножения на число. Это линейное пространство можно превратить в (бесконечномерное) евклидово пространство Е, если ввести скалярное произведение с помощью равенства [c.13]

ПРОСТРАНСТВО ОСНОВНЫХ ФУНКЦИИ. Рассмотрим линейное пространство К всех вещественных функций ф(дс), каждая из которых имеет производные всех порядков и финитна, т. е. обращается в нуль вне некоторой ограниченной области [своей для каждой из функций [c.30]

Какое линейное пространство называется пространством основных функций [c.33]

Пусть функционалы Рк определены на некотором линейном пространстве X функций и, ПсХ и задача интерполяции (2.10) однозначно разрешима. Тогда [c.203]

В котором параметр L предполагается известным. Функция 0(/) также задана. Геометрически она не определена при 1> L или / < 0. Однако, для того чтобы оператор Fi[/] был определен в линейном пространстве, необходимо определить функцию 0(/) для всех /, что всегда может быть выполнено, если положить 0(р)=0(О) при р<0 и 0(р) = 0(1) при p>L. Таким образом, оператор Fi осуществляет однозначное преобразование пространства В всех непрерывных функций, обращающихся в нуль при о = и/2. [c.203]

Всякая неподвижная точка строго выпуклой функции в линейном пространстве дает строгий минимум (это очевидно в одномерном случае). Следовательно, эта точка единственна. [c.239]

Метод Б. Пусть (У —линейное пространство функций, определенных на 0 = [0, 1], размерности N с базисом 82,, SJ f. Требуется найти вещественные числа а , такие, что 0151 +. .. + a vSiv является приближением решения и исходной задачи. Положим 8 с х) = —х)х г==1, [c.17]

Говорят, что в линейном пространстве L задана скалярная функция ф = ф(и) векторного аргумента и, если каждому вектору и s L поставлено в соответствие число ф. Функция ф (м) называется линейной с1юрмой, если ф(Х + [хг ) = >1ф (г ) + [Яф(гр). Скалярная функция ф = ф(и ,. .., и ) р векторных аргументов называется р-линейной формой, если она линейна по каждому из своих аргументов. В частности, при р = 2 соответствующая форма называется билинейной. Билинейная форма ф (и, ) называется [c.308]

Масштабный множитель а определяет изменение — уменьшение— геометрических (в пространстве состояний) характеристик аттрактора на каждом шаге удвоений периода этими характеристиками являются расстояния между элементами предельных циклов на оси х. Поскольку, однако, каждое удвосиие сопровождается еще и увеличением числа элементов цикла, это утверждение должно быть конкретизировано и уточнено. При этом заранее ясно, что закон изменения масштаба не может быть одинаковым для расстояний между всякими двумя точками ). Действительно, если две близкие точки преобразуются через почти линейный участок функции отображения, расстояние между ними уменьи1ится в а раз если же преобразование про- [c.177]

Поэтому, по Дираку, состояние квантовой системы описывается бра-вектором (ifi или сопряженным ему кет-вектором 1113) = = (( ф )" " состояния (с волновой функцией j)(q, /)=) в бесконечномерном гильбертовом (функциенальном) пространстве. В этом линейном пространстве в качестве базиса используются ортонормированные т т ) — 6fnm ) собственные функции il3m = = (q m) (Щт) = т т)) любой физической величины, представляемой эрмитовым оператором M = / i+, при этом Ст(0=( ф)-Условие полноты базиса т) (т-представления) символически можно записать в виде [c.188]

Алгебра функций. Пусть G — множество векторных функ-инй, залапн1)1х па линейном пространстве X. Зададим па О отиошепие частичного порядка если гх и 3 фуикиин из G, то если II только если найдется функция т) такая, что коммутативная диаграмма [c.81]

Излагаемая в настоящей книге теория существенным образом опирается на А1атемати<1еский аппарат функционального анализа. Последний рассматривает подходящим образом выбранные классы функций как множества точек в топологических пространствах. При этом понятие множества вводятся аксиоматически и служит основой для определения более сложных понятий пространства и линейного пространства. Абстрактное множество представляет собой совокупность, собрание каких-либо объектов, элементов, обладающих общим свойством или признаком. [c.205]

Число базисных функций т при расчете континуальной кон> струкции обычно не определяется условиями задачи, а назначается как один из параметров расчетной модели конструкции. Если при размерности пространства L, равной 6я, задать таким же и число базисных (линейно независимых) функций, это будет означать, что все пространство совместно (разрешены любые векторы ё). Но при этом устраняется возможность существования самоуравновешенных напряжений модель конструкции статически определима. Она непригодна даже при большом числе п. Например, моделируя з адачу об изгибе бруса с помощью статически определимой фермы (рис. 7.11, толщина линии пропорциональна усилию в стержне), получим абсолютно неверную модель усилия в стержнях, определяемые только условиями равновесия, могут быть самыми различными в зависимости от типа фермы. Статически неопределимая конструкция дает в этом случае уже вполне адекватную модель (рис. 7.11, е). [c.162]

Пространства состояний упругой системы как линейные и аффинные пространства. Совокупность возможных состояний упругой системы (т. е. полей перемещений, усилий, деформаций, функций напряжений), среди которых отыскивается нстниное состояние, целесообразно рассматривать как линейное (векторное) пространство (пространство состояний, см. гл. 2). liro элементами являются трехмерные (или двумерные) векторные или тензорные функции и(г), а (г) и т. д. положения точки в области V, занимаемой упругим телом (или в области S, занимаемой базисной поверхностью оболочки) здесь т—радиус-вектор точки в какой-либо декартовой системе координат. Таким образом, различные пространства состояний упругой системы являются пространствами функций, определенных на V или S (функциональными пространствами) н имеют бесконечную размерность. [c.204]

Функции, отображающие какое-либо линейное пространство в множество действительных чисел, называются функционалами. Различные виды энергин упругого тела (полная потенцнэль 1ая, дополнительная, смешанная и т. д.) представляют собой функционалы, определенные на пространствах состояний. В линейной теории упругости и оболочек эти функцноналы квадратичные. [c.205]

Пример 2. ny T 2 i 3 —односвязная область с границей S. В замкнутой области Q = Q-t-S рассмотрим линейное пространство всевозможных непрерывно диффЬренцируемых функций, ф с, у, z) со скалярным произведением [c.29]

Множество таких функций обозначим через Ф = <-р). При использовании обычных операций сложения функций и умножения их на число (действительное или комплексное) Ф является линейным пространством (действительным или комплексным). Паделим это пространство дополнительными свойствами. [c.357]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...